3.4基本不等式3
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2
0
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时， （4）中的等号成立。
思考：你能给出基本不等式的几何解释吗？ 你能给出这个不等式的其它证法吗？
ab
a
b
小结:
•1、对两个正数a,b， 算术平均数 的___________.
ab 2
又叫做正数a与b
•2、对两个正数a,b， 几何平均数 的___________.
ab
又叫做正数a与b
那么两个正数a,b的算术平均数与几何平均 数之间具有怎样的关系呢？
基本不等式
ab ab 2
(a>0,b>0)
两个正数a,b的算术平均数不小于它们的几何平均数
3、例题讲解
1 已知x、y都是正数，求证： (1) y x ≥2；
ab 分析 ：在运用定理： 2 ab时，注意条件 a 、
由于4个直角三角形的面积小 于正方形的面积，我们就得到 a2 b2 2ab 了一个不等式： 探究图形变化过程 当直角三角形变为等腰直角 三角形，即a=b时，正方形 EFGH缩为一个点，这时有
a b 2ab
2 2
2．得到结论：
一般的，如果a, b R,那么a b 2ab
x
y
b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条
性质成立的条件)，进行变形.
解：∵x，y都是正数
∴
x y
＞0，
y x
＞0
x y x y x y 2 =2 即 2 y x y x y x （当且仅当x=y时，式中取等号。）
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3. 解：∵x，y都是正数 ∴ x2＞0， y2＞0，x3＞0，y3＞0 ∴ x＋y≥2 xy >0 x2＋y2≥2 x 2 y 2 >0
x3＋y3≥2 x 3 y 3 >0（当且仅当x=y时，式中取等号）
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥ 2 xy · x 2 y 2 · x 3 y 3 2 2 ＝８x3y3 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3. （当且仅当x=y时，式中取等号）
4.随堂练习
已知a、b、c都是正数wenku.baidu.com求证
探究:
如图是在北京召开的第24界 国际数学家大会的会标，会标 是根据中国古代数学家赵爽的 弦图设计的，颜色的明暗使它 看上去象一个风车。你能在这 个图案中找出一些相等关系或 不等关系吗？
研究过程:
1．探究图形中的不等关系
在正方形ABCD中有四个全等 的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b那么 2 2 正方形的边长为 a b 这样，4个直角三角形的面 积的和是2ab，正方形的面积 为 a 2 b2
ab ab 2
(a>0,b>0)
3.4基本不等式
ab ab 2
第一课时
从不等式的性质推导基本不等式
ab ab 2
用分析法证明： 要证
ab ab 2
（1）
只要证
a+b
2 ab
（2）
（3） （4）
要证（2），只要证 a+b- 2 ab 0
要证（3），只要证 a - b （ ）
2 2
(当且仅当a b时取" "号)
3．思考：你能给出它的证明吗？
证明：因为
a b 2ab (a b)
2 2
2
2
2
当a b时,(a b) 0,当a b时,(a b) 0 所以(a b)2 0，即a2 b2 2ab
特别的，如果a>0,b>0,我们用 a , b 分别代替a、b ，可得 a b 2 ab , 通常我们把上式写 作 ab a b (a>0,b>0) (当且仅当a=b时， 2 式中取等号） 基本不等式
b a （ ） 1 2; a b 1 (2)a 2. a
(3)(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc
ab 分析：对于此类题目，选择定理： 2 ab
（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.
5.课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a2＋ b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数( )， ab 几何平均数（ ）及它们的关系 ab 2 ab （ ≥ ）.它们成立的条件： ab 2 (1)、前者只要求a、b都是实数，而后 者要求a、b都是正数. (2)、当且仅当a=b时，以上两式取等号。 它们既是不等式变形的基本工具，又是求 函数最值的重要工具 。
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显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时， （4）中的等号成立。
思考：你能给出基本不等式的几何解释吗？ 你能给出这个不等式的其它证法吗？
ab
a
b
小结:
•1、对两个正数a,b， 算术平均数 的___________.
ab 2
又叫做正数a与b
•2、对两个正数a,b， 几何平均数 的___________.
ab
又叫做正数a与b
那么两个正数a,b的算术平均数与几何平均 数之间具有怎样的关系呢？
基本不等式
ab ab 2
(a>0,b>0)
两个正数a,b的算术平均数不小于它们的几何平均数
3、例题讲解
1 已知x、y都是正数，求证： (1) y x ≥2；
ab 分析 ：在运用定理： 2 ab时，注意条件 a 、
由于4个直角三角形的面积小 于正方形的面积，我们就得到 a2 b2 2ab 了一个不等式： 探究图形变化过程 当直角三角形变为等腰直角 三角形，即a=b时，正方形 EFGH缩为一个点，这时有
a b 2ab
2 2
2．得到结论：
一般的，如果a, b R,那么a b 2ab
x
y
b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条
性质成立的条件)，进行变形.
解：∵x，y都是正数
∴
x y
＞0，
y x
＞0
x y x y x y 2 =2 即 2 y x y x y x （当且仅当x=y时，式中取等号。）
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3. 解：∵x，y都是正数 ∴ x2＞0， y2＞0，x3＞0，y3＞0 ∴ x＋y≥2 xy >0 x2＋y2≥2 x 2 y 2 >0
x3＋y3≥2 x 3 y 3 >0（当且仅当x=y时，式中取等号）
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥ 2 xy · x 2 y 2 · x 3 y 3 2 2 ＝８x3y3 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3. （当且仅当x=y时，式中取等号）
4.随堂练习
已知a、b、c都是正数wenku.baidu.com求证
探究:
如图是在北京召开的第24界 国际数学家大会的会标，会标 是根据中国古代数学家赵爽的 弦图设计的，颜色的明暗使它 看上去象一个风车。你能在这 个图案中找出一些相等关系或 不等关系吗？
研究过程:
1．探究图形中的不等关系
在正方形ABCD中有四个全等 的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b那么 2 2 正方形的边长为 a b 这样，4个直角三角形的面 积的和是2ab，正方形的面积 为 a 2 b2
ab ab 2
(a>0,b>0)
3.4基本不等式
ab ab 2
第一课时
从不等式的性质推导基本不等式
ab ab 2
用分析法证明： 要证
ab ab 2
（1）
只要证
a+b
2 ab
（2）
（3） （4）
要证（2），只要证 a+b- 2 ab 0
要证（3），只要证 a - b （ ）
2 2
(当且仅当a b时取" "号)
3．思考：你能给出它的证明吗？
证明：因为
a b 2ab (a b)
2 2
2
2
2
当a b时,(a b) 0,当a b时,(a b) 0 所以(a b)2 0，即a2 b2 2ab
特别的，如果a>0,b>0,我们用 a , b 分别代替a、b ，可得 a b 2 ab , 通常我们把上式写 作 ab a b (a>0,b>0) (当且仅当a=b时， 2 式中取等号） 基本不等式
b a （ ） 1 2; a b 1 (2)a 2. a
(3)(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc
ab 分析：对于此类题目，选择定理： 2 ab
（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.
5.课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a2＋ b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数( )， ab 几何平均数（ ）及它们的关系 ab 2 ab （ ≥ ）.它们成立的条件： ab 2 (1)、前者只要求a、b都是实数，而后 者要求a、b都是正数. (2)、当且仅当a=b时，以上两式取等号。 它们既是不等式变形的基本工具，又是求 函数最值的重要工具 。