《函数及其表示》导学案及答案

《函数及其表示》导学案

一、学习目标

1.了解函数的概念，构成函数的要素，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；

2.了解简单的分段函数，并能简单应用；

3.了解简单的复合函数，并能简单应用。

二、知识梳理

（一）函数的概念

1．函数与映射的概念

注意：判断函数图象的常用结论：与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点。

2.函数的三要素

（1）函数由、和三个要素构成。

（2）对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做，与x的值对应的y值叫做，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做，显然，值域是集合B的子集。

3.相等函数

如果两个函数的和完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据。

（二）函数的表示法

表示函数的常用方法：、、。

1. ：就是把变量x,y之间的关系用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值。

2. ：就是将变量x,y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系。

3. ：就是把x，y之间的关系绘制成图像，图像上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值。

（三）分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的，这样的函数通常叫做分段函数。

说明：分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数。处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，从而选取相应的对应关系；画分段函数图像时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。当自变量不确定时，需分类讨论。

（四）复合函数

如果函数y＝f(t)的定义域为A，函数t=g（x）的定义域为D，值域为C，则当A

C⊆时，称函数))

f

y=

g

(x

(

为f(t)与g（x）在D上的，其中t叫做中间变量，t=g（x）叫做内层函数，y＝f(t)叫做外层函数。三、典例分析

【题型一】函数的基本概念

【例1】若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()

【变式训练1】对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是()

【题型二】相等函数的判断

【例2】下列四组函数中，表示同一函数的是( )

A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2

B ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg x

C ．f (x )＝x 2－1

x －1

，g (x )＝x ＋1

D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1

【变式训练2】下列各组函数中，两个函数是同一函数的组数有（ ） ①||

()x f x x =

与1,0()1,0

x g x x >⎧=⎨

-<⎩

②2

46y x x =-+与2

(2)2y t =-+

③()2f x x =-，()21

31

x g x x -=--

④()f x x =，()2

g x =

⑤()1f t t =-，()1,1

1,1x x g x x x -≥⎧=⎨

-+<⎩

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

【题型三】函数的表示方法

【例3】已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2

,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].

【变式训练3】设f ，g 都是从A 到A 的映射(其中A ＝{1,2,3})，其对应关系如下表：

则f (g (3))等于( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．不存在

【题型四】分段函数

角度一：分段函数求值

【例4-1】 （1）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

log 12x ，x >0，

3x ，x ≤0，

)则f (f (4))的值为( )

A ．－19

B ．－9 C.1

9 D ．9

(2)已知

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+∞∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈)

,0[,0,2,sin 21

)(x x x x x f π若f (a )＝1

2

，则a ＝________。

【变式训练4-1】（1）设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

3x －b ，x <1，

2x ，x ≥1。若

465=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ，则b ＝( ) A ．1 B.78 C.34 D.1

2

（2）设函数f (x )＝⎩⎨⎧

x ，x ∈(－∞，a )，

x 2，x ∈[

)a ，＋∞。若f (2)＝4，则a 的取值范围为________。

角度二：分段函数图象与性质的应用

【例4-2】对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗

b ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

b ，a －b ≥1，

a ，a －

b <1。)设f (x )＝(x 2－1)⊗

(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的

图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )

A ．(－2,1)

B ．[0,1]

C ．[－2,0)

D ．[－2,1)

反思归纳 1.对于分段函数给定自变量求函数值时，应根据自变量的范围，利用相应的解析式直接求解；若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解，但应注意检验该值是否在相应的自变量取值范围之内。

2．由分段函数的函数值相同求自变量或参数的范围问题，一般画出分段函数的图象，观察在相应区间上函数