最新二阶系统的时间响应8

n
2 12
其中，Td为阻尼振荡的周期。
欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算 ------参数及其相互关系
j
n d n 12
n 0
(s)s2
n2 2nsn2
s1,2njn 12
arctg
12
or arccos
y(t)1
ent
12
sin(dt
)
欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算 ------性能指标计算
二阶系统的时间响应8
第四章 时间响应分析
（教材第4、5章）
4-1 控制系统的时域指标 4-2 一阶系统的时间响应 4-3 二阶系统的时间响应 4-4 高阶系统的时间响应 4-5 控制系统的稳态误差（教材第4章） 4-6 反馈的特性（教材第4章）
3.当 0 1时,为欠阻尼情况。二阶系统的闭环特征 根为
响应的振荡性越弱，平稳性越好；反之， 越小，振荡
性越强，平稳性越差。
过大，比如, 1 ,则系统响应迟缓，调节时
间 t s 长，快速性差；若 过小，虽然响应的起始速度
较快，t
节时间
p
t
s
和 t r 小，但振荡强烈，响应曲线衰减缓慢，调
亦长。
例4.3 欠阻尼二阶控制系统的单位阶跃响应曲线所示。 试确定系统的传递函数。
y(t) 4 3
0
0.1
t
解 可以明显看出，在单位阶跃作用下，响应的稳态值
为3，而不是1。系统模型应该为
(s)
3n2
s2 2nsn2
可以读出系统的超调量和峰值时间为：
%h(tp)h()4333%
h()
3
t p 0.1 由性能指标公式得
于是先有
%e/ 12 33%
0.33
再者
tp
n
12
0.1
得到模型参数
n
j
0
y(t)1(1t)e y(t)1 1 e t/T 1 1 e t/T 2 T 2/T 1 1 T 1/T 2 1
nt n
1 0
j
0
j
0
0
y(t)1
ent
12
sin(dt
)
y(t)1cos( nt)
[基本结论]
在 0 1 的情况下， 越大，超调量 % 越小，
响应的振荡性越弱，平稳性越好；反之， 越小，振荡
dtp, tp d n
12
当 n 一定时， 越小，t p 越小；
当 一定时， n 越大，t p 越小。
t p 与 t r 有类似的表现。
3.超调量 %
y(tp)1
entp
12
sin()
sin( ) sin 1 2
tp
n
12
y(tp ) 1 e / 12 , let y() 1
性越强，平稳性越差。
过大，比如, 1 ,则系统响应迟缓，调节时
间 t s 长，快速性差；若 过小，虽然响应的起始速度
较快，t
节时间
p
t
s
和 t r 小，但振荡强烈，响应曲线衰减缓慢，调
亦长。
我们再来看一下二阶系统对单位脉冲激励的响应。
传递函数
(s)(sA1as)2B1b2
零极点分布图
j b
-a 0
y'(t)nent cosd t
2n 12
ent
sindt
n
1 e 2 nt
sindt
n 12 12
ent
cosdt
y'(t) (
2n 12
n
12 )ent sindt
n 12
ent
sindt
0
s i nd tp 0 ,d tp n ( n 0 , 1 , 2 , )
按 t p 的定义，应取n=1。
令：
e n ts
1 2
ts
1
n
ln(
1)
12
ts3 n( 5 % )o rts4 n( 2 % )
在设计系统时, 通常由要求的最大超调量决定,
而调节时间则由无阻尼振荡频率 n 来决定。
5.振荡次数N N的定义: 在调节时间内,响应曲线穿越其稳
态值次数的一半。
N ts Td
2 Td d
运动模态1 脉冲响应
y(t)Aeatsin(bt)
t
传递函数
(s)
A1s B1 s2 b2
零极点分布图
j b
0
运动模态2
脉冲响应
y(t)Asin(bt)
tБайду номын сангаас
传递函数
(s) A1sB1 (sa)2 b2
零极点分布图
j b
0a
运动模态3
传递函数
y(t)Aeatsin(bt)
t
三（欠阻尼）二阶系统性能指标计算
thus % y(tp ) y() 100% e / 12 100%
y()
% 与 的关系曲线
增大， % 减小。通常，为了获得良好的平
稳性和快速性，阻尼比 取在0.4-0.8 之间,相应
的超调量约为 25%-2.5%。
4.调节时间 t s
根据定义：
ent sin(
12
12nts)0.05or0.02
s1,2 n jn 12 jd
n
---衰减系数
d n 12 ---阻尼振荡频率
当系统输入为单位阶跃信号时，系统的输 出量为
Y(s)
2 n
1
s22nsn2 s
即有：
Y(s)1s(ss n)2nd2 (s n)n2 d2
h(t) 1ent (cosdt
12
sindt)
1
ent
12
sin(dt )
y(t)1
ent
12
sin(dt
)
令h(t)=1，并取其解的最小值，得到：
tr
d
令h(t)一阶导数=0，并取其解的最小值，得：
tp
d
n
12
由峰值相对偏差，得到：
% e/ 12100%
由包络线求调节时间，得到：
ts
3
~4 n
[基本结论]
在 0 1 的情况下， 越大，超调量 % 越小，
1.上升时间 t r
y(tr)1,thus,1e1 n tr2sin(dtr)1
e ntr
12
sin( d tr
)
0
1
0 , e n tr 0 ,
12
d tr n ( n 0, 1, 2, )
由定义知：t r 为输出响应第一次到达稳态值 所需时间，所以应取n=1。
tr
d
n 33.2
习题
E5.8, E5.9, E5.11, E5.14, E5.16, P5.4, P5.8 , MP5.1, MP5.3
arctg 1 2 or arccos
二阶系统单位阶跃响应
(s)
n2
s2 2nsn2
j
1 s1,2nn 21
0
1
s1,2 n n
j 0
j
0 1 s1,2njn 12
0
j
0
s1,2 jn
0
二阶系统单位阶跃响应
1
1 1 j
T1 T2
0
(s)s2
n2 2nsn2
1
1 T
n 12
当 n 一定时， 越小，t r 越小； 当 一定时， n 越大，t r 越小。
2.峰值时间 t p
y(t)1
ent
12
sin(dt
)
对上式两边求导，并令其等于0，得：
y'
(t)
ent n
(cosdt
12
sindt)
ent d
(sindt
12
cosdt)
代入 d n 12