10-7斯托克斯公式,环流量与旋度

斯托克斯公式的物理意义
练习题
一 、 计 算 3 ydx xzdy yz 2dz , 其 中 是 圆 周 x 2 y 2 2z , z 2 若 从z 轴 正 向 看 去, 这 圆 周 是 逆时针方向 .
二、
计 算 y 2dx z 2dy x 2dz , 其 中 是 球 面
x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 (a 0 , z 0) ,从x 轴 正 向 看去, 曲线 为 逆时 针 方
(P co Q sco s R co )dss
其中
的单 n c 位 i o c s 法 o j c sk o ,向
的单 t c 位 o i c s 切 o j c sk o 向
斯托克斯公式的向量形式
rA o n td S A td或 s(r A o )n d t S A tds
向 量场A沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A的旋度场通过所张的曲面的通量.( 的正 向与的侧符合右手法则)
四、小结
斯托克斯公式
cos cos cos
dydz dzdx dxdy
x
y
z
dS
x
y
z
PQR
PQ R
Pdx QdR y dzrA on td S A tds
斯托克斯公式成立的条件
向.
三 、 求向量场 A ( z sin y)i (z x cos y) j 的旋度 .
四 、 利 用 斯 托 克 斯 公 式 把 曲 面 积 分 rot A nds 化 成 曲 线 积 分 , 并 计 算 积 分 值 , 其 中A , 及 n 分 别 如 下 : A y 2 i xy j xz k , 为 上 半 个 球 面 z 1 x 2 y 2 的 上 侧 , n 是 的 单 位 法 向 量 .
Thanks
End T H A N K
YOU
10-7斯托克斯公式,环流量与旋
由于 的法向量的三弦 个都 方为 向正 余， 再由对称性知：
dydzdzdxdxdy3 d
D xy
y
Dxy如图
1
zdxxdyydz
3 2
D xy o
x 1
三、物理意义---环流量与旋度
1. 环流量的定义:
ຫໍສະໝຸດ Baidu
设向量场
A(x, y,z) P(x, y,z)i Q(x, y,z)j R(x, y,z)k
i jk
旋度roAt
x y z
PQR
( R Q ) i ( P R ) j ( Q P ) k . y z z x x y
斯托克斯公式的又一种形式
[ R y ( Q z ) co ( P z s R x ) co ( Q x s P y ) c] o d
其中
(rA o )n trA on t
( R Q )c o (s P R )co ( s Q P )cos
y z
z x
x y
A t A n P c Q o c R o c s o s s
环 流 r A o d 量 S t A tds
Stokes公式的物理解释:
五 、 求 向 量 场 A ( x z ) i ( x 3 yz ) j 3 xy 2 k 沿 闭 曲 线 为圆 周 z 2 x 2 y 2 , z 0 ( 从 z 轴 正 向 看 依逆 时 针 方 向 ) 的 环 流 量 .
六 、设 u u ( x , y , z ) 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 , 求 rot ( gradu ) .
则沿场 A中某一封闭的有向 C上曲的线曲线积分
CAds CPdxQdyRdz
称为向量A场 沿曲线 C按所取方向的环. 流量
利用stokes公式, 有
i jk
环流量 CA dsx
y
dS z
P QR
2. 旋度的定义: i jk
称向量 为向量场 (r的 oA )t.旋度 x y z
P QR