D9_3全微分

证: 1) 因
xy sin
1 x2 y2
xy
x2 y2 2
所以
lim f (x, y) 0 f (0,0)
x0 y0
故函数在点 (0, 0) 连续 ;
2) f (x,0) 0, fx (0,0) 0 ; 同理 f y (0,0) 0.
3) 当(x, y) (0,0)时,
fx (x, y)
x y (x)2 (
y
)2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
5. 可微的充分条件
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z
在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.
x y
偏导数连续
可微
6. 推广到二元以上函数的可微性
例如, 三元函数 u f (x, y, z) 的全微分为
可表示成
z Ax B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，
称为函数 f (x, y)
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
y 1 , y 0.03
也可写作:
当 x = 2 , y =1 , △x = 0.01 , △y = 0.03 时 △z = 0.02 , d z = 0.03
5. 已知 答案:
备用题
证明函数
在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 但偏导数在点 (0,0) 不连
续, 而 f (x, y) 在点 (0,0) 可微 .
当 (x)2 (y)2 0 时是无穷小量 ; (D) z f x(x, y)x f y (x, y)y
(x)2 (y)2
当 (x)2 (y)2 0 时是无穷小量 .
3. P133 题 7
答案:
z x 2 , x 0.01 0.02 y 1 , y 0.03
d z x 2 , x 0.01 0.03
2. 可微的必要条件 可微
偏导数存在
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证: 由全增量公式
得到对 x 的Baidu Nhomakorabea增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
同样可证 z B , 因此有 y
du
u d z
z
例1. 计算函数
解: z x
的全微分.
z y
例2. 计算函数 解:
的全微分.
du
(
1 2
cos
y 2
zeyz
)d y
练习：
练习：
例3. 计算函数
解: z yexy , x
在点 (2,1) 处的全微分.
z xexy y
z x
(2,1)
e2 ,
z y
(2,1) 2e2
练习：
练习：
内容小结
1. 微分定义:
z
o()
(x)2 (y)2
d z fx (x, y)dx f y (x, y)dy
2. 重要关系: 函数连续
偏导数存在
函数可微 偏导数连续
练习： 答案：D
练习： 答案：B
练习： 答案：C
练习： 答案：B
作业
P77 1 ; 2
思考与练习
2. 选择题
函数 z f (x, y)在 (x0, y0 ) 可微的充分条件是( D )
( A) f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 连续 ; (B) fx(x, y), f y (x, y) 在 (x0 , y0 )的某邻域内存在 ; (C) z fx(x, y)x f y (x, y)y
令y 0, Ax o ( x )
3. 全微分公式
4. 偏导数存在
可微
反例: 函数 f (x, y)
xy , x2 y2 0 x2 y2
0,
x2 y2 0
易知 fx (0, 0) fy (0, 0) 0 , 但
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
x y (x)2 (y)2
二、可微分的条件及偏导数存在、连续的关系
1. 可微
连续
事实上，由微分定义 :
lim z lim (Ax By ) o ( ) 0
x0
0
y0
z f (x x, y y) f (x, y)
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 函数在该点连续
4) 下面证明 f (x, y) 在点 (0,0)可微 :
令 (x)2 (y)2 , 则
f f x (0,0)x f y (0,0)y
说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.
sin
1 x2 y2
x2 y (x2 y2)3
(x,
lim
x )(0,0)
fx (x,
y)
lim( x sin 1
x0
2|x| 2
x 3 cos 2 | x |3
1) 2|x|
极限不存在 , fx (x, y) 在点(0,0)不连续 ; 同理 , f y (x, y) 在点(0,0)也不连续.
第三节 全微分
第九章
一元函数 y = f (x) 的微分
y Ax o(x)
dy f (x)x 应用
本节内容:
一、全微分的定义
近似计算 估计误差
二、可微分的条件及偏导数存在、连续的关系
一、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f (x, y)在点( x , y )的某邻域内有定义， 如果函数在点( x , y )处的全增量