自然坐标系
密切面——令点 无限趋近于点 M 时，由τ和 所确定的极限平面。 主法线——密切面与法平面的交线。其单位矢量用n 表示。
副法线——法平面内垂直于密切面的法线。其单位矢量用b 表示。
自然坐标系—由切线、主法线和副法线组成的正交坐标系。
自然坐标系随点的位置不同而改变。 5-5
' M 'τ'n
τb ?=
用坐标表示地理位置(含答案)
6．2．1 用坐标表示地理位置 基础过关作业 1．利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程为：（1）建立坐标系，选择一个适当的______为原点，确定x轴、y轴的_______； （2）确定适当的_______，在坐标轴上标出单位长度； （3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的_______和各个地点的________．2．根据以下条件在图中画出小 玲、小敏、小凡家的位置，?并 标明它们的坐标． 小玲家：出校门向西走150 米，再向北走100米． 小敏家：出校门向东走200 米，再向北走300米． 小凡家：出校门向南走100 米，再向西走300米． 最后向北走250米． 综合创新作业 3．（综合题）星期天，李哲、 丁琳、?张瑞三位同学到大明 公园春游时相互走散了．以中 心广场为坐标原点，以正 东、正北方向为x轴、y轴 正方向建立坐标系，他们 对着景区示意图通过电话 相互报出了他们的位置． 李哲：“我这里的坐标 是（-300，200）．” 丁琳：“我这里的坐标 是（-200，-100）．” 张瑞：“我这里的坐标 是（200，-200）．” 你能在下图中标出他们 的位置吗？?如果他们三人 要到某一景点（包括东门、
西门、南门）集合，三人所行路程之和最短的选择是哪个景点？ 4．（应用题）（1）下图是某市旅游景点示意图，请建立适当的坐标系，写出各景点的坐标． （2）葛亮同学利用暑假参观了花峪村果树种植基地（如图）．他从苹果园出发，沿（1，3），（-3，3），（-4，0），（-4，-3），（2，-2），（6，-3），（6，0），（6，4）的路线进行了参观，写出他路上经过的地方，并用线段依次连接他经过的地点，看看能得到什么图形？ 5．（创新题）如图为某废墟示意图，由于雨水 冲蚀，残缺不全，依稀可见钟楼坐标为A（5， -2），街口坐标为B（5，2），?资料记载阿明 先生的祖居的坐标为（2，1），你能帮助阿明 先生找到他家的老屋吗？
直角坐标与极坐标的区别与转换
直角坐标 直角坐标系在数学中应用广泛，是数学大厦最重要的根基之一。 在平面内画两条 直角坐标 直角坐标 互相垂直，并且有公共原点的数轴。其中横轴为X轴，纵轴为Y轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。 直角坐标中的点 直角坐标中的点 坐标：对于平面内任意一点C，过点分C别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X 轴、Y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点C的坐标。坐标平面：坐标系所在平面。 坐标原点：两坐标轴的公共原点。 象限：X轴和Y轴把坐标平面分成四个象限，右上面的叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点不属于任何象限。
极坐标 极坐标系 polar coordinates 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP 的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P 点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ<2π时，平面上除极点Ο以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地，如果（ρ，θ）是一个点的极坐标，那么（ρ，θ+2nπ），（－ρ，θ+（2n+1）π），都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r 等速螺线的极坐标方程为ρ=aθ 。此外，椭圆、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线，可以用一个统一的极坐标方程表示。 极坐标系到直角坐标系的转化： 在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换极坐标系中的两个坐标ρ和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值 x=ρcosθ y=ρsinθ 由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标θ=arctany/x ( x不等于0) 在x= 0的情况下：若y为正数θ= 90° (π/2 radians)；若y为负，则θ= 270° (3π/2 radians). 极坐标的方程 用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。 极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(?θ) = r(θ)，则曲线关于极点
