新人教A版高中数学必修四 2.2《平面向量的线性运算》课件
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λ (xa±yb）=λ xa±λ yb.
理论迁移
例1 计算 （1）（－3）×4a；
（2）3（a＋b）－2（a－b）－a； （3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）.
例2 如图，已知任意两个非零向量a，
b，试作 =aO＋A b， =aO＋B 2b， OC =a＋3b.你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
CA
B
探究二：向量减法的含义
思考1：两个相反向量的和向量是什么？ 向量a的相反向量可以怎样表示？
－a 思考2：－a的相反向量是什么？零向量 的相反向量是什么？
－（－a）=a
规定：零向量的相反向量仍是零向量.
在实数的运算中，减去一个数等于加上
这个数的相反数.据此原理，向量a－b可
以怎样理解？
定义：a－b＝a＋（－b）.
探究四:向量的数乘运算性质
你认为－2×（5a），2a＋2b， (3 + 2)a可分别转化为什么运算？
-2× (5a)= -10a ；
2a ＋ 2b = 2(a+b)；
(3＋ 2 )a =3a＋ 2 a.
一般地，设λ ，μ 为实数，则λ (μ a)， (λ ＋μ ) a，λ (a＋b)分别等于什么？
λ (μ a)=(λ μ ) a ； (λ ＋μ ) a =λ a ＋μ a； λ (a＋ b)=λ a＋λ b.
对于向量a（a≠0）和b，若存在实数 λ ，使b=λ a，则向量a与b的方向有 什么关系？
若向量a（a≠0）与b共线，则一定存 在实数λ，使b=λ a成立吗？
综上可得向量共线定理：向量a（a≠0） 与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ ， 使b=λ a. 若a＝0，上述定理成立吗？
2.2 平面向量的线性运算
1.向量、平行向量、相等向量的含义分 别是什么？
2.用有向线段表示向量，向量的大小和 方向是如何反映的？什么叫零向量和单 位向量？
3.两个实数可以相加，从而给数赋予了 新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面 上，那是没有多大意义的.我们希望两个 向量也能相加，拓展向量的数学意义， 提升向量的理论价值，这就需要建立相 关的原理和法则.
探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按 原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量 表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
A
BC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按 反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
a
－a －a －a
P NMO
uuur OP =（－a）＋（－a）＋（－a）
-2
向量a＋a＋a和（－a）＋ （－a）＋（－a）分别如何简化其表示 形式？ a＋a＋a记为3a， （－a）＋（－a）＋（－a）记为－3a.
向量3a和－3a与向量a的大小和方向有 什么关系？
a aa a OA B C
－a －a －a
若存在实数λ
，使
uuur AB
=
l
BuuCur，则A、B、
C三点的位置关系如何？
uuur uuur A B = l BC ? A、B、C 共线
如图，若P为AB的中点，则
uuur OP
与
uuur OA
、OuuBur
的关系如何？
O
uuur OP =
1
uuur (OA
+
uuur OB )
2
A PB
向量的加、减、数乘运算统称为向量的 线性运算，对于任意向量a、b，以及任 意实数λ 、x、y，λ (xa±yb）可转化为 什么运算？
作业： P90练习：3，4，5，6.
百度文库
P NMO
2
设a为非零向量，那么 a和 a3还是- 向2 量吗？它们分别与向量a有什么关系？
a
2
- 2a
a
3
一般地，我们规定：实数λ与向量a的积 是一个向量，这种运算叫做向量的数乘. 记作λ a，该向量的长度与方向与向量a 有什么关系？
（1）|λ a|=|λ ||a|；
（2）λ >0时,λ a与a方向相同； λ <0时,λ a与a方向相反； λ =0时,λ a =0.
两个向量的差还是一个向量吗？
向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b 的差向量，求两个向量的差的运算叫做
向量的减法，对于向量a，b，c，若a+c ＝b，则c等于什么？
a+c＝ b c = b －a
探究三：向量的数乘运算及其几何意义 已知非零向量a，如何求作向量a＋a＋ a和（－a）＋（－a）＋ （－a）？
C
3b
B
b a
2b
A
b
uuur uuur
Oa
A C = 2A B ? A、B、C 共线
小结作业
1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量， 但实数与向量不能相加、相减.实数除 以向量没有意义，向量除以非零实数就 是数乘向量.
2.若λ a=0，则可能有λ =0，也可能有 a=0. 3.向量的数乘运算律，不是规定，而是 可以证明的结论.向量共线定理是平面 几何中证明三点共线，直线平行，线段 数量关系的理论依据.
