线性代数二次型讲义

证
证 设实对称方阵 A 的特征值为
1 2 n
（重根计算在内），则由定理3 知，
对 于A的 某 个k重 特 征 值 i1 i2
i
，
k
恰 有k个 线 性 无 关 的 实 特 征 向 量 ， 将 它 们 正 交 化 ，
所 得 的k个 正 交 向 量 仍 是 对 应 于 的 特 征 向 量.
则
f = X TAX = (CY )TA(CY) = Y T(C TAC ) Y .
而
(C TAC )T = C TAT(C T )T = C TAC ,
所以 f = Y T(C TAC ) Y 仍是关于新变量 Y 的二次型, 且二次型的矩阵为 对称矩阵 B=C TAC .
f = X TAX
满秩变换 X = CY F = Y TBY B = C TAC
AX1 1X1, AX 2 2 X 2.
因为 A 的对称性，得
2
X
T 1
AX
2
( AX 1)T X 2
从而， 因此，
(1 X1)T X 2
1
X
T 1
X
2,
(1
2
)
X
T 1
X2
0,
X
T 1
X2
0,即X1,
X
正
2
交.
定理 3
若 是 n 阶实对称方阵 A 的 k 重特征值，则 A 对应于 的线性
ax2+2bxy+cy2=f
(1)
方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式. 为了便于研究这个二次曲线的 几何性质, 通过基变换(坐标变换), 把方程(1)化为不含x,y混合项的标准方程
a'x'2+c'y'2=f
(2)
在二次曲面的研究中也有类似的问题.
考察：方程
13 x2 10 xy 13 y2 1
2a2n x2 xn
a nn
x
2 n
为 n 元实二次型.
记 aij = aji, 则
nn
n
f ( x1 , x2 , , xn )
aij xi x j (或 aij xi x j )
i 1 j 1
i , j 1
记 X = ( x1, x2, …, xn)T, A =( aij )nn , 则
无关特征向量的最大个数均为 k .
实对称方阵相似于一 个对角阵吗？
回答是肯定的！！！
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定理 4
对于任一个n 阶实对称方阵 A, 必存在一个正交方阵 P 使 PTAP 为对角形，且 PTAP 的对角线上的元素均为 A 的 n 个特征 值( 重数计算在内), P 的列向量为相应于 n 个特征值的标准正交 特征向量.
有
|| (X) (Y ) || = || XY || ,
则称 为 Rn 上的正交变换.
定理 设 是欧氏空间 Rn 上的线性变换，则下列四个条件等价(互为
充分必要条件) .
(1) 为正交变换 . (2) 把 Rn 的标准正交基变为标准正交基 . (3) || ()|| = ||||, Rn ( 保持向量长度不变 ) . (4) ( (X ), (Y )) = ( X, Y ) ( 保内积不变 ) .
A X X , X 0.
将上式两边同时转置，由 A 的对称性，得
XTA XT.
而
T
X
AX
X T (X )
T
X
X,
因此， ( ) X T X 0,即 . 为实数.
定理 2
实对称方阵的不同的特征值对应的特征向量必正交.
证 设 λ1,λ2 是实对称方阵 A 的两个不同的特征值， X1, X2 是对应的特征向量，即
a11
( x, y, z) a21x a22 y a23z ( x, y, z) a21
a31x a32 y a33z
a31
= XT AX .
a12 a13 x a22 a23 y a32 a33 z
A
X
称 A 为二次型 f 的矩阵，它是一个对称矩阵.
三元实二 次型 f
第七章 二次型与二次曲面
上一页
定义3 对于 n 阶实对称矩阵 A 和 B ，若存在可逆矩阵 P 使
P TAP = B 则称 A 合同于B，记作 A B
因此，二次型经满秩线性变换后所得的新二次型，其矩阵与原二次型
的矩阵是合同的. 合同矩阵的性质：
(1) A ~ A; (2) A ~ B B ~ A; (3) A ~ B, B ~ C A ~ C.