用坐标表示地理位置
用坐标表示地理位置 课题 6.2.1课型教学目的 知识与技能：通过具体事例帮助了解用平面直角坐标系来表示地理位置的意义及学生掌握建立适当的直角坐标系描述地理位置的方法. 过程与方法：通过学习如何用坐标表示地理位置的过程，发展学生的空间观念．并能够用坐标系来描述地理位置从而培养学生解决实际问题的能力．情感态度与价值观：通过用坐标系表示实际生活中的一些地理位置，培养学生的认真、严谨的做事态度．重点 利用坐标表示地理位置．难点 建立适当的直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题．媒体 多媒体课件教法引导发现法教学过程教师活动学生活动（一）创设情境复习导入教师出示教材p49的思考: 不管是出差办事,还是出去旅游,人们都愿意带上一幅地图,它给人们出行带来了很大的方便,这是北京市地图的一部分,你知道怎样用坐标表示地理位置吗? 今天我们学习如何用坐标系表示地理位置，首先我们来探究以
下问题（二）尝试活动探索新知教师出示以下问题: 根据以下条件画一幅示意图，指出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置．小刚家：出校门向东走150米，再向北走200米．小强家：出校门向西走200米，再向北走350米，最后再向东走50米．小敏家：出校门向南走100米，再向东走300米，最后向南走75米.教师继续出示问题: 选取学校所在位置为原点，并以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向有什么优点？教师归纳利用平面直角绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程（三）尝试反馈理解新知学生能由教师引导欣赏北京市地图,并能思考教师所提出的各个问题: 你知道怎样用坐标表示地理位置吗? 明确本节课所要学习的主要内容. 学生能在教师的指导下思考以下的问题: 如何建立平面直角坐标系呢？以何参照点为原点？如何确定x轴、y轴？如何选比例尺来绘制区域内地点分布情况平面图？并能根据描述，可以以正东方向为x轴，以正北方向为y轴建立平面直角坐标系，并取比例尺1：10000（即图中1cm相当于实际中10000cm，即100米）．画出平面直角坐标系，标出学校的位置，即（0，0）．完成示意图．学生能在小组内分析出以下问题: 小刚家、小强家、小敏家的位置均是以学校为参照物来描述的，故选学校位置为原点．并能根据描述建立平面直角坐标系.
举例浅谈斜坐标系的应用
举例浅谈斜坐标系的应用 少二（1）邱天异 平面上的斜坐标系不同于平面直角坐标系，组成它的两条数轴不一定互相垂直。下面将从两个例子来看斜坐标系的应用。 一：六边形镶嵌 在如图的正六边形组成的平面镶嵌中，假定六边形对边中点连线长度为2。 解： 如图，建立一个坐标系，其中的坐标轴夹30°角。 定义一个点P的坐标为： 过点P作x轴的平行线，与y轴交于点A。 记点A在y轴（y轴看成是数轴）上的对应数值是a； 用类似的方法，做y轴平行线，与x轴交于B，B在x轴上的对应数值是b。 那么，P的坐标记作(a,b)。 如图，过A作两坐标轴平行线，分别交另一坐标轴于P , Q。 易知AP=4,AQ=4 ∴A(-4,4) 易知B在y轴上，OB=2 ∴B(0,2) 往上走一格，横坐标减4，纵坐标加4； 往右上走一格，纵坐标加2。 所以，此人的位置是(-12,16) 如果使用平面直角坐标系解决这个问题，需要了解特殊三角形的三边之比，还需要进行带根号的计算。在这个例子中，我们看到，利用斜坐标系来贴合题目的特征，某些时候可以避免分数、实数计算，大大减小计算的复杂性和难度。
二：目视确定位置 人眼观察物体的原理，是从两个不同方向（左右眼）观察同一个物体，综合所得结果而找到最终实际位置。其实，从一个方向观察一个物体，相当于用平行光作出它的一个投影。我们逆向研究这个问题，抽象后如下: 在前一个问题中，我们考虑了往某一个方向前进1单位时，坐标的增量，例如，往六边形的上方前进一单位的增量是(-4,4)，右上方则是(0,2)。我们也发现这个“增量”是可以叠加的，例如往上前进1单位，再往右上前进1单位，总的增量就是(-4,6)。 直接求在OA 、OB 组成的斜坐标系中的“增量”较为困难，尝试逆向求解。 考虑在平面直角坐标系中的“增量”，则读图易知： 往OB 方向前进个单位(从P 到P')的增量是(1,b) 往OA 方向前进个单位(从P 到P'')的增量是(1,a) 那么可以看作P 从原点O 开始，沿OA 走了BP 单位，沿OB 走了AP 单位，到达(c,d)。所以可以列方程求解AP 、BP 。 解：设AP=x ，BP=y ，记k 1=, ,k 2= 。 由题意得 解得 答句略去。 x
CAD设计制图中的坐标系UCS怎样使用
