大一高数课件第一章 1-8-1 无穷小的比较

一、无穷小的比较
例如, 当x 0时, x, x 2 , sin x, x 2 sin 1 都是无穷小.
观 察
x2
lim x0 3x
0,
x x 2比3 x要快得多;
各 极 限
3x
lim
x0
x2
,
3x比x2要 慢 得 多;
lim sin x 1, sin x与x大致相同; x0 x
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
(A) tan2 x
(B) x
(C)
1 2
ln(1
2x)
(D) x (x+2)
4.两个无穷小量 与 之积 仍是无穷小量，且与 或
相比（ A ）. （A）是高阶无穷小 （B）是同阶无穷小 （C）可能是高阶无穷小，也可能是同阶无穷小 （D）与阶数较高的那个同阶
练习题答案
一、1、3 ； 2
0,m n 2、1, m n ；3、2；
定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小,
记作 o()； (２) 如果lim ，就说 是比 低阶的无穷小．
(3) 如果 lim C 0,就说 与 是同阶的无穷小;
如果lim 1,则称 与 是等价的无穷小;记作 ~ ;
(4)
如
果
lim
k
C
0,k
0,就说 是 的 k 阶的
无穷小.
例如，
x2 lim
0，
即 x2 o(3x) ( x 0).
x0 3x
当 x 0 时，x2 是比 3x 高阶的无穷小;
lim sin x 1， x0 x
即 sin x ~ x ( x 0).
当 x 0 时，sin x 与 x 是等价无穷小．
例２ 求 lim e x 1. x0 x
解 令 e x 1 u, x ln(1 u), x 0 时, u 0,
lim e x 1 lim u
lim
1
x0 x
u0 ln(1 u) u0 1 ln(1 u)
lim u0
1
1
ln(1 u)u
1 ln e
1.
u
即，当 x 0 时，x ~ ln(1 x), x ~ e x 1.
m
___1____,n
2
____2___
.
二、求下列各极限：
1、lim tan x sin x ；
x0 sin3 x
3、lim sinx sin x ；
x0
x
2、lim e e ；
4、lim tan x tan a ；
xa x a
三、选择题
1.下列等式中成立的是（ b ）。
a、lim
,m n
4、 ；
5、 Baidu Nhomakorabea ； 6、1 ；
2
7、3；
8、1 , 2. 2
二、1、1 ； 2、e ； 2
3、 ； 4、sec2 a .
sin
2
x
x
,
x
1
1
cos(a 2
b)
,
x
1
1
cos(a 2
b) ,
x
1
四、1、 cos(a bx), x 1 ；
2、a 2k ( k 0, 1,) ,b 0.
x
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
定理1 与 是等价无穷小的充分必要条件 为 o( ).称 是 的主要部分．
证 必要性 设 ~ ，
lim lim 1 0，
o()，即 o()．
充分性 设 o()．
lim lim o() lim（１＋o()） 1， ~ ．
5 x lim x 2
x
5.
x0
3 o( x)
3
x
二、等价无穷小代换
定理２(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ 且lim 存在, 则 lim lim .
证 lim lim( )
lim lim lim
lim
.
等价的无穷小
(1) ~
(2) sin x ~ x; tan x ~ x; arcsin x ~ x; arctan x ~ x; ln(1 x) ~ x; e x 1 ~ x; x2 1 cos x ~ 2
原式 lim x x
x0 (2 x)3
0.
解 tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式
lim x0
1 x3 2 (2 x )3
1. 16
2
三、小结
1、无穷小的比较
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是 所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
又如
x 2 sin 1
lim
x0
x x2
lim sin 1 x0 x
不存在. 不可比.
练习题
一、 填空题： 3 1、lim tan 3x =____2__.
x0 sin 2 x
2、lim arcsin xn =___0_,1_,___.
x0 (sin x)m
3、lim ln(1 2x)=___2___. 4、lim 1 x sin x 1=________.
例6 求 lim tan 5x cos x 1 .
x0
sin 3x
解 tan5x 5x o( x), sin 3x 3x o( x),
1 cos x 1 x 2 o( x 2 ).
2
5x o( x) 1 x 2 o( x 2 )
原式 lim
2
x0
3x o( x)
o( x) 1 o( x 2 )
2、等价无穷小的代换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
思考题
任何两个无穷小都可以比较吗？
思考题解答
不能． 例当 x
时 f ( x) 1 , g( x) sin x
x
x
都是无穷小量
但 lim g( x) lim sin x
x f ( x) x
不存在且不为无穷大
故当 x 时 f ( x)和g( x)不能比较.
x0
x
x0 x 2 arctan x
5、lim n
2
n
sin
x 2n
=__x___.
6、
lim
x 1
sinx 1
x2 1
1
=___2___.
7、当 x 0 时， a x 3 a(a 0)，对于 x 是_3__阶无穷小 .
8、当 x 0 时，无穷小 1 cos x 与 mx n 等价，则
解 原式 lim ( x 1)x lim( x 1) 1.
x0 x
x0
例6
求
lim
x0
ln(1 2x e3x 1
)
.
解 原式 lim 2x 2 x0 3x 3
注意 不能滥用等价无穷小代换.
例５ 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
错解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
例1 证明 : 当x 0时,tan x sin x为x的三阶无穷小.
解
lim x0
tan
x sin x3
x
lim
x0
tan x(1 cos x3
x)
1 sin x 1 cos x
lim( x0 cos x x
x2
)
1 lim x0 cos
x
lim
x0
sin x
x
lim 1
x0
cos x2
1
2
n
e
n n
b、
lim
1
1
n2
e
n n
c、 lim 1
1
n
e
n 2n
d、
lim 1 1 2n e n n
2.当x 0时，1 cos x与x sin x 相比较（ b ）。
a、是低阶无穷小量 b、是同阶无穷小量
c、是等阶无穷小量 d、是高阶无穷小量
c 3.当x —>0 时，( )是与sin x等价的无穷小量.
例３ 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解
原式
lim x0
(2 1
x)2 x2
8.
2
例4 求 lim ln(5x 4) .
x1 x 1
解
原式
lim
x1
ln(1
5( x x1
1))
lim
x1
5( x 1) x1
5
例5 求 lim ( x 1)sin x . x0 arcsin x