第七章 二次型与二次曲面
上一页
例2 若二次型 f 的矩阵为
试写出 f .
1
1
A 1 0
2 1
2
2
1 2
2
例解2
1
f (x, y, z) 1
2
1 0 1
2 1
2
2
x y z
2
x2 2 y2 2xy 4xz yz .
第七章 二次型与二次曲面
上一页
练习
写 出 f x2 3y2 4z2 2xy 3yz的 矩 阵A. 并 用 矩 阵 形 式 表 示f .
第七章 二次型与二次曲面
§2. 正交变换法化二次型为标准形 一、实对称方阵的对角化
定理 1
实对称方阵的特征值都是实数 .
证 设 λ 是实对称方阵 A 的特征值，X 是对应的特征 向量，即
AX X , X 0.
用X 表示 将向 量X的所 有分 量换 成共 轭复 数后
得到 的向 量，将方 程两 边同 时取 共轭 ，则
+ a21yx + a22y2 + a23yz
+ a31zx + a32zy + a33z2
= x (a11x + a12y + a13z)
+ y (a21x + a22y + a23z)
+ z (a31x + a32y + a33z)
第七章 二次型与二次曲面
§1、二次型及其标准形
a11x a12 y a13z
2
0
3 z
x2 2 y 2 3z2 2 xy 2 2 xz .
第七章 二次型与二次曲面
§1、二次型及其标准形 n 元二次型及其矩阵表示
定义1
称 n 元实二次齐次式
f ( x1 , x2 , , xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a1n x1 xn
a
22
x
2 2
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用 “理解”、“了解”、“知道”三级来表述； 对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用 “熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。
二次型就是二次多项式. 在解析几何中讨论的有心二次曲线, 当中心与坐 标原点重合时, 其一般方程是
2
2
x
2
0,
2 2 x3
第七章 二次型与二次曲面
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解得对应的特征向量为 1 = (0, 1, 1)T;
aij xi x j ,
i1 j 1
都存在正交变换 X = QY 使得
f X T AX 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中 1, 2, …, n 就是 A 的全部特征值, Q 的 n 个列向量是 A 的对应于特征值1 , 2, …, n 的标准正交特征向量.
上一页
例1
解
求正交矩阵 Q 使 QTAQ 成对角形矩阵，并求此
n 阶实对称矩阵 A
定义2 称只含平方项的二次型 为标准二次型.
n
f i xi2 i 1
n 元标准二次型 f
一一对应
n 阶对角 矩 阵
第七章 二次型与二次曲面
§1、二次型及其标准形 二、矩阵间的合同关系 思考：二次型 f = X TAX 经过满秩线性变换 X = CY 后还是二次型吗?
对于二次型 f = X TAX ，作满秩变换 X = CY ,
通识教育平台数学课程系列教材
第一节 二次型及其标准形
第二节 正交变换法化二次型为标准形 第三节 化二次型为标准形的其他方法 第四节 二次型的分类 第五节 二次型在直角坐标系下的分类
本章学习要求： • 1．了解二次型及其矩阵表示。 • 2．会用正交变换法化二次型为标准形。知道化二次型为标准形
的配方法。 • 3．知道惯性定律、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。
称为实二次型.
其中aij 为实常数.
取 a21 = a12 , a31 = a13 , a32 = a23 ,
从而, 2a12xy = a12xy + a21yx , 2a23yz = a23yz + a32zy .
2a13xz = a13xz + a31zx ,
f = a11x2 + a12xy + a13xz
解
1
1
0
例2
A 1
3
3 2
,
0
3
2
4
11 0
f ( x, y, z) 1 3 3 2
03 4 2
x y. z
第七章 二次型与二次曲面
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练习
若二次型 f 的矩阵为
1 1 2
A 1 2 0
试写出 f .
