高考数学一轮复习 第8章 第7节 抛物线课件 理 苏教版
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第七节 抛物线
析
提
知
课
能
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典
时
例
自
探
测
究Leabharlann Baidu
精品
1
要求
考
内容
AB C 纲
顶点在坐标原点的抛 √
传 物线的标准方程与几何
真 性质
精品
2
1．抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的 点的轨迹叫做抛物线． 定点 F 叫做抛物线的 焦点 ，定直线叫做抛物线的 准线 ．
精品
19
[解析] (1)把 A(－2,3)坐标代入 x＝－p2得 p＝4，∴F(2,0)， ∴kAF＝－3－ 2－02＝－34. (2)由A→F＝F→B知 F 为 AB 的中点，设准线与 x 轴的交点为 D.则 |DF|＝12|AC|＝p，∴|AC|＝2p＝|AF|＝|FB|，|AB|＝4p，∴∠ABC＝30°， |BC|＝2 3p，B→A·B→C＝|BA|·|BC|cos 30°＝4p×2 3p× 23＝36，解得 p＝ 3，∴y2＝2 3x.
精品
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考向 2 抛物线的标准方程与几何性质 【典例 2】 (1)(2014·辽宁高考改编)已知点 A(－2,3)在抛物线 C：y2＝2px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为 ________． (2)过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象 限的交点为 A，直线 l 与抛物线的准线的交点为 B，点 A 在抛物线 的准线上的射影为 C，若A→F＝F→B，B→A·B→C＝36，则抛物线的方程 为________________．
精品
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[解] 将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6. ∵ 6>2，∴A 在抛物线内部(如图)．
设抛物线上点 P 到准线 l：x＝－12的距离为 d.
精品
17
由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d. 当 PA⊥l 时，|PA|＋d 有最小值，最小值为|AQ|＝3＋12＝72. 则|PA|＋|PF|的最小值为72，此时点 P 纵坐标为 2， 将 y＝2 代入 y2＝2x，得 x＝2. ∴|PA|＋|PF|的最小值为72，此时点 P(2,2)．
点坐标是(1,0)．( )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )
(4)抛物线
y2＝4x
的焦点到准线的距离为 精品
4.(
)
6
[解析] 由抛物线的定义、性质可知(1)(2)(3)(4)全错．对于(1)， 当 F∉l 时，轨迹是抛物线，当 F∈l 时轨迹是过 F 与 l 垂直的直线； 对于(2)y＝4x2 表示焦点在 y 轴上的抛物线且焦点坐标为0，116；对 于(3)，抛物线不是中心对称图形；对于(4)焦点到准线的距离为 2.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
精品
7
2．(教材习题改编)抛物线 x2＝4y 的通径长等于________． [解析] 过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物 线截得的线段叫做抛物线的通径，抛物线 x2＝2py(p>0)的通径长为 2p，故 x2＝4y 的通径长等于 4.
[答案] 4
x＝－p2 向右
x＝p2
y＝－p2
向左
向上
O(0,0) e＝1
y＝p2 向下
精品
5
1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误
的打“×”)
(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹
一定是抛物线．( )
(2)方程 y＝4x2 表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦
精品
12
(2)(2014·苏州调研)已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的动点，点 P 到准线的距离为 d，且点 P 在 y 轴上的射影是 M，点 A72，4，则|PA| ＋|PM|的最小值是________．
精品
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[解析] (1)由抛物线方程知抛物线准线方程为 x＝－14，由抛物
线定义知 AF＝x0＋14＝54x0，∴x0＝1.
精品
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5．已知动点 P 到定点(2,0)的距离和它到定直线 l：x＝－2 的 距离相等，则点 P 的轨迹方程为________．
[解析] 由抛物线定义知，该轨迹为抛物线，焦点为(2,0)，顶 点在原点，对称轴为 x 轴，故轨迹方程为 y2＝8x.
[答案] y2＝8x
精品
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考向 1 抛物线的定义及应用 【典例 1】 (1)(2014·课标全国卷Ⅰ)已知抛物线 C：y2＝x 的 焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|＝54x0，则 x0＝________.
精品
3
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准
y2＝2px y2＝－2px
方程
(p>0)
(p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点坐标
p2，0
－p2，0
0，p2
0，－p2
精品
4
准线 方程 开口 方向 顶点 离心率
精品
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[答案]
(1)1
9 (2)2,
精品
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【规律方法】 1．凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为 到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简 捷、明快． 2．若 P(x0，y0)为抛物线 y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易得|PF| ＝x0＋p2；若过焦点的弦 AB 的端点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2 可由根与系数的关系整体求出．
(2)抛物线焦点 F12，0，准线 x＝－12，如图，延长 PM 交准
线于 N，由抛物线定义得|PF|＝|PN|，
∵|PA|＋|PM|＋|MN|＝|PA|＋|PN|＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，而|MN|
＝12，∴|PA|＋|PM|≥5－12＝92，当且仅当 A，P，F 三点共线时，取
“＝”号，此时，P 位于抛物线上，∴|PA|＋|PM|的最小值为92.
精品
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3．(2014·宿迁质检)设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x＝ －2，则抛物线的方程是________．
[解析] 因为抛物线的准线方程为 x＝－2，所以p2＝2， 所以 p＝4，所以抛物线的方程是 y2＝8x.
