向量的内积长度及正交性

① A1 AT ; ② A1(即 AT) 也是正交矩阵； ③ AB 也是正交矩阵； ④ A 1或1;
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定理 4 A为 n 阶正交矩阵的充要条件是：A 的列向量 组是正交单位向量组.
上堂课主要内容：
1、内积：对向量
a1
Leabharlann Baidu
aan2 ,
b1
b2
bn
, a1b1 a2b2 anbn
2、向量的长度：设
a1
a2
an
, a12 a22 an2
3、单位向量：当 1 时，称为单位向量
将非零向量单位化：取向量
*
1
，
4、正交：如果向量 与 满足 , 0 ，则称
1 1
建立齐次线性方程组
Ax=O，
即
1 1
1 2
11
x1 x2 x3
0 0
解方程组(过程略)，可得基础解系
1 0
1
于是，和 1, 2 都正交的非零向量 3 可表示为
3 k ( k 为非零实数)
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二、正交向量组、规范正交基
1. 正交向量组
一组两两正交且不含零向量的向量组 , 称为非零正 交向量组 .
(设, , 为 n 维实向量，k 为实数)
① , , ； (交换律) ② k , k , ；(结合律) ③ , , , ；(分配律) ④ [ , ] 0 ，等号成立当且仅当 0 .
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向量内积的性质：
设, 均, 为n维向量， 为实数，则 1 , ,
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3. 向量的夹角
定义 3 规定 n 维向量 和 的夹角为 arccos [ , ]
根据定义，如果非零向量 , 的内积 [ , ] 0，则 夹角 =90o ；反之亦然 .
定理 2 非零向量 , 正交(或垂直)的充要条件是 [ , ] 0
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例2
已知 R3 中的两个向量
向量 与 正交。
一、向量的内积
1. 向量的内积
n 维向量的内积是 几何向量内积的推广.
a1
b1
定义 1
设有 n 维向量
a2 ,
b2
，
规定 和 的内积为
an
bn
, a1b1 a2b2 anbn
(即，对应分量的乘积之和)
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说明 (1) 当 和 都为列向量时(一般做法)，
一组两两正交的单位向量，称为正交单位向量组，
即
i， j
1 , 0,
若i 若i
j j
定义 4 设1，2， ，r 是 r 维向量空间 V 的一组基.
如果 1，2， ，r 是正交单位向量组，则称 1，2， ，r
是 V 的一个规范正交基.
例如，
1 2
/ /
3 3
，
2 1/
/3 3
是
R2
的一个规范正交基.
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设 1，2， ，是r 向量空间 V 的一组规范正交基， 则向量 在这组基下的坐标向量的第 j 个分量为
[ , j ] ( j 1,2, ,r)
证
x1
设
(1，
2，
，
r
)
x2
x11 x22 x2r
xr
则 [ , j ] [x11 x22 x2r , j ]
,
1 2 2 (3) (1)1 0 0 6 14
5 2 21
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定理 1 向量的内积满足
, 2 2 2 即 , 2 [ , ][ , ]
(称为Cauchy-Schwarz不等式) 向量长度的性质：
① 0 , 等号成立当且仅当 O；(非负性) ② k k ；(齐次性) ③ (三角不等式)
定理 3 非零正交向量组是线性无关的 .
证 设 1，2， ， s 是非零正交向量组，
即
(非零)
i，i iTi
0
(i, j 1,2, , s)
(正交) i， j iT j 0 (i j)
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设 k11 k22 ks s O (1) 证明 1，2， ， s 线性无关，就是要证明上式中的组
b1
T
(a1,a2 ,
an
)
b2
a1b1 a2b2 anbn
bn
a1
T
(b1 , b2 ,
bn
)
a2
a1b1 a2b2
anbn
an
则，内积可用矩阵记号表示为
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(2) 若已知 是行向量， 为列向量，则内积应为
,
根据定义，容易证明内积具有如下运算性质：
2 , , ,
3 , , ,
4 , 0 且等号成立
0
证（3） , , ,
a1
证（4）设
a2
an
，则
,
a12 a22 an2 0
且当且仅当 ai 0(i 1,即2 , n)时， 0 成立,。 0
1
1 1,
2
1 2
正交，
1
1
求一个非零向量 3，使得1, 2, 3 两两正交.
分析 已知1, 2 相互正交，故只需求出与1, 2 都
正交的一个向量.
以1T
,
T 2
作为行向量构成矩阵
A
，
则
Ax=O
的解和
1T
,
T 2
正交
(亦和
1,
2
正交).
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解
令
A
12TT
1 1
1 2
合系数 ki (i 1,2, , s)必须全为零. 对(1)式两端同时左乘 , 得
k1 1 k2 2 ks s 0
由于各向量两两正交，故
k1 1 0 0 0 其中 1 0 ，因此，必有 k1 0 .
同理，对(1)式两端同时左乘 ，可得 ki 0. 证毕
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2. 规范正交基
x1[1, j ] x2[2, j ] xr[r , j ]
0 0 0 x j[ j , j ] 0 0
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三、正交矩阵、正交变换
1. 正交矩阵
定义 5 若 n 阶方阵 A 满足 ATA=E，则 A 为正交矩阵. 根据定义，容易证明如下正交矩阵的性质： 设 A, B 皆为 n 阶正交矩阵，则
2. 向量的长度
a1
定义 2
设
n 维向量
a2 ,
an
规定 的长度(或范数)为
[ , ] a12 a22 an2
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1
2
例1
已知
21,
13,
0
0
计算两个向量单位化后的内积.
解 12 22 (1)2 02 6 14
,