CAD设计制图中的坐标系UCS怎样使用 在CAD设计中我们经常会调整坐标，更换作图平面，在这里就要试用【UCS】工具条了。 无论是AutoCAD软件，还是各系类的浩辰软件，在使用坐标【UCS】时操作方法都是一样的，下面我就以浩辰CAD机械软件，简单说一下CAD设计是【UCS】工具条的使用方法。 1、所有坐标命令，即【UCS】命令 次命令包含了CAD中所有的坐标命令，我们科以看命令行提示 [?/3点(3)/面(F)/删除(D)/对象(E)/原点(O)/前次(P)/还原(R)/保存(S)/视图 (V)/X/Y/Z/Z轴(ZA)/世界(W)]<世界(W)>: 在这里输入相应命令字母，就可以相应的调整坐标了。这些命令对应后续的几个命令，我就不多说了。 2、【世界坐标】命令 此命令的直接点击即可完成，用于坐标系调整后回到起初的状态，也就是无论你经坐标系做何调整后只要点击【世界坐标】它就会回到最初原点和状态。 3、【上一个UCS】命令 顾名思义，点击此命令，回到使用的上一个坐标系。 4、【对象ucs】 点击命令后，选择要定义坐标的对象即可将坐标系定义到我们想定义的位置，如图效果。 5、【视图坐标】 此功能应用较少，功能主要实现的是无论在那个视图坐标调整到xy平面作图。
6、【原点坐标】、【z轴矢量】和【3点】坐标命令 【原点坐标】：此命令以点定义坐标，点击命令后，直接点击某点，坐标系就会跟随移动到此点上。 【z轴矢量】：此命令以线定义坐标，点击命令后，直接点击两点确定一直线，坐标系z轴就会跟随一定到此两点确定的直线上。 【3点】此命令以面定义坐标，点击命令后，先点击一点确定原点，然后分别点击两点确定x轴、y轴，坐标系就会移动到相应的位置平面。 7、坐标旋转 此三个命令在更换作图平面式非常常用，用于坐标系的旋转，可分别根据x轴、y轴、z轴进行相应的坐标系旋转，操作较为简单，不做过多介绍。
直角坐标与极坐标的区别与转换
直角坐标 求助编辑百科名片 直角坐标系在数学中应用广泛，是数学大厦最重要的根基之一。 目录 定义 相关参量 编辑本段定义 在平面内画两条 直角坐标 直角坐标 互相垂直，并且有公共原点的数轴。其中横轴为X轴，纵轴为Y轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。 编辑本段相关参量 直角坐标中的点
直角坐标中的点 坐标：对于平面内任意一点C，过点分C别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X 轴、Y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点C的坐标。坐标平面：坐标系所在平面。 坐标原点：两坐标轴的公共原点。 象限：X轴和Y轴把坐标平面分成四个象限，右上面的叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点不属于任何象限。 极坐标 极坐标系 目录 极坐标系 极坐标系到直角坐标系的转化： 极坐标的方程 极坐标系 极坐标系到直角坐标系的转化： 极坐标的方程 展开 编辑本段极坐标系 polar coordinates 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP 的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P 点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ<2π时，平面上除极点Ο以外，其他
每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地，如果（ρ，θ）是一个点的极坐标，那么（ρ，θ+2nπ），（－ρ，θ+（2n+1）π），都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r 等速螺线的极坐标方程为ρ=aθ 。此外，椭圆、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线，可以用一个统一的极坐标方程表示。 编辑本段极坐标系到直角坐标系的转化： 在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换极坐标系中的两个坐标ρ和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值 x=ρcosθ y=ρsinθ 由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标θ=arctany/x ( x不等于0) 在x= 0的情况下：若y为正数θ= 90° (π/2 radians)；若y为负，则θ= 270° (3π/2 radians). 编辑本段极坐标的方程 用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。 极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(?θ) = r(θ)，则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果r(π?θ) = r(θ)，则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果r(θ-α) = r(θ)，则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。 圆 方程为r(θ) = 1的圆。 在极坐标系中，圆心在(r0, φ) 半径为a的圆的方程为r^2-2rr0cos(θ-φ)+r0^2=a^2 该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程r(θ)=a表示一个以极点为中心半径为a的圆。 直线 经过极点的射线由如下方程表示θ=φ ,其中φ为射线的倾斜角度，若m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctan m。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。这些在点（r0, φ）处的直线与射线θ = φ 垂直，其方程为 r(θ)=r0sec(θ-φ)