[答案] y2＝8x
精品
9
4．(2014·安徽高考改编)抛物线 y＝14x2 的准线方程是________． [解析] ∵y＝14x2，∴x2＝4y.∴准线方程为 y＝－1. [答案] －1
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基
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落
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第七节 抛物线
析
提
知
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能
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时
例
自
探
测
究Leabharlann Baidu
精品
1
要求
考
内容
AB C 纲
顶点在坐标原点的抛 √
传 物线的标准方程与几何
真 性质
精品
2
1．抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的 点的轨迹叫做抛物线． 定点 F 叫做抛物线的 焦点 ，定直线叫做抛物线的 准线 ．
精品
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[解析] (1)把 A(－2,3)坐标代入 x＝－p2得 p＝4，∴F(2,0)， ∴kAF＝－3－ 2－02＝－34. (2)由A→F＝F→B知 F 为 AB 的中点，设准线与 x 轴的交点为 D.则 |DF|＝12|AC|＝p，∴|AC|＝2p＝|AF|＝|FB|，|AB|＝4p，∴∠ABC＝30°， |BC|＝2 3p，B→A·B→C＝|BA|·|BC|cos 30°＝4p×2 3p× 23＝36，解得 p＝ 3，∴y2＝2 3x.
精品
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考向 2 抛物线的标准方程与几何性质 【典例 2】 (1)(2014·辽宁高考改编)已知点 A(－2,3)在抛物线 C：y2＝2px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为 ________． (2)过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象 限的交点为 A，直线 l 与抛物线的准线的交点为 B，点 A 在抛物线 的准线上的射影为 C，若A→F＝F→B，B→A·B→C＝36，则抛物线的方程 为________________．
精品
16
[解] 将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6. ∵ 6>2，∴A 在抛物线内部(如图)．
设抛物线上点 P 到准线 l：x＝－12的距离为 d.
精品
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由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d. 当 PA⊥l 时，|PA|＋d 有最小值，最小值为|AQ|＝3＋12＝72. 则|PA|＋|PF|的最小值为72，此时点 P 纵坐标为 2， 将 y＝2 代入 y2＝2x，得 x＝2. ∴|PA|＋|PF|的最小值为72，此时点 P(2,2)．
点坐标是(1,0)．( )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )
(4)抛物线
y2＝4x
的焦点到准线的距离为 精品
4.(
)
6
[解析] 由抛物线的定义、性质可知(1)(2)(3)(4)全错．对于(1)， 当 F∉l 时，轨迹是抛物线，当 F∈l 时轨迹是过 F 与 l 垂直的直线； 对于(2)y＝4x2 表示焦点在 y 轴上的抛物线且焦点坐标为0，116；对 于(3)，抛物线不是中心对称图形；对于(4)焦点到准线的距离为 2.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
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2．(教材习题改编)抛物线 x2＝4y 的通径长等于________． [解析] 过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物 线截得的线段叫做抛物线的通径，抛物线 x2＝2py(p>0)的通径长为 2p，故 x2＝4y 的通径长等于 4.
[答案] 4
x＝－p2 向右
x＝p2
y＝－p2
向左
向上
O(0,0) e＝1
y＝p2 向下
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5
1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误
的打“×”)
(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹
一定是抛物线．( )
(2)方程 y＝4x2 表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦
精品
12
(2)(2014·苏州调研)已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的动点，点 P 到准线的距离为 d，且点 P 在 y 轴上的射影是 M，点 A72，4，则|PA| ＋|PM|的最小值是________．
精品
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[解析] (1)由抛物线方程知抛物线准线方程为 x＝－14，由抛物
线定义知 AF＝x0＋14＝54x0，∴x0＝1.
精品
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5．已知动点 P 到定点(2,0)的距离和它到定直线 l：x＝－2 的 距离相等，则点 P 的轨迹方程为________．
[解析] 由抛物线定义知，该轨迹为抛物线，焦点为(2,0)，顶 点在原点，对称轴为 x 轴，故轨迹方程为 y2＝8x.
[答案] y2＝8x
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考向 1 抛物线的定义及应用 【典例 1】 (1)(2014·课标全国卷Ⅰ)已知抛物线 C：y2＝x 的 焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|＝54x0，则 x0＝________.
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2．抛物线的标准方程与几何性质
标准
y2＝2px y2＝－2px
方程
(p>0)
(p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点坐标
p2，0
－p2，0
0，p2
0，－p2
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准线 方程 开口 方向 顶点 离心率
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[答案]
(1)1
9 (2)2,
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【规律方法】 1．凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为 到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简 捷、明快． 2．若 P(x0，y0)为抛物线 y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易得|PF| ＝x0＋p2；若过焦点的弦 AB 的端点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2 可由根与系数的关系整体求出．
(2)抛物线焦点 F12，0，准线 x＝－12，如图，延长 PM 交准
线于 N，由抛物线定义得|PF|＝|PN|，
∵|PA|＋|PM|＋|MN|＝|PA|＋|PN|＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，而|MN|
＝12，∴|PA|＋|PM|≥5－12＝92，当且仅当 A，P，F 三点共线时，取
“＝”号，此时，P 位于抛物线上，∴|PA|＋|PM|的最小值为92.
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3．(2014·宿迁质检)设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x＝ －2，则抛物线的方程是________．
[解析] 因为抛物线的准线方程为 x＝－2，所以p2＝2， 所以 p＝4，所以抛物线的方程是 y2＝8x.
[答案] y2＝8x
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4．(2014·安徽高考改编)抛物线 y＝14x2 的准线方程是________． [解析] ∵y＝14x2，∴x2＝4y.∴准线方程为 y＝－1. [答案] －1