遇角平分线常用辅助线

第一章遇角平分线常用辅助线

【添法透析】

角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法:

一•点在平分线，可作垂两边

•角边相等，可造全等

•平分加平行，可得等腰形

四•平分加垂线，补得等腰现

•点在平分线，可作垂两边

角平分线性质定理：角平分线上点到角两边距离相等.

如图，若OP是/ AOB角平分线，PE± OA可过

则可用结论有：（1）PF=PE

(2)证得△ OPF^A OPE

(3)证得OF=OE

例1.已知如图，在△ ABC 中，/ C=90 °，AD 平分/ CAB，CD=，BD=，求AC .

D

E 例2.已知如图，AB//CD，BE平分/ ABC，CE平分/ BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD .

邦德点拨：在BC上截取BF=BA问题转化为证CF=CD

如图，若0P是/ AOB平分线，过P点作0B平行线交0A于E点,

可用结论：证得厶EOP是等腰三角形.

如图，若AD是/ BAC平分线，过C点作AB平行线交直线AD于E点,

可用结论有：（1）证得△ EOP是等腰三角形;

(2)证得△ CDE^A ADB

(3) AB BD AC

CD

2.过角的一边上一点，作角平分线的平行线，可构造得等腰三角形.

如图，若OP为/ AOB平分线，过直线OB上一点E,作OP平行线交OA于点F，则可用结论有：（1）证得△ OEF是等腰三角形;

（2）证得/ E=1/AOB

2

例3 •已知如图，在△ ABC

A

中(AB AC), D、E 在~BC 上，且DE=§C，过 D 作DF//BA 交AE 于点F,

DF=AC，求证：AE平分/ BAC .

邦德点拨：过C点作AB平行线交AE延长线于点G

则/ G=Z BAE,接下只需证/ G=Z CAE

练习3•已知如图，过△ ABC的边BC的中点D作/ BAC的平分线AG的平行线，交延长线于点E、D、F.求证：BE=CF .

A

、BC CA的

四.平分加垂线补得等腰现

从角的一边上一点作角平分线的垂线，与另一边相交，可得等腰三角形. 如图，若OP是/ AOB平分线，EP丄OP,则可延长EP交OB于F点, B E C

G

可用结论有：（1）证得△ OEF是等腰三角形;

C D G

F B

(2) P是EF中点.

例4.如图，△ ABC 中，过点A 分别作/ ABC, / ACB 的外角的平分线的垂线 AD 、AE , D 、E 为垂足.求 证：

（1） ED//BC ；

（2） ED= - （ AB+AC+BC ）.

2

邦德点拨：延长 AD AE 交直线BC 于F 、G,

可证得△ BAF 、A CAG 为等腰三角形.

练习4•已知如图，等腰 Rt △ ABC 中，/ A=90

AB=AC ，BD 平分/ ABC ，CE 丄BD ，垂足为点 E ， 求证：BD=2CE .

【homework ]

1 .已知如图，在△ ABC 中，BD 、CD 分别平分/

DEF 周长.

2. 已知如图，四边形 ABCD 中，/ B+ / D=180

，BC=CD .求证：AC 平分/ BAD .

B

C

1 3. 已知如图，/ BAD= / CAD , AB>AC , CD 丄AD 于点D, H 是BC 中点，求证：DH= (AB-AC).

2 4 •如图，ABC中，AM平分A ,

线于点D, DE II CA交AB于E.求证:

5•已知CE、AD是厶ABC的角平分线,

CD

.

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