3第三章 流体运动学

第三章 流体运动学

3－1 已知流体质点的运动,由拉格朗日变数表示为 x =ae kt ,y =be -kt ,z =c ,式中k 就是不为零的常数。试求流体质点的迹线、速度与加速度。

解:(1)由题给条件知,流体质点在z=c 的平面上运动,消去时间t 后,得

xy =ab

上式表示流体质点的迹线就是一双曲线族:对于某一给定的(a ,b ),则为一确定的双曲线。

(2)0kt kt x y z x y z u kae u kbe u t t t

-∂∂∂=

===-==∂∂∂，， (3)220y kt

kt x z x y z u u u a k ae a k be a t t t

-∂∂∂======∂∂∂，， 3－2 已知流体运动,由欧拉变数表示为u x =kx ,u y =－ky ,u z =0,式中k 就是不为零的常数。

试求流场的加速度。

解:2d d x x x x x x x y z u u u u u

a u u u k x t t x y z ∂∂∂∂=

=+++=∂∂∂∂ 2d d y y u a k y t ==,d 0d z z u a t

==

3－3 已知u x =yzt ,u y =zxt ,u z =0,试求t =1时流体质点在(1,2,1)处的加速度。 解:2()3m/s x x x x x x y z u u u u

a u u u yz zxt zt t x y z ∂∂∂∂=

+++=+=∂∂∂∂ 2()3m/s y y y y y x y z u u u u

a u u u zx yzt zt t x y z ∂∂∂∂=+++=+=∂∂∂∂

0z z z z z x y z u u u u

a u u u t x y z

∂∂∂∂=+++=∂∂∂∂

3－4 已知平面不可压缩液体的流速分量为u x =1－y ,u y =t 。试求(1)t =0时,过(0,0)点的迹

线方程;(2)t =1时,过(0,0)点的流线方程。 解:(1)迹线的微分方程式为

d d d d d d d d d d y x y x y

x y x y t t t y

u t

t t u u u u ，，，，

积分上式得:12

2C t y +=,当t=0时,y=0,C 1=0,所以

2

2

t y = (1)

2d d (1)d (1)d 2x t x u t y t t ,积分上式得:23

6

C t t x +-=

当t =0时,x =0,C 2=0,所以

6

3

t t x -=

(2)

消去(1)、(2)两式中的t ,得x =有理化后得 023

49222

3=-+-x y y y (2)流线的微分方程式为

d d d d d (1)d 1===--，即，x y x y x y t x y y u u y t

,积分上式得 C y y tx +-=)2

(2

当t =1时,x =y =0,C =0,所以可得:)2

(12

y y t x -

=(为非恒定流) 3－5 已知u x ＝x ＋t ,u y ＝－y ＋t ,u z ＝0,试求t ＝2时,通过点A (－1,－1)的流线,并与例

3－3相比较。

解:由例3－3可得:()()x t y t C +-+=

当t =2,x =－1,y =－1,C =3。因此,通过点A (－1,－1)的流线为 3)2)(2(=+-+y x

上式不同于例3－3,即当t =0时通过A 点的流线为xy ＝1,说明不同时刻的流线不同。 3－6 试求例3－6流体运动的流线方程与流体质点通过点A (1,0)流线的形状。

解:例3－6流体运动如题3-6图所示 2

2y x ky u x +-=

,22y x kx

u y

+= 流线方程:

2

222d ()

d ()

x x y y x y ky kx

2

222d ()d ()0kx x x y ky y x y

2

222d

()()02

k x y x y

积分,得

122

)(2

C y x k =+,222)(C y x =+ 圆心(0,0),半径2C R =。

当x =1,y =0,代入上式得C 2=1。(2

2

y x +)=1, 为一圆,因就是恒定流,不同时间为同一圆。

3－7 已知2

2y x kyt u x +-

=,22y x kxt

u y

+=,z u =0,式中k 就是不为零的常数。试求:(1)流线方程,(2)t =1时,通过点A (1,0)流线的形状,(3)将求得的流线方程与习题3－6求得的流线方程

相比较,它们有什么异同。

解:z u =0,为平面(二维)流动。

(1)流线方程

d d x y

x

y

u u 将x u 、y u 代入上式,得 2222

()

d d x y x y x

y kyt kxt

222

2()d ()d x y x kxt x y y kyt

2

222()d ()d 0x y kxt x x y kyt y 2

2()(d d )

0kt x y x x

y y ,2

2221

()d()02

kt x y x y

积分得

2

21()

2

kt x y C ,流线方程一般形式:2

22()x y t

C 。

(2)t=1,x=1,y=0,代入上式,得C 2=1;流线为2

2

y x +=1,流线的形状为一圆。 (3)因就是非恒定流,不同时间为不同的圆,如t=2,x=1,y=0,C 2=2,2

22(2)x

y

3－8 试证明下列不可压缩均质流体运动中,哪些满足连续性方程,哪些不满足连续性方程。(1)u x ＝－ky ,u y ＝kx ,u z ＝0;(2)u x ＝kx ,u y ＝－ky ,u z ＝0;(3)u x ＝

2

2y

x y

+-, 题3-6图