关于UG-NX坐标系的介绍和运用
关于UG NX坐标系的介绍和运用 【坐标系简介】 建模离不开坐标系，在UG建模环境中共有3个坐标系：绝对坐标系、工作坐标系、基准坐标系。绝对坐标系是系统默认的坐标系，其原点和各坐标轴线的方向永远不变；工作坐标系也是由系统提供的，但用户可以任意地移动、旋转；基准坐标系由用户根据造型的需要可以随时创建、隐藏或删除，也可以移动、旋转。 1.工作坐标系的移动、旋转操作 如下图1所示，单击“实用工具”栏上“显示WCS”图标，可以显示或隐藏工作坐标系，当工作坐标系被移动、旋转后，又希望能恢复原始状态，就单击图标“设置为绝对WCS”即可实现。 图1 可以单击“实用工具”中的“动态”、“原点”、“旋转”、“更改”等图标，实现工作坐标系的移动、旋转、更改X轴或Y轴方向等目的。单击“旋转WCS”，又出现旋转对话框，提示可以绕什么轴旋转；单击“WCS原点”，又出现点对话框，提示可以确定移动的定位点。 实用中，对工作坐标系进行移动、旋转时，不一定要单击这些图标，一般可以直接将鼠标放在工作坐标系上，当出现图3所示的效果时，单击鼠标就出现了图2效果了，与单击“动态”图标效果是一样的。 图2
图3 如下图4所示，通过鼠标直接进行工作坐标系的移动、旋转操作。图中坐标系的绿色箭头表示可以移动坐标系的方向箭头（称为“移动柄”），绿色小球表示可以旋转坐标系的“旋转柄”，桔黄色的立方体为可移动的坐标原点。 鼠标放在立方体上，按住左键并拖动，就可实现向任意位置拖放工作坐标系了。 当鼠标放在“移动柄”上时，如下图中的（2）所示，光标侧出现双箭头，表示可以沿此轴移动坐标系，此时按住鼠标左键并拖动鼠标就可以实现沿指定坐标轴方向动态移动坐标系了，要想准确移动，可在出现的对话框中输入移动距离值。 当鼠标放在“旋转柄”上时，如下图中的（3）所示，光标侧出现一直线及一旋转箭头，表示可以绕垂直于该坐标轴线旋转坐标系，若在对话框中输入角度值，可以实现准确旋转。 图4 图1所示的图标按钮命令也只可以通过菜单操作方式激活，如下图5所示，效果是一样的。
空间坐标系与空间坐标系在立体几何中的应用有答案(1)
空间直角坐标系 如图1，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐 标系：以 正方体为载体，以O 为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方 向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y 轴、z轴， 这时我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、zOx平面、yOz平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x 轴的正方向， 食指指向y 轴的正方向，中指指向z轴的正方向． 二．空间直角坐标系中的坐标 空间一点 M 的坐标可用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（x，y， z）叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M （x，y，z），其中 x 叫做点 M 的横坐标，y 叫做点 M 的纵坐 标，z 叫做点 M 的竖坐标 [例1] 在空间直角坐标系中，作出点M（6，－2,4）．
[例 2] 长方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB|＝a ，|BC|＝b ，|CC 1| ＝c ，将此 长方体放到空间直角坐标系中的不同位置 （如图 3），分 别写出长方体各顶点的坐标． 变式 1：棱长为 2 的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中 的不同位置，分别写出几何体各顶点的坐标。 2.底面为边长为 4 的菱形，高为 5 的棱柱，将此几何体放到空间直角坐标系中的不同 位置分别写出几何体各顶点的坐标。 3. 在棱长均为 2a 的正四棱锥 P －ABCD 中，建立恰当的空间直角坐标系， （1）写出正四棱锥 P －ABCD 各顶点坐标； （2）写出棱 PB 的中点 M 的坐标． 解： 连接 AC ，BD 交于点 O ，连接 PO ，∵ P －ABCD 为正四棱锥，且棱长均为 2a.∴四边形 ABCD 为正方形， 且 PO ⊥平面 ABCD.∴OA ＝ 2＝ PA 2 －OA 2 ＝ 2a 2 － 2a 2 ＝ 2a. 以O 点为坐标原点， OA ，OB ，OP 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴，建立空 间直角坐标系． （1）正四棱锥 P －ABCD 中各顶点坐标分别为 A （ 2a,0,0），B （0， 2a,0），C （－ 2 a,0,0）， D （0，－ 2a,0）， P （0,0， 2a ）． 