第二章-Z变换

x' (n) 1 [(1)n (3)n ] u(n) 2
x(n) 1 [(1)n1 (3)n1]u(n 1) 2
长除法-原理
将正变换 X (Z ) x(n)zn展开，则 n
X (z) x(3)z3 x(2)z2 x(1)z x(0) x(1)z1 x(2)z2 x(3)z3
n
n0
n0
1 az 1 (az 1 )2 (az 1 )n
当 z a 时，这是无穷递缩等比级数。
q az 1,
S
a1 1 q
1 1 az 1
z。 za
z a为极点，当 | az1 | 1时， 即 z a时，在圆 z a 外，收敛。
三、左边序列
例5：求序列 x(n) bnu(n 1)的Z变换及收敛域。
Z- —1 ) Z 4 Z- —14
—14 —14
-
—116
Z-1
为了得到z的正次幂的 多项式，将除数和被 除数按z的升幂排列
—116 Z-1 —116 Z-1- —614 Z-2
—614 Z -2 —614 Z-2 - —215—6 Z-3
—215—6 Z-3
...
极点分为：实极点、复极点 若为复极点必然是共轭极点，必然是成对出现
z zk
再利用已知的z变换：
Z[ Ak zknu(n)]
Ak
z z zk
或Z[-Ak zknu(-n -1)]
Ak
z z zk
N
结合收敛域写出反变换： x(n) A0 Ak (zk )n
k 1
需要注意的问题：
①极点zk，为D(z)=0的根
②计算系数Ak时，要写成：
X (z) A0 N Ak
长除法-例子
为了得到z的正次幂的多项式，将除数和被除数按z的升幂排列
4-Z)
4Z+Z2+ —41 Z 3+ —116Z 4+ —614Z 5+ ...
16 Z 16 Z - 4 Z2
4 Z2
4 Z2 - Z3
Z3
Z 3 - —14 Z 4
—14 —14
Z Z
4
4-
—116
Z
5
—116 Z 5
…
1+ —14 Z-1+11—6 Z-2 + 6—14 Z -3...
第二章 Z变换
讨论z变换的目的：
离散系统可以用差分方程表示：
N
N
y(n) bk x(n k) ak y(n k)
k 0
k 1
在数字信号处理中，离散系统就是数字滤波器，
要分析数字滤波器就要解差分方程，但直接解
起来很麻烦，所以利用z变换把差分方程转化为 代数方程，使求解过程简化。
LT~微分方程
n0
n
即当z=1时系统稳定，即当H(z)的收敛域包括单 位圆时，系统稳定
二、离散系统的频率响应：
即单位抽样响应h(n)的傅里叶变换
H (e j ) h(n)e jn n
也是系统函数H(z)在单位圆上的值 H(e j)=H(z)|z=e j
M
bk z k
k0 N 1 ak z k k 1
2、 H(z)和单位抽样响应h(n) 的关系
当输入x(n)=(n)时，输出y(n)称为单位抽样
响应h(n)。
H (z) Z[h(n)] h(n) Z 1[H (z)]
3、注意的问题：系统的稳定性和因果性
a、从系统的单位抽样响应分析：
对于线性移不变系统，若n<0时，h(n)=0，则系统 为因果系统；
横坐标为实轴，纵坐标为虚轴； •两平面都是复平面。
z e sT re j e( j)T eT e jT
r eT , T
(1)r与的关系 (r eT )
→
=0,即S平面的虚轴→r=1,即z平面单位圆； <0,即S的左半平面→r<1,即z的单位圆内； >0,即S的右半平面→r>1,即z的单位圆外 。
n
其收敛域应包括 z 0, z ,
即 0 z , 充满整个Z平面。
零极点
X (z) N(z) 为有理分式，
D(z) D(z)=0的根称为z变换的极点，
N(z)=0的根称为z变换的零点。
极点与收敛域的关系： 收敛域不包含极点，收敛域总是以极点为收敛 边界，收敛圆必然通过极点。零、极点分为单 根和重根，单根又分为实根和共轭复根（若为 复根，必然是共轭的，因为系数是实数），滤 波器设计只考虑单根的情况。
求系数Ak
X (z) z
z
z2 4z 3 (z 1)( z 3)
A1
X (z) z
(z
zk )
zzk
X (z) A2 z (z zk ) zzk
(z
1 1)(z
3)
(z
1)
z 1
(z
1 1)(z
3)
(z
3)
z 3
1 1 13 2
1 1 31 2
即： x(n)z n M n
一、有限长序列
例1：求序列 x(n) RN (n) 的Z变换及收敛域。
Z[RN (n)]
RN (n)zn
n
N 1
z n
n0
1 zN 1 z1
收敛域为： 0 z ,
例2：求序列 x(n) (n)的Z变换及收敛域。
解：
Z[ (n)] (n)zn z0 1
LT主要问题：收敛域、极点、反变换
常用的LT：L[ (t)]
1; L[u(t)]
1 s
; L[eat
u(t)]
1 s
a
S平面与Z平面的映射关系
连续信号xa(nT)抽样后为
xa (t)
抽样信号的拉氏变换为
X a (s)
xa (t)est dt
xa (nT ) (t nT )est dt
若 | h(n) | ，则系统稳定 n
b、从系统的系统函数分析： H (z) h(n)z n n0
由于h(n)为因果序列，所以H(z)的收敛域为收敛圆 外部(即|z|>R)，所以H(z)的收敛域为收敛圆外部 区域时，系统为因果系统；
H (z) h(n)z n 若当z=1时H(z)收敛 | h(n) |
二、右边序列
例3：求序列 x(n) u(n)的Z变换及收敛域。
Z[x(n)] u(n)zn zn
n
n0
1 1 1 z z2
1 1 z 1
z z 1
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
Z[u(n) u(n 1)]
Z[u(n)] Z[u(n 1)]
n
xa
(nT
)
(t
nT
)e st
dt
xa (nT )e snT
n
n
抽样序列x(n)=xa(nT) 的z变换为X (z) x(n)z n n
比较两式得s平面到z平面的映射关系为：z
e sT
,
s
1 T
ln
z
（主要应用于AF到DF转换）
