第6章 简单的超静定问题

1
127MPa
（拉）
FN2 3 2 F 8.04kN， 2 26.8MPa （拉）
FN3
2 F 34.6kN， 3
3 86.6MPa （压）
14
目录
§6.2 拉压超静定问题
II、装配应力，温度应力
一、装配应力
右图，静定问题无装配应力 B
C
B
3D C
1 2
A1
A
12 A
左图，3号杆的尺寸误差为，
A x
整理得补充方程
FN3 2FN1 2FN 2
13
目录
例题6-2
B
C 130 2 30
D3
FN1
y
FN 2
A
FN 3
F
联立平衡方程和补充方程，即：
A
3FN1 2FN 2
3FN 3
F
FN1 FN 3 2F FN 3 2FN1 2FN 2
解得：
x FN1
2
2 3
F
25.4kN ，
静不定问题存在装配应力
15
目录
例题6-3
图示3号杆的尺寸误差为，求
各杆的装配内力
B
1 解：（1）平衡方程
X N1 sin N2 sin 0
Y N1 cos N2 cos N3 0
3D C
2
A1
A
16
目录
例题6-3
N3
N1 N2
A1
B 1
D 3
C
2
ΔL3
A1
ΔL1
ΔL2
第六章 简单的超静定问题
1
目录
第六章 简单的超静定问题
§6.1 超静定问题及其解法 §6.2 拉压超静定问题 §6.3 扭转超静定问题 §6.4 简单超静定梁
目
录
2
目录
§6.1 超静定问题及其解法
1.基本概念：
静定结构：约束反力可由静力平衡方程求得
超静定结构：约束反力不能由平衡方程求得
超静定次数：约束反力多于独立平衡方程的数
B
C
右图，静定问题无温度应力
12 A
B 1
DC
3
2
左图，静不定问题，当结构温度
由T1变到T2时，存在温度应力。
A
18
目录
例题6-4
图示结构，1、2号杆的尺寸及材料
B
D
C
都相同，当结构温度由T1变到T2时,
3 1
2
求各杆的温度内力（各杆线膨胀系
数分别为αi ; △T= T2 -T1)
Fx 0 : FN2sin FN3sin 0
y
FN1
FN2 FN3 x
A
Fy 0 : FN1 FN2cos FN3cos FP 0
FP
超静定次数：3-2=1
6
目录
§6.2 拉压超静定问题
BC
D
几何相容方程：
E2A2 l2
E1A1l1 E3A3l3=E2A2l2
各杆变形的几何关系
源自文库
A
（2）变形方程
( L3) cos L1
（3） 物理方程
( N3L3 ) cos N1L1
E3 A3
E1 A1
（4）联立求解
N1
N2
L3
1
E1A1 cos2 2 cos3 E1A1 /
E3 A3
N3
L3
1
2
2 E1 A1
cos3
cos3
E1A1 /
E3
A3
17
目录
例题6-3
二、温度应力
250
250 10
目录
例题6-1
查表知40mm×40mm×4mm等边角钢 Ast 3.086 cm2 故 Ast 4 Ast 12.34cm2 , AW 25 25 625 cm2
代入数据，得 FW 0.717 F Fst 0.283 F
F
根据角钢许用应力，确定F
st
0.283 F Ast
FN1 FN3 2F
12
目录
例题6-2
B
1 C 2 30
30
3
D
y
A
y
列出变形几何关系，将A点的位移分 量向各杆投影，得
A
l1 y sin x cos
F
l2 x
l3 y sin x cos
x 几何相容关系为 l3 l1 2l2 cos
代入物理关系 2FN3l 2FN1l 3FN 2l 3EA3 3EA1 EA2
st
F 698kN
根据木柱许用应力，确定F
W
0.717 F AW
W
许可载荷 F 698kN
F 1046kN
250 250 11
目录
例题6-2
B
1 C 2 30
30 3
D
FN1
FN 2 FN 3
3杆材料相同，AB杆面积为200mm2，AC
杆面积为300 mm2，AD杆面积为400mm2，
若F=30kN，试计算各杆的应力。
A 解：设AC杆杆长为l，则AB、AD杆长为
F
lAB lAD
2l 3
y
列出平衡方程：
Fx 0 FN1 cos300 FN2 FN3 cos300
x A
Fy 0 FN1 sin 300 FN3 sin 300 F
F
即： 3FN1 2FN 2 3FN3
, l2
l3
FN 2l2 E2 A2
8
目录
§6.2 拉压超静定问题
结果：由平衡方程、几何相容方程、物理 关系联立解出。
F
N1
1
FP 2E2 A2l1
,
E1 A1l2
E2 A2l1
FN2
FN3
E1A1l2 1 2E2 A2l1
FP
E1 A1l2
9
目录
例题6-1
木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角
钢加固，已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200
GPa；木材的许用应力[σW ]=12MPa，EW=10GPa，求
许可载荷F。
F
F
解： 平衡方程:F FW Fst
几何相容方程: lst lw
FW
物理关系:
Fst
lW
FWl EW AW
lst
Fst l Est Ast
补充方程:
Fst FW Est Ast EW AW
独立平衡方程数： 空间任意力系：6个平衡方程 平面任意力系：3个平衡方程 平面共点力系：2个平衡方程 平面平行力系：2个平衡方程
3
目录
§6.1 超静定问题及其解法
多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束 基本静定系（相当系统）：用多余约束力代替多 余约束的静定系统
2.求解方法： 解除多余约束，建立相当系统——比较变形，
列变形几何相容方程——由物理关系建立补充方 程——利用静力平衡条件求其他约束反力。
4
目录
§6.2 拉压超静定问题
I、拉压超静定问题解法
B E2A2 l2
C E1A1 l1
D E3A3 l3=E2A2 l2
A FP
节点A的受力：
y
FN1
FN2 FN3
x
A
FP
5
目录
§6.2 拉压超静定问题
平衡方程
A
l2 A'
l3
l1 FP
l2 l3 l1cos l1cos
7
目录
§6.2 拉压超静定问题
平衡方程:
Fx 0 : FN2sin FN3sin 0 Fy 0 : FN1 FN2cos FN3cos FP 0
几何相容方程：
l2 l3 l1 cos
物理关系
l1
FN1l1 E1 A1