代数系统

代数系统

一、选择题：

1、下列正整数集的子集在普通加法运算下封闭的是（ D ）

A 、{30x x ≤}

B 、{x x 与30互质}

C 、{x x 是30的因子}

D 、{x x 是30的倍数}

2、设S={1，2，…，10 }，则下面定义的运算*关于S 非封闭的有（ D ）

A 、x*y=max(x ,y)

B 、x*y=min(x ,y)

C 、x*y=取其最大公约数

D 、x*y= 取其最小公倍数

3、设集合A 的幂集为()A ρ，-⨯ 、、、为集合的交、并、差、笛卡尔乘积运算，则下列系统中是代数系统的为（ D ）

A 、()A ρ ,

B 、()A ρ ,

C 、(),A ρ-

D 、(),A ρ⨯

4、在自然数集上定义的下列四种运算，其中满足结合律的是（C ）

A 、a b a b *=-

B 、||a b a b *=-

C 、max{,}a b a b *=

D 、2a b a b *=+

5、设Z +为正整数集，*表示求两数的最小公倍数，对代数系统*A Z +=,，有（ A ）

A 、1是么元，无零元

B 、1是零元，无么元

C 、无零元，无么元

D 、无等幂元

6、设非空有限集S 的幂集为()S ρ，对代数系统()A S ρ= ,，有（ B ）

A 、Φ是么元，S 是零元

B 、Φ是零元，S 是么元

C 、唯一等幂元

D 、无等幂元

7、在有理数集Q 上定义的二元运算*： xy y x y x -+=*，则Q 中元素满足（ C ）

A 、都有逆元

B 、只有唯一逆元

C 、1x ≠时，有逆元

D 、都无逆元

8、设R 是实数集合，“⨯”为普通乘法，则代数系统 一定不是（ D ）

A 、半群

B 、独异点

C 、可交换的独异点

D 、循环独异点

9、设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >（ B ）

A 、是半群，但非独异点

B 、是独异点，但非群

C 、是群，但非阿贝尔群

D 、是阿贝尔群

10、任意具有多个等幂元的半群，它（A ）

A 、不能构成群

B 、不一定能构成群

C 、能构成群

D 、能构成阿贝尔群

二、填充题：

1、下表中的运算均定义在实数集上，请在相应的空格中打“√”或填上具体实数（不满足

2、设(6)。

3、设A={3,6,9}，A 上*为：a*b=min{a,b}，则在独异点中，么元是(9)，零元为(3) 。

4、代数系统中，|A|>1，若θ和e 分别为的么元和零元，则θ和e 的关系为θ≠e 。

5、设< {a,b,c}, * >为代数系统，* 运算如下：

则它的么元为a ；零元为c ； a 、b 、c 的逆元分别为a 、b 、无。

6、设〈G ,*〉是一个群，则

(1) 若a,b,x ∈G ，a *x=b ，则x=( a *-1b)；(2) 若a,b,x ∈G ，a *x=a *b ，则x=( b )。

7、群的等幂元是(么元)，有(1)个，零元有(0)个。

8、设a 是12阶群的生成元， 则2a 是(6 )阶元素，3a 是(4)阶元素。

9、设a 是10阶群的生成元， 则4a 是(5 )阶元素，3

a 是(10)阶元素。

10、在一个群〈G ,*〉中，若G 中的元素a 的阶是k ，则1a -的阶是(k)。

1、设A={1，2}，A 上所有函数的集合记为A A , 是函数的复合运算，试给出A A 上运算 的运算表，并指出A A 中是否有么元，哪些元素有逆元？

答：因为|A|=2，所以A 上共有22=4个不同函数。令},,,{4321f f f f A A =，其中：

1)2(,2)1(;2)2(,2)1(;

1)2(,1)1(;2)2(,1)1(44332211========f f f f f f f f

1f 为A 中的么元，1f 和4f 有逆元。

2、已知定义在集合},,,{d c b a 上的运算*如下表：

试问：1）>*<},,,,{d c b a 是否为代数系统？

2）>*<},,,,{d c b a 是否为子群？

3）>*<},,,,{d c b a 是否为群？

4）>*<},,,,{d c b a 是否有单位元？

5）>*<},,,,{

d c b a 是否满足交换律？

3333[][][()mod 3]i j i j +=+，试给出+3的运算表，并指出是否构成群？

答：

构成群。

四、计算题：

1、设S=Q ⨯Q ，Q 为有理数集合，*为S 上的二元运算：对任意(a,b)，(c,d)∈S,有 (a,b)*(c,d)=(ac,ad+b),求出S 关于二元运算*的么元，以及当a ≠0时，(a,b)关于*的逆元。 解：设S 关于*的么元为(a,b)。根据*和么元的定义，对∀(x,y)∈S,有

(a,b)*(x,y)=(ax,ay+b)=(x,y), (x,y)*(a,b)=(ax,xb+y)=(x,y)。

即ax=x,ay+b=y,xb+y=y 对∀x,y ∈Q 都成立。解得a=1,b=0，则S 关于*的么元为(1,0)。 当a ≠0时，设(a,b)关于*的逆元为(c,d)。根据逆元的定义，有

(a,b)*(c,d)= (ac,ad+b)=(1,0)，(c,d)*(a,b)= (ac,cb+d)=(1,0)

即ac=1,ad+b=0,cb+d=0。解得c=1/a,d=-b/a 。 所以(a,b)关于*的逆元为(1/a, -b/a)。

2、试求中每个元素的阶。

解：0是中关于+6的么元。则|0|=1；|1|=|5|=6，|2|=|4|=3，|3|=2。