不动点及收敛理论

第四章 一元方程求根/非线性方程组数值解法初步 4．1 一元方程求根的主要概念、思想和二分法 1．

主要概念

包含一个未知量的x 的一元方程的一般形式记为 0)(=x f 通常，考虑如下的情形：

（1） 一元函数f 在某个区间比如],[b a 上连续，即],[b a C f ∈的情形。 （2） f 是x 的二次以上的代数多项式，如 0

10423=-+x x

这时称方程为多项式方程或高次代数方程。 （3） f 不是代数多项式，如 01=-x

xe , 0cos 2312=--x x , ;012222=-+-x

e x x

这称为超越方程，也是本章的研究内容。

通常，对于f 不是x 的线性函数的方程，人们统称为一元非线性方程，简称一元方程或非线性方程。

在实际应用中，f 可能是非常复杂的表达式，甚至还包含多个其他参数，令人眼花缭乱。因此，首先一定要识别未知量是哪一个，是不是这里所研究的一元非线性方程的情形。只有这样，才能使用一元非线性方程求根的计算方法。我们将看到，非线性方程的求根的方法主要是迭代法。

方程0)(=x f 的解*x ，即0)(*=x f ，也称为方程的根，或函数f 的零点。这里 *x 可为实数或复数，但我们主要考虑实数根。

我们熟悉一元二次方程有单根与重根 的概念。推广到一般非线性方程，若f 可表示为

)()()(*

x g x x x f m

-=

其中 m 为正整数，0)(*≠x g ，则称*x 是方程0)(=x f 的m 重根，或函数

f

的m 重零点。当1=m 时，*x 是方程0)(=x f 的单根，或函数f 的单重

零点。由此，若*x 是0)(=x f 的m 重根且)(x g 充分光滑，则意味着

⎪⎩⎪⎨⎧≠===-0*)(0

)(,,0)(',0)()

(*

)

1(*

*x f

x f

x f x f m m

2. 主要思想

如果假设方程在区间],[b a 有根，就称为],[b a 为方程的有根区间；如果还已知方程在],[b a 上有且只有一个根，即有根区间把根隔离了，那样更好。显然，在已知有根区间的前提下，把有根区间不断缩小，便可逐步得出根的近似值。这正是一元非线性方程求根的基本思想。 这样说来，方程求根的全过程，就是先谋求“有根区间”或“根的邻域”。然后展开对根的粗粗糙近似值的精确化。

寻找有根区间（包括根的邻域），通常有这样的一些线索： (1)

如果f 是n 次多项式，则由代数基本定理知，在复数域内方程

有n 个根；如果f 还是实系数多项式，则复根将成对出现。 (2)

对一般方程，利用连续函数性质，如果

]

,[b a C f ∈，且

0)()(

，则方程在],[b a 内至少有一实根；又)('x f 在],[b a 中不变号且不为0，则方程在],[b a 内只有惟一根。 （3） 如果希望找出方程的所有实根，则可用一个适当的步长，对f 的

定义区间进行“扫描“，利用(2)的方法搜索出对应的有根区间。 （4） 此外，对具体的问题也可使用具体的试算手段。

在有根区间或根的邻域的基础上，各种著名的求根方法（如第一张介

绍的不动点迭代法、Newton 迭代法等等）就从这里开始，把粗糙近似值进行不断的精确化，直到满足精度为止。

3．二分法（对半法）

二分法本来是一个独立的求根方法，在计算机查找算法中也是很常用的简单算法。但在数值计算中，直接用它来求根已经不多，但用它来快速缩小有根区间则相当有效。

无妨设 0)(b f ，则],[b a 为有根区间。记],[],[00b a b a =，第一次计算中点

2

01b a x +=

及其函数值)(1x f ，这时有 0)()(00

间

],[],[1110b a x a =且 2

11a b a b -=

-

第二次计算中点 2

1

12

b a x +=

及其函数值)(2x f ，这时有0)()(21>x f a f ，

于是得新有根区间 ],[],[2212b a x x =且 2

22

2

a b a b -=

-

如此继续，第n 次计算中点 2

1

1--+=

n n n b a x 及其函数值)(n x f 后，可得新

有根区间

],[n n b a 且 n

n n

a b a b

2

-=

-

于是在],[n n b a 中任取一点，如取n a 或n b （其中一个就是n x ）或其他，比如记为x （不一定是中点）作为方程根*x 的近似值，则至少有误差估计

n

a b x x 2

||*

-≤

-（若

x

取

]

,[n n b a 的中点

2

1n

n n b a x +=

+，则

1

1*

2

||++-≤

-n n a b x x ）

可见 1+n x 必收敛于*x .

二分法简单可靠，只要求)(x f 连续，收敛性总能得到保证。其缺点是不能用来求复数和偶重根。二分法主要用来快速(一半一半地)缩小有根区间，从而可提供较好的精确化初值。如果用来求],[b a 的根，通常不假定],[b a 内只有一个根，而是先用一个适当的步长h 对],[b a 进行扫描搜索，当发现哪个子区间有根时，便调用上述二分算法过程求出其中之根。所谓适当的步长h ，就是既不因为h 过大而漏掉包含的根，也不因h 过小而耗费计算精力。

4．2 不动点迭代法及其收敛性理论 1．迭代法 (不动点迭代法)

迭代法是求解一元非线性方程 0)(=x f 的主要方法。其做法是（类似线性代数方程组的迭代法）：将方程

)(=x f 改写为等价方程

)(x x ϕ=

这时，方程)(x x ϑ=成为“隐式”形式，除非ϑ是x 的线性函数，否则不能直接算出它的根。对此，从某个初始值0x 开始，对应)(x x ϕ=构造迭代公式（格式）

)

,2,.1,0)((1 ==+k x x k k ϕ

这就可确定序列{}),2,1,0( =k x k （因x 是单变量，所以迭代标记k 写为

下标即可）。