(4.2-4.3)币值、时间加权收益率

问题： （1）计算这三个投资者的币值加权收益率。 （2）整个基金的币值加权收益率等于多少？ （3）如何衡量基金经理人的业绩？
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投资基金的构成及其新增投资情况
期初本金 A B C 基金 (合计) 2000（100股） 2000（100股） 2000（100股） 6000（300股）
期中帐户余额 2500（100股） 2500（100股） 7500（300股）
i I
2I 2I A ( A t Ct ) 2 A t Ct
2I A (B I )
A t 0.5Ct
这就是前述最简单的一个近似公式。
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4.3时间加权收益率

币值加权收益率受本金增减变化的影响。

本金的增减变化是由投资者个人所决定的，基金经理人无
权作出增减本金的决定。
12 6200（310股）

分析：

度量基金经理人的经营业绩的收益率应为0。但基金的 币值加权收益率为负(–0.816%)。 如果扣除了新增投资的影响，三个投资者的收益率将

是相同的。

A没有新增投资，所以扣除新增投资后的币值加权收益 率仍然为0。 B和C都有新增投资，如果扣除新增投资，它们的收益 率可计算如下：
6000(1 + i) + 250(1 + i)0.5 = 6200
故整个基金的币值加权收益率为：－0.816%
期初本金 A B C 基金 2000（100股） 2000（100股） 2000（100股） 6000（300股） 期中帐户余额 2500（100股） 2500（100股） 2500（100股） 7500（300股） 期中新增投资 0（0股） 1000（40股） –750（–30股） 250（10股） 期末帐户余额 2000（100股） 2800（140股） 1400（70股）
问题：投资于同一个基金，三个投资者的币值加权收益率为何相差悬殊？
期初本金 A 2000（100股）
期中帐户余额 2500（100股）
期中新增投资 0（0股）
期末帐户余额 2000（100股）
B
C
2000（100股）
2000（100股）
2500（100股）
2500（100股）
1000（40股）
–750（–30股）
期中新增投资 0（0股） 1000（40股） 250（10股）
期末帐户余额 2000（100股） 2800（140股） 1400（70股） 6200（310股）
2500（100股） –750（–30股）
股票 价格
20
25
25
20
10

解：
（1）币值加权收益率 A：2000(1 + i) = 2000， i =0 B：2000(1 + i) + 1000(1 + i)0.5 = 2800 , C：2000(1 + i) – 750(1 + i)0.5 = 1400， i = – 7.967% i = 9.184%

益率为
j2 = 2800÷3500 – 1 = –20%。

假设本金在整个投资期保持不变，不妨令其为1，并假设当期的平均收 益率为i，则应有 1 + i = (1 + j1)(1+ j2)

故扣除新增投资的影响后，投资者B的平均收益率为 i = (1 + j1)(1 + j2) – 1 = (1 + 25%)(1 – 20%) – 1 = 0

Leabharlann Baidu
13
B

2000（100股）
2500（100股）
1000（40股）
2800（140股）
B的初始投资2000元，在期中，由于股票价格上升，投资余额成为2500 元，所以在前半期的收益率为 j1 = 2500÷2000 – 1 = 25%。 在期中，新增投资1000元，使后半期初的投资余额增加到2500＋1000 = 3500元，这个余额在期末由于股价下跌降到2800元，所以在后半期的收
无新增投资，所以期末的帐户余额仍然是2000元。
（2）投资者B在期初投资2000元（获得100股），期中又 增加投资1000元（获得40股），到期末时有140股，每股 的价格是20元，所以期末的帐户余额是2800元。
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（3）投资者C在期初投资2000元（获得100股），在期中
抽走750元（减少30股），期末时剩余70股，每股的价值 是20元，所以期末的帐户余额是1400元。
A(1 i) t Ct (1 i)(1t ) B
注：Ct > 0表示增加投资； Ct < 0表示抽走投资。
4
近似计算

对于不足一个时期的新增投资，用单利代替复利，即令
(1 i )(1t ) 1 (1 t )i
故期末累积值可表示为
A(1 i) t Ct (1 i )(1t ) A(1 i ) t Ct [1 (1 t ) i]