2
0
3
例解2
1 1 2 x
f (x, y, z) 1 2 0 y
因 此 ， 对 应 于A的 个 特 征 值 ， 可 得 到 n个 两 两 正 交
的 特 征 向 量.将 其 单 位 化 得 到n个 两 两 正 交 的 单 位
化 特 征 向 量1,2 , ,n , 且
Ai ii (i 1,2, , n). 令Q (1,2 , ,n ), 则Q为 正 交 矩 阵 ， 即
这样的矩阵 C 是否存在？ 定理1 对任意的实二次型 f =XTAX, 一定存在满秩 线性变换 X=CY, 使二次型化为标准形.
推论 1
任意给定一个实对称矩阵A, 一定存在可逆矩阵 C, 使得 CTAC 为对角矩阵.
§2. 正交变换法化二次型为标准形 回顾：正交变换的概念
定义 设 是 n 维欧氏空间 Rn 上的线性变换，若对任意的 X, YRn,
而其中坐标轴的旋转所表示的线性变换是正交变换. 综上所述，从代数学的角度看，上述过程是通过正交变 换将一个二次齐次多项式化为只含有平方项的二次多项 式.
二次型就是二次齐次多项式.
§1、二次型及其标准形 一、二次型的矩阵表示
定义 二次齐次多项式
f (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz
XTAX
经满秩的线性变换 X=PY
YTBY
左乘以PT且右乘以P
A
B
第七章 二次型与二次曲面
上一页§1、二次型及其标准形 三、二次型的标准形
定义
如果满秩变换 X = CY 将二次型 f = X TAX 化成了标准二次型
n
i
y
2 i
,
则称
n
i yi2
i 1
i 1
为 f = X TAX
的一个标准形.
一一对应
三阶实对称矩阵 A
第七章 二次型与二次曲面
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例 1 写 出 f x2 2 y2 5z2 2xy 6 yz 2xz的 矩 阵A.
并 用 矩 阵 形 式 表 示f .
解
1
1
1
例2
A 1
2
3
,
1
3 5
11 1 f (x, y, z) 1 2 3
1 3 5
x y . z
QT Q1.
记
1
2
n
AQ ( A1, A2 , , An ) (11, 22 , , nn )
从而，
1
(1,2 , ,n )
2
QA.
n
QT AQ 为 对 角 阵 ， 且 对 角 元 恰 为A的n个 特 征 值.
定理 5 任意一个 n 元实二次型
nn
f (x1 , x2 ,, xn ) X T AX
第七章 二次型与二次曲面
正交矩阵
定义
正交变换在标准正交基下所对应的矩阵称为正交矩阵.
正交矩阵有如下性质：
定理
A 是正交矩阵 ATA=E ( 或AAT = E ) .
定理
设 A 是正交矩阵 ，则 (1) | A | = 1 . (2) A 1 =AT .
定理
设 A 是正交矩阵 A 的列(行)向量组为相互正交的 单位向量组.
72
72
72
表示 x y 平面上一条怎样的曲线？图形如何？
将 x y 坐标系逆时针旋转π/4，即令
x
y
2u 2 2u 2
则得此曲线在新的 u v 坐标系下的方程
2 v, 2 2 v, 2
u 2 v2 1. 49
上述问题从几何上看，就是通过坐标轴旋转，消去式子 中的交叉项，使之成为标准方程.
f ( x1, x2, …, xn) = X TAX ,
其中 A 称为二次型的矩阵，A 的秩称为二次型的秩.
第七章 二次型与二次曲面
注: ① 由于aij = aji , 所以 A T= A , ② A中 aii 是 xi2 的系数, aij 是交叉项 xixj 系数的一半.
n 元实二次型 f
一一对应
对角形矩阵.
2 0 0 其中 A 0 3 2.
0 2 3
λ 2 0
0
|λE A | 0 λ 3 2
0
2 λ 3
= ( 2)(2 6 + 5 ) = 0 ,
A 的特征值为 1 = 1, 2 = 2, 3 = 5. 1 = 1 时, 由 (EA)X = 0, 即
1
0
0
0 0 x1