0＋0 2a ＋ 0 0＋ 2a （2）∵M 为棱 PB 的中点，∴由中点坐标公式，得 M （ 2 ， 2 ， 2 ）， [ 例 3] 在空间直角坐标系中，点 P （－2,1,4）． （1）求点P 关于x 轴的对称点的坐标； （2）求点 P 关于 xOy 平面的对 称点的坐标； （3）求点 P 关于点 M （2，－ 1，－ 4）的对称点的坐标． [解] （1）由于点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y 轴、z 轴的 分量变为原来的相反数，所以对称点为 P 1（－2，－1，－ 4）． 即 M(0
坐标系及直角坐标与极坐标间的互化
课题：坐标系及直角坐标与极坐标间的互化 【学习目标】 1.通过实例了解平面直角坐标系的建立与应用,掌握直角坐标系中的伸缩变换,并灵活地进行变换. 2.通过实例了解极坐标系的建立,会用极坐标表示极坐标系内的点,掌握极坐标的应用. 3.理解极坐标与直角坐标间的相互转化,掌握转化公式,并运用公式实现极坐标与直角坐标间的相互转化. 【重点难点预测】 重点：极坐标的定义 难点：直角坐标与极坐标间的互化 【学法指导】 小组合作、讨论交流 【导学流程】 一、创设情境 为了得到函数y=2sin2x的图象,需把函数y=sinx的图象进行怎样的变换? 二、课前预习导学 问题1:对上述函数图象进行伸缩变换,即先把函数y=sinx的图象上所有的点沿着,再沿着,即可得到函数y=2sin2x的图象. 问题2:平面直角坐标系中坐标伸缩变换的定义,设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换?:的作用下,点P(x,y)对应到点(x,y) P''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 问题3:极坐标系是如何建立的?点M的极坐标是如何定义的? 在平面内取一个定点O,叫作极点;自极点O引一条射线Ox,叫作;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其(通常取方向),这样就建立了一个. 对于平面内任意一点M,用表示点M到极点O的距离,用表示以Ox为始边,以OM为终边的角度,其中ρ叫作,θ叫作,有序数对(ρ,θ)就叫作点M 的,记为. 问题4:直角坐标与极坐标如何互化? 将点M的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式为; 将点M的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式为. 三、基础学法交流1.直角坐标P(10,5)按照伸缩变换公式 1 2 1 2 x x y y ?' = ?? ? ?'= ?? 变换后的坐标是( ). A.P'(10,10) B.P'(5,10) C.P'(10,-5) D.P'(5,5) 2.将点P(-2,2)变换为P'(-6,1)的伸缩变换公式为( ). A. 1 3 2 x x y y ?' = ? ? ?'= ? B. 1 2 3 x x y y ?' = ? ? ?'= ? C. 3 1 2 x x y y '= ? ? ? '= ?? D. 3 2 x x y y '= ? ?' = ? 3.点P 的直角坐标为(,那么它的极坐标可表示为. 4.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 1 2 1 3 x x y y ?' = ?? ? ?'= ?? 后,曲线C:x2+y2=36变为何种曲线,其曲线方程是什么? 四、展示提升： 图形的伸缩变换 例一、求满足由曲线2x2-3y2=12变成曲线x2-y2=1的图形变换的伸缩变换. 极坐标 例二、已知极坐标系中点(2,) 2 A π ,3) 4 B π,O(0,0),则△AOB为( ). A.等边三角形 B.顶角为钝角的等腰三角形 C.顶角为锐角的等腰三角形 D.等腰直角三角形
33.坐标系的应用
坐标方法的简单应用 一、一周知识概述 1、用坐标表示的位置 利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下： （1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； （2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； （3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。 2、用一个角度和一个距离确定点的位置 选择观测点为坐标原点，建立直角坐标系，令x轴的正方向为向东的方向，y轴的正方向为向北的方向，再由已知的角度确定被观察点所在的方向，再由距离确定其点的位置。 3、点的平移 在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a，y）（或x－a，y）；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）（或x，y－b）。 