币值加权收益率可以衡量投资者的收益，但不能衡量基金 经理人的经营业绩。

时间加权收益率就是扣除了本金增减变化的影响后所计算 的一种收益率。
7

例：假设某基金由A，B，C三个投资者投资，基金经理人
将该基金全都投资于一种股票，该股票在期初的价格是每 股20元，期中上升到25元，到期末又下降到20元。假设 三个投资者的出资情况如下（参见下下页的表格）： （1）投资者A在期初投资2000元（获得100股），当期再


简单近似
精确计算 近似计算
2
简单近似

假设：本金在当期的变化是平稳的，期初本金余额与期末
本金余额的平均数就是当期的平均本金余额。用当期的利 息收入除以当期的平均本金余额，即可求得投资收益率。

符号（注意：不同书中的符号可能不同）：



期初的本金余额为A 期末累积值变为B（仅考虑一个时期） 当期产生的利息 I 期末的本金余额就是(B – I) 当期的平均本金余额就是(A + B – I )/2。

当期的收益率可近似表示为
I 2I i (A B I) / 2 A B I
3
精确计算

假设期初的本金为A，在时刻t的新增投资为Ct，投资收益
率为i，在期末的累积值可表示为
A(1 i) t Ct (1 i)(1t )
注：时刻t的新增投资额Ct只在时刻 t 以后产生收益，即产 生收益的时间长度为(1 – t) 用B表示期末的累积值，则有
全年的收益率
假设在一年中的时刻t1，t2，…，tm－1共有m－1次本金的
存入或取出。整个一年就被划分为m个区间。
0 投入：
基金值：B0 收益率： j1
t1 C1
B1 j2
t2 C2
B2 j3
t3
… tm－1
Bm－1 jm
tm
Bm
C3 … Cm－1
B3 …
B2 j2 = 1 B1 C1
区间2的收益率
i[ A t Ct (1 t )] ( A t Ct ) B
I i A t Ct (1 t ) A t Ct (1 t )
B ( A t Ct )
5
对近似公式的解释：
i
I A t Ct (1 t )
（1）分母是以本金产生利息的时间长度为权数计算的加权平 均本金余额，如期初的本金将在整个时期内产生利息，所以 它的权数为1，时刻t增加的投资Ct产生利息的时间长度是(1 – t)，所以其权数为(1 – t)。 （2）如果进一步假设新增投资发生在期中，即t = 0.5，则
基金的利息度量 (Interest measurement of a fund)

问题：一个投资基金，它的本金在一个度量时期内是不断
变化的，随时都有新资金的投入，也不断有资金的撤出。
那么在这种情况下，如何计算投资基金的收益率呢？

两种度量方法：

币值加权收益率 时间加权收益率
1
4.2币值加权收益率
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同理，投资者C在扣除新增投资的影响后，整个时期的收
益率也为0。

对于整个投资基金也一样，它在扣除新增投资的影响后， 整个时期的收益率为0。

请大家自己验证。

下面讨论时间加权收益率的一般公式。
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时间加权收益率的一般公式

i = (1 + j1)(1 + j2) … (1 + jm) – 1
2800（140股）
1400（70股）
11
股价：期初20，期中25，期末20
（2）整个基金的币值加权收益率：
基金在期初的本金是6000元 在期中增加的本金是1000 －750 = 250 在期末的帐户余额是 2000 + 2800 + 1400 = 6200 整个基金的币值加权收益率是下述方程的解：
（3）如果在6月30日计算余额之前存入资金D，试求币值、 时间加权收益率。
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在衡量基金经理人的经营业绩时，通常使用时间加权收益
率；

在衡量一个具体投资者的收益情况时，使用币值加权收益 率。
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Bk jk = 1 Bk 1 Ck 1
区间k的收益率
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例：基金在1月1日的余额为A，在6月30日的余额为B，在
12月31日的余额为C。 （1）如果没有资金的存入和撤出，证明币值、时间加权收 益率都等于(C-A)/A。 （2）如果在6月30日计算余额之后存入资金D，试求币值、
时间加权收益率。