•将s平面用直角坐标表示：s j ，
横坐标为，纵坐标为模拟角频率； •将z平面用极坐标表示： z re j ，
例2-4-2：
X
(
z)
1
4
z
z 2 1
3z
2
X (z)
z2
1 4z
3
(z
1 1)( z
3)
1 2
1 z 1
z
1 3
利用z变换的时移性质： Z 1 z 1 X (z) x(n 1) u(n 1)
令： 则：
X (z) z 1 X ' (z) z 1 1 z z 2 z 1 z 3
j
0
0
→
r＝0，＝0时， ＝–，＝0，即z平面的原点映射到
s平面的实轴上负无穷远处。
(2)与的关系（=T）
的取值范围是从-→（负频端无意义，只是
用于数学分析），而在圆周上变化，具有明显 的周期性，以2为周期，这样的对应关系非单值
关系，所以要把限制在一个周期内。
= T,从–→， 所以在一个周期内：为–/T→/T
x(n) h(n) y(n)
X (Z) H(Z) Y(Z)
系统函数： H (Z ) Y (Z )
X (Z)
§2.4 z反变换
部分分式法：
X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、D(z)
一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形式
X (Z ) Ak z
n
n
n0
az 1 az
1
1 az
1
1 a2 (1 az)(1 az1)
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
z nu(n) ~ (z 1)2
作业2.1(2)(6)
sin(n0
)u(n)
~
z2
sin z sin(0 ) z2 2z cos0 1
§2.1 Z变换
Z变换的表示：
双边z变换： 单边z变换：
X (Z ) Z[x(n)] x(n)zn
n
X (Z ) Z[x(n)] x(n)zn
n0
Z为复数，以z的实部为横坐标，z的虚部 为纵坐标，可以构成一个z平面
§2.2 收敛域
1、定义： 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域。 2、收敛条件：（级数的收敛条件） X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
z
z k1 z zk
X (z) Ak (z zk ) z zzk
③利用已知z变换时，注意收敛域
配分法：
例2-4-1：X
(z)
1
z 1 4z1
3z
2
,|
z
|
3
（在滤波器的设计中，分子、分母通常写成负幂的形式）
X (z)
z2
z 4z
3
(z
z 1)( z
3)
1 2
z
z 1
z
z 3
x(n) 1 [(1)n (3)n ] u(n) 2
而X (z)又可写成 X (z) D(z) N(z)
因此 D(z) x(3)z3 x(2)z2 x(1)z N(z)
x(0) x(1)z1 x(2)z2 x(3)z3
即D(z)除以N(z)的商为z的多项式，多项式的系数即为序列x(n)
左边序列对应z的正次幂的系数，右边序列对应z的负次幂的系数
例：
X (z)
1
z 1 z1
z2
z2
z z
1
(z
12)2
z (
3 2
j)2
因为D(z)的系数是实数，所以复极点必然成对出现
作业2.3
§2.5 Z变换与Laplace变换、序列的 傅里叶变换的关系
一、 Z变换与Laplace变换的关系
利用LT可以得到连续系统的一些性质，利用z变换 可以得到离散系统的系统函数，而在设计数字滤 波器时可以先设计AF，再通过代换得到DF,所以 AF和DF的关系就可从LT与z变换的关系得到。
s1in2zz1
1 sin(0 cos0
z 2
)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
=0，S平面的实轴，
=0，z平面正实轴；
=0(常数)， S：平行实轴的直线，
= 0T,
z：始于原点的射线；
( , ), S :宽 2 的水平条带， (, ), z : 整个z平面
TT
T
j 3
jIm[Z]
T
T
T
3
T
Re[Z]
0
Re[Z]
二、Z变换与FT的关系
傅里叶变换是拉氏变换在s平面的虚轴上的 特例，由于s平面的虚轴映射到z平面的单位 圆上，因此抽样序列在单位圆上的z变换就 是它的傅里叶变换。
z z1 z z 1 1
z 1
z 1 z 1
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
u(n) u(n 1) (n), Z[ (n)] 1
例4：求序列 x(n) anu(n)的Z变换及收敛域。
解： X (z) anu(n)z n a n z n (az 1 )n
1
Z[x(n)] x(n)Z n bnZ n
n
n
n1
bnZ n
1
b
1z b1z
z b
z
Leabharlann Baidu
z zb
q b1z, 当| b1z | 1时，即 z b时，
在圆 z b内，收敛。 z b为极点
左边～圆内 右边～圆外
四、双边序列
例6： x(n) a n ，|a|<1
1
Z[x(n)] a|n|Z n anZ n anZ n
一、离散系统的系统函数
1、差分方程和系统函数的关系
N
M
系统的差分方程为： y(n) ak y(n k) bk x(n k)
k 1
k 0
N
M
对方程两边做z变换，得：Y (z) ak z kY (z) bk z k X (z)
k 1
k 0
整理得系统函数为： H (z) Y (z) X (z)
各个变换的关系：
连续： L[h(t)]
系 统 函 数
x(t)est dt 0
x(t)e jt dt
s=jΩ
X(S)
X(j)
z=esT
=T
X(z)
z=ejω
X(ejω)
模拟：x(t)
频
率 响
t=nT
应s
离散： Z[h(t)]
x(n)z n
n
x(n)e jn
n
数字：x(n)
§2.6 离散系统的系统函数和 系统的频率响应