4、用坐标表示平移 （1）在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。 （2）一个图形进行平移，这个图形上所有的点的坐标都要发生相应的变化；反过来，如果图形上的点的坐标发生变化，那么这个图形进行了平移。 （3）图形平移的特征：一个图形平移前后大小、形状完全相同，只是位置不同。 例1、某军事行动中，对军队部署的方位，采用代码的方式来表示．例如，北偏东30°方向45 km的位置与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东30°的时刻是1：00，那么这个地点就用代码010045表示．按这种表示方式，南偏东40°方向78 km的位置，可用代码表示为_________． 例2、将点A（－3，－2）向右平移5个单位长度，得到点A1，再把A1向上平移4个单位长度，得到点A2，则点A2的坐标为（）A．（-2，-2）B．（2，2） C．（-3，2）D．（3，2） 例2、（天津市）在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，将线段平移后得到线段，若 点的坐标为，则点的坐标为（） A．（4，3）B．（3，4） C．（-1，-2）D．（-2，-1） 例3、（包头）线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点D的坐标是_________．20、(10分)已知：如图，在平面直角坐标系中S△ABC=24，OA=OB，BC=12，求△ABC的三个顶点的坐标． 22、（15分）在平面直角坐标系中， （1）确定下列各点：A(－3，4)，B(－6，－2)，C(6，－2)； （2）若以A、B、C为顶点，作一个平行四边形，试写出第四个顶点的位置的坐标，你的答案惟一吗？ （3）求出这个平行四边形的面积．
极坐标系与极坐标方程
一、坐标系 1、数轴 它使直线上任一点P 都可以由惟一的实数x 确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定。 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z ）确定。 二、平面直角坐标系的伸缩变换 定义：设P （x ，y ）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换???>=>=). 0(')0(,':μμλλφy y x x ④的作用下，点P （x ，y ）对应到点P ’（x ’，y ’），称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 三．例题讲解 例1 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。 （1）2x+3y=0； （2）x 2+y 2=1 三、极坐标系 1、极坐标系的建立： 在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。 （其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。） 2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到 OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫 做M 的极坐标。 特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角. 3、负极径的规定 在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角 当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。 M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈ 4、数学应用 例1 写出下图中各点的极坐标 A （4，0） B （2 ） C （ ） D （ ） E （ ） F （ ） G （ ） 规定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。 变式训练
坐标的应用
坐标的应用（讲义） 知识点睛 1. 平面直角坐标系中坐标的解题思路： ①________________________________________________； ②________________________________________________． 2. 中点坐标公式 如图，在平面直角坐标系中，已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点M 的坐标为_______________________．（用x 1， y 1，x 2，y 2表示） 精讲精练 1. 将一副直角三角板（含45°角的直角三角板OAC 及含30°角的 直角三角板OAB ）按如图所示方式放在平面直角坐标系中，若点A 的坐标为(9+，0)，则图中两块三角板的交点P 的坐标是_________________． 第2题图 2. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A ， B 的坐标分别为A (-1，0)，B (0，4)，顶点 C ， D 均在第二象限，则C ，D 两点的坐标分别为__________，__________． 3. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(-，0)，点B 的坐标为(0，-7)．以B 为 直角顶点，BA 为腰作等腰Rt △ABC ，则点C 的坐标为______________． 第3题图 第4题图 4. 如图，把一张长方形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，其中A (2，0)，B (2，，连 接OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点A ′的位置上，则点A ′的坐标为_________． 5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是正方形，点A 的坐标为(0，2)，E 是线段
坐标系的应用
坐标系- 应用 坐标在数控机床应用 为描述物体所在位置和运动规律而选取的参考基准。导航和制导技术的主要任务就是确定飞行器所在位置，并使它以正确方向和运动方式飞向预定目标。因此在轨道计算、控制、导引和测量等工作中都涉及参考基准的选择和转换问题。在航空、航天技术中，常用的坐标系是右手直角坐标系或球面坐标系。右手直角坐标系由原点和从原点延伸的3个互相垂直、按右手规则排列顺序的坐标轴构成。建立直角坐标系需要确定原点的位置和3个坐标轴的方向。物体在空间的位置可以用从原点分别量到物体在3个坐标轴上投影位置间的线段长度来描述。球面坐标系(如天文学中的天球)由原点和基面组成，以原点为中心的任意球面与基面的交线称基圆，通过原点与基面垂直的一组平面称子午面，子午面与球面的交线称子午线。物体在空间的位置用经度、纬度、矢径来描述。经度是从指定子午面到通过物体位置的子午面间的球面角或沿基圆从预定子午面量到物体所在子午面间的弧线长。纬度是从基面到原点与物体位置连线间的夹角。矢径是从原点到物体位置的直线距离。航空、航天技术涉及的空间范围极广，在导航定位、飞行力学和地面测量中常用的坐标系主要是按原点位置来区分。坐标原点与太阳、地
面坐标系；原点在天体之外的称为宇宙中心坐标系；原点在飞行器内部的称为飞行器牵连坐标系。各坐标系间都存在一定的几何关系，可以用球面三角，四元素法或方向余弦等数学方法相互转 坐标系- 数控坐标系 数控机床的加工是由程序控制完成的，所以坐标系的确定与使用非常重要。根据ISO841标准，数控机床坐标系用右手笛卡儿坐标系作为标准确定。数控车床平行于主轴方向即纵向为Z轴，垂直于主轴方向即横向为X轴，刀具远离工件方向为正向。 数控车床有三个坐标系即机械坐标系、编程坐标系和工件坐标系。 1、机械坐标系的原点是生产厂家在制造机床时的固定坐标系原点，也称机械零点。它是在机床装配、调试时已经确定下来的，是机床加工的基准点。在使用中机械坐标系是由参考点来确定的，机床系统启动后，进行返回参考点操作，机械坐标系就建立了。坐标系一经建立，只要不切断电源，坐标系就不会变化。 2、编程坐标系是编程序时使用的坐标系，一般把我们把Z轴与工件轴线重合，X 轴放在工件端面上。工件坐标系是机床进行加工时使用的坐标系，它应该与编程坐标系一致。能否让编程坐标系与工坐标系一致，使操作的关键。 在使用中我们发现，FANUC系统与航天数控系统的机械坐标系确定基本相同，都是在系统启动后回参考点确定。工件坐标系 3、工件坐标系（Workpiece Coordinate System ）固定于工件上的笛卡尔坐标系，是编程人员在编制程序时用来确定刀具和程序起点的，该坐标系的原点可使用人员根据具体情况确定，但坐标轴的方向应与机床坐标系一致并且与之有确定的尺寸关系。
极坐标系与参数方程一轮复习
极坐标系与参数方程 ◆ 知识梳理 一、极坐标 1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是MOx ∠，则有序实数实数对 (,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。 2、极坐标和直角坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=??=? 或2 2 2 tan (0)x y y x x ρθ?=+? ? =≠?? ，θ的象限由点(,)x y 所 在象限确定. 二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程 （1）圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是 ； （2）圆心在极轴上的点)0,(a 处，且过极点O 的圆的极坐标方程是 ； （3）圆心在点)2,(π a 处且过极点的圆O 的极坐标方程是 。 2、直线的极坐标方程 （1）过极点且倾斜角为α的直线的极坐标方程是 ； （2）过点)0,(a ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ； 三、常见曲线的参数方程
