狄利克雷定理的证明

为证明定理本身，我先证明几个引理。

引理1(Bessel 不等式)：若函数()f x 在[,]ππ-上可积，则有

2222011

()()2n n n a a b f x dx π

π

π∞=-++≤∑⎰ 证明：设201

()(cos sin )2m

m n n n a S x a nx b nx ==

++∑ 显然：2

2

2[()()]()2()()()m m m

f x S x dx f

x dx f x S x dx S

x dx π

π

π

π

π

ππ

π--

--

-=

-+

⎰⎰⎰⎰ (*)

其中，0

1

()()()(()cos ()sin )2m

m n

n

n a

f x S x dx f x dx a f x nxdx b f x nxdx ππ

ππ

π

πππ=--

-

-

=++∑⎰⎰⎰⎰

由傅立叶级数系数公式可以知道：

2

2201

()()()2

m

m n n n f x S x dx a a b π

π

π

π=-=

++∑⎰

2

22222

0011()[(cos sin )]()22m m

m n n n n n n a S x dx a nx b nx dx a a b π

π

ππ

ππ==--=++=++∑∑⎰⎰ 以上各式代入(*)式，可以得到：

2

2

2

2201

0[()()]()()2

m

m n n n f x S x dx f x dx a a b π

π

π

π

π

π=--≤

-=

-

-+∑⎰⎰

另

2

2

2

201

()()2

m

n n n a a b f x dx π

π

π

π=-++≤

∑⎰

这个结果对于m N ∀∈均成立，而右端是一定积分可以理解为有限常数，据

此可知“2

2201

()2m

n n n a a b ππ=++∑”这个级数的部分和有界，则引理1成立。

引理2：若函数()f x 是2T π=的周期函数，且在上可积，则它的傅立叶级数部分和

()m S x 可改写为：1

sin()12()()

2sin

2

m m u S x f x u du u ππ

π-+=+⎰ 证明：设201

()(cos sin )2m

m n n n a S x a nx b nx ==

++∑ 111()[(()cos )cos (()sin )sin ]2m n f x dx f x nxdx nx f x nxdx nx ππππππ

ππ=---=++∑⎰⎰⎰ 111

sin()1

1111

2()[cos ()]()[cos ]()

222sin

2

x m m n n x m u

f u n u x du f x t nt dt f x u du u π

ππ

π

ππ

π

ππ-==----+=

+-=++=+∑∑⎰

⎰⎰我在下边给出一个比楼主强的结论！

收敛定理：设()f x 是[,]a b 的按段光滑函数,如果它满足:

(1) 在[,]a b 只有有限个第一类间断点, 在补充定义后它可积（应当指出：补充定

义后，它已不是原来的函数）。

(2) 在[,]a b 每一点都有(0)f x ±，且定义补充定义后的函数为1()f x 有：

10()(0)lim (0)u f x u f x f x u +

→+-+=+，10()(0)

lim (0)u f x u f x f x u

-

→---=- 则()f x 的傅立叶级数在点x 收敛于这一点的算术平均值(0)(0)

2f x f x ++-，若

在x 连续，则收敛于()f x 。

为方便，我仅证明()f x 是2T π=的在[,]ππ-上的按段光滑函数(上述命题在此基础上稍加变换即可)，则当[,]x ππ∈-时有(其中,n n a b 是傅立叶级数系数)

01

(0)(0)(cos sin )22n n n a f x f x a nx b nx ∞

=++-=++∑

证明：由引理1容易可知：0

1

lim ()sin()02n f x n xdx π

→∞+=⎰ (**)

若(0)(0)

lim[()]02

m n f x f x S x →∞++--=成立，则命题得证，而1

sin()(0)(0)(0)(0)12lim[()]lim[()]2222sin

2

m n n m u

f x f x f x f x S x f x u du u ππ

π→∞→∞-+++-+--=+-+⎰另外，1

sin()1212sin 2m u du u

πππ-+=⎰

，注意这个式子是偶函数，则011

sin()sin()(0)(0)2222sin 2sin

22

m u m u

f x f x du du u u πππππ-++++=⎰⎰

若01

sin()12lim [(0)()]2sin

2n m u f x f x u du u ππ→∞++-+⎰=0，则命题得证。 记(0)()2

()sin 2

u

f x f x u

g u u u +-+=

有微积分知识10(0)()2

lim ()(0)sin

2

u u

f x f x u

g u f x u u +→+-+==-+，若1(0)(0)g f x =-+

则它在0+

连续，由于第一类间断点只有有限个，则它在[0,]π上可积。结合(**)