导数与三次函数—专题

导数与三次函数—专题

三次函数()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠）是中学数学利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的一个重要载体，是应用二次函数图象和性质的好素材，既可以整合函数图象和性质、不等式、方程、导数等相关知识，完善知识结构，又能体会其中蕴涵的数学思想方法。近几年的全国各省市高考试卷以导数为工具，有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数的取值范围的探究等函数性质，凸显“在知识网络交汇点上”命题的理念。 例1、已知函数()33f x x x =-

⑴求函数()f x 的单调区间及极值；⑵求()f x 在[]0,3上的最值。 解：令()2123301,1f x x x x '=-=⇒==- x 、()f x '、()f x 的变化情况如下表

∴()f x 的单调递增区间是(),1-∞-和()1,+∞ ()f x 的单调递减区间是()1,1-

当1x =-时，()f x 有极大值()()()3

11312f -=--⨯-= 当1x =时，()f x 有极小值()311312f =-⨯=- ⑵()00f =，()3333318f =-⨯=

∵()f x 在[]0,3上只有一个极值点()12f =- ∴()f x 在[]0,3上的最小值为－2，最大值为18 变式一、已知函数()3233f x x x x =++，其他不变

解：()()2

2363310f x x x x '=++=+≥

∴()f x 在(),-∞+∞单调递增，()f x 没有极值

()f x 在[]0,3上的最小值为()00f =，最大值为()363f = 变式二、已知函数()323f x x x x =++；其他不变 解：()2323f x x x '=++

△22433200=-⨯⨯=-<

∴()0f x '=没有实数根 ∴()0f x '>在R 上恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，()f x 没有极值

()f x 在[]0,3上的最小值为()00f =，最大值为()345f =

变式三、已知函数1y t =，323y x x =-，实数t 为何值时，函数1y 与2y 的图象的

交点有一个、二个、三个？

解：由例1画出函数2y 的大致图象如图，观察图象，可得

当2t >或2t <-时，函数1y 与2y 只有一个交点。

当2t =-或2t =时，函数1y 与2y 有二个交点。

当22t -<<时，函数1y 与2y

变式四、a 为何值时，函数3()3f x x x a =-+有一个零点？两个零点？三个零点？

解：令()2

123301,1f x x x x '=-=⇒==-

x 、()f x '、()f x 的变化情况如下表

∴()f x 的单调递增区间是(),1-∞-和()1,+∞ ()f x 的单调递减区间是()1,1-

当1x =-时，()f x 有极大值()()()3

11312f a a -=--⨯-+=+ 当1x =时，()f x 有极小值()311312f a a =-⨯+=-

要使()f x 有一个零点，需且只需20

20a a +<⎧⎨-<⎩，解得2a <-

要使()f x 有二个零点，需且只需20

20a a +=⎧⎨-<⎩，解得2a =-

要使()f x 有三个零点，需且只需20

20

a a +>⎧⎨-<⎩，解得22a -<<

变式五、已知函数()33,0f x x x a =->，如果过点(),2A a 可作曲线()y f x =的

三条切线，求a 的取值范围

解：设切点为()00,x y ，则()233f x x '=-

∴切线方程()()000y y f x x x '-=- 即 ()2300332y x x x =-- ∵切线过点A (),2a ∴()23

002332x a x =--

即 ()32

0023320x ax a -++=*

∵过点(),2A a 可作()y f x =的三条切线 ∴方程()*有三个相异的实数根

设()320002332g x x ax a =-++，则()()2

00000666g x x ax x x a '=-=-

当0x 变化时，()0g x '、()0g x 的变化情况如下表

0x

(),0-∞

0 ()0,a

a (),a +∞

()0g x ' ＋ 0 － 0 ＋ ()0g x

极大值

32a +

极小值

332a a -++

由单调性知：①若极大值320a +<或极小值3320a a -++>，方程()00g x =只有一个实数根；②若320a +=或3320a a -++=，方程()00g x =只有两个相异的实数根，综上，要使方程()00g x =有三个相异的实根，须且只须

3

2320233202a a a a a a ⎧

+>⎧>-⎪

⇔⇔>⎨⎨-++<⎩⎪>⎩，所以，所求的a 的取值范围是()2,+∞。 变式六、已知函数()3

213

f x x x ax a =

-+- ()a R ∈，若函数()f x 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围。

解：∵()22f x x x a '=-+ ∴()4441a a ∆=-=- ①若1a ≥，则0∆≤

∴()0f x '≥在R 上恒成立 ∴()f x 在R 上单调递增 ∵()00f a =-< ()320

f a => ∴当1a ≥时，函数()f x 的图象与x 有且只有一个交点。 ②若1a <，则0∆>

∴()0f x '=有两个不相等的实根，不妨设为1x 、2x 且12x x <，

则1212

2

x x x x a +=⎧⎨=⎩ 当x 变化时，()f x '、()f x 的取值变化情况如下表