理论迁移
例1 计算 （1）（－3）×4a；
（2）3（a＋b）－2（a－b）－a； （3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）.
例2 如图，已知任意两个非零向量a，
b，试作 =aO＋A b， =aO＋B 2b， OC =a＋3b.你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
CA
B
探究二：向量减法的含义
思考1：两个相反向量的和向量是什么？ 向量a的相反向量可以怎样表示？
－a 思考2：－a的相反向量是什么？零向量 的相反向量是什么？
－（－a）=a
规定：零向量的相反向量仍是零向量.
在实数的运算中，减去一个数等于加上
这个数的相反数.据此原理，向量a－b可
以怎样理解？
定义：a－b＝a＋（－b）.
探究四:向量的数乘运算性质
你认为－2×（5a），2a＋2b， (3 + 2)a可分别转化为什么运算？
-2× (5a)= -10a ；
2a ＋ 2b = 2(a+b)；
(3＋ 2 )a =3a＋ 2 a.
一般地，设λ ，μ 为实数，则λ (μ a)， (λ ＋μ ) a，λ (a＋b)分别等于什么？
λ (μ a)=(λ μ ) a ； (λ ＋μ ) a =λ a ＋μ a； λ (a＋ b)=λ a＋λ b.
对于向量a（a≠0）和b，若存在实数 λ ，使b=λ a，则向量a与b的方向有 什么关系？
若向量a（a≠0）与b共线，则一定存 在实数λ，使b=λ a成立吗？
综上可得向量共线定理：向量a（a≠0） 与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ ， 使b=λ a. 若a＝0，上述定理成立吗？
2.2 平面向量的线性运算
1.向量、平行向量、相等向量的含义分 别是什么？
2.用有向线段表示向量，向量的大小和 方向是如何反映的？什么叫零向量和单 位向量？
3.两个实数可以相加，从而给数赋予了 新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面 上，那是没有多大意义的.我们希望两个 向量也能相加，拓展向量的数学意义， 提升向量的理论价值，这就需要建立相 关的原理和法则.
探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按 原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量 表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
A
BC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按 反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
a
－a －a －a
P NMO
uuur OP =（－a）＋（－a）＋（－a）
-2
向量a＋a＋a和（－a）＋ （－a）＋（－a）分别如何简化其表示 形式？ a＋a＋a记为3a， （－a）＋（－a）＋（－a）记为－3a.
向量3a和－3a与向量a的大小和方向有 什么关系？
a aa a OA B C
－a －a －a
若存在实数λ
，使
uuur AB
=
l
BuuCur，则A、B、
C三点的位置关系如何？
uuur uuur A B = l BC ? A、B、C 共线
如图，若P为AB的中点，则
uuur OP
与
uuur OA
、OuuBur
的关系如何？
O
uuur OP =
1
uuur (OA
+
uuur OB )
2
A PB
向量的加、减、数乘运算统称为向量的 线性运算，对于任意向量a、b，以及任 意实数λ 、x、y，λ (xa±yb）可转化为 什么运算？
作业： P90练习：3，4，5，6.
百度文库
P NMO
2
设a为非零向量，那么 a和 a3还是- 向2 量吗？它们分别与向量a有什么关系？
a
2
- 2a
a
3
一般地，我们规定：实数λ与向量a的积 是一个向量，这种运算叫做向量的数乘. 记作λ a，该向量的长度与方向与向量a 有什么关系？
（1）|λ a|=|λ ||a|；
（2）λ >0时,λ a与a方向相同； λ <0时,λ a与a方向相反； λ =0时,λ a =0.
两个向量的差还是一个向量吗？
向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b 的差向量，求两个向量的差的运算叫做
向量的减法，对于向量a，b，c，若a+c ＝b，则c等于什么？
a+c＝ b c = b －a
探究三：向量的数乘运算及其几何意义 已知非零向量a，如何求作向量a＋a＋ a和（－a）＋（－a）＋ （－a）？
C
3b
B
b a
2b
A
b
uuur uuur
Oa
A C = 2A B ? A、B、C 共线
小结作业
1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量， 但实数与向量不能相加、相减.实数除 以向量没有意义，向量除以非零实数就 是数乘向量.
2.若λ a=0，则可能有λ =0，也可能有 a=0. 3.向量的数乘运算律，不是规定，而是 可以证明的结论.向量共线定理是平面 几何中证明三点共线，直线平行，线段 数量关系的理论依据.