第一节 平面直角坐标系中的伸缩、平移变换 【知识点】 定义1：设(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换'(0) :'(0)x x y y λλ?μμ=>??=>?的作用下， 点(,)P x y 的对应点为'(',')P x y 。称?为平面直角坐标系中的伸缩变换。 定义2： 在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为 图形F 的平移。若以向量a ρ表示移动的方向和长度，我们也称图形F 按向量a ρ 平移． 在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h a =ρ ，平移后的对应点为),(y x P '''.则有：),(),(),(y x k h y x ''=+ 即有： x x h y y k '=+??'=+? ， 在平面直角坐标系中，由x x h y y k '=+??'=+?所确定的变换是一个平移变换。 因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。 【典例1】（2014年高考辽宁卷（文））将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (I)写出C 的参数方程； （II ）设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 练习：
直角坐标系应用
直角坐标系应用 1. 如图所示．在底面积为100cm2、高为20cm的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯（烧杯本身的质量、体积忽略不计）。向烧杯中注入流量一定的水，注满烧杯后。继续注水。直至注满槽为止(烧杯在大水槽中的位臵始终不改变)。水槽中水面上升的高度h与注水时间t之间的关系如图所示。 （1）求烧杯的底面积和高； （2）求注水的速度及注满水槽所用的时间。 2.如图是十字道路，甲在南北路上，由北向南行进，乙在东西路上，由东向西行进．甲出发点在两条路交叉点北1120米，乙出发点在交叉点上．两人同时出发，4 分钟后，甲、乙两人所 在的位臵距交叉点的路 程相等．（这时甲仍在交 叉点北）再经过52分钟 后，两人所在的位臵又 距交叉点路程相等．（这 时甲在交叉点南）求甲、 乙两人每分钟各行几 米． 3.如图所示，两条公 路互相垂直，在南北 方向的公路上，汽车 甲以8m/s的速度从北 向南匀速行驶；在东 西方向的公路上，汽 车乙以6m/s的速度， 从东向西匀速行驶。当甲行至交叉路口时，乙行至路口以东100m处。问此后何时两车间距离最近？这个距离是多少？ 4. 小亮早晨从家骑车 到学习,先上坡后下坡, 行程情况如图所示。. 若返回时上坡、下坡的 速度任保持不变，那么 小明从学校骑车回家 用的时间是多少 5夏天，一杯开水放在桌子上，杯中水的温度T （℃）随时间t变化的关系的大致图象是（） 6. 一辆汽车和一辆 摩托车分别从 A 、 B 两地去同一城市,他们离A地的路程随时间变化的图像如图所示,则下列结论错误的是（）A.摩托车比汽车晚到1 h B. AB两地的路程为20 km
C.摩托车和汽车出发1小时后相遇 D.汽车的速度为60 km/h 7.王飞骑车到相距5千米远的图书馆借书，下图是他离开家的距离与时间的统计图，看图完成下列问题： （1）在图书馆借书用了______时； （2）去时的速度是每小时______千米； （3）返回的速度是每小时______千米； （4）往返平均速度是每小时______千米． 8、小军从家出发去书店买书,当他走了大约一半路程时.想起忘了带钱.于是他回家取钱,然后再去书店,买了几本书后回家.下面（ ）幅图比较准确地反映了小军的行为. 9. 本周六，同往常一样，小明到离家7千米的市图书馆阅览，下午2点时分小明父亲得知再过1个小时即3点钟时将会有台风来临本市，于是立即骑车去图书馆接小明，去时部分信息如图所示： （1）小明的父亲在途中估算，以这种速度不能在台风到达前把小明接回家，故必须提高速度，请帮助计算，父亲至少应把速度提高到多少，父子俩才能安全返回家中？（假设父亲寻找小明的时间忽略不计） （2）若父亲在行驶15分钟时联系上了小明，并让小明立即步行回家，而父亲则按照题（1）中提高后的速度前往，当父亲遇见小明时，小明发现自己正好往回走了1千米，请问小明的步行速度为多少？ （3））在（2）的条件下，小明小明与父亲父亲相遇后立即以父亲的父亲的速度一同返回家中，请将小明小明和父亲的父亲的行驶情况在同一张图中用图象表示出来（粗实线表示父亲父亲、细实线表示小明小明，在给出的已知图上补全）？ 10.邮递员小王从县城出发，骑自行车到A 村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A 村步行返校，小王在A 村完成投递工作后，返回县城途中 又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县 城，结果小王比预计时间晚到 1分钟，二人与县城间的距离s （千米）和小王从县城出发后所用的时间t （分）之间的关系如图，假设二人之间交流的时间忽略不计，求： （1）小王和李明第一次相遇时，距县城多少千米？请直接写出答案； （2）小王从县城出发到返回县城所用的时间； （3）李明从A 村到县城共用多长时间？
1.直角坐标系和极坐标系
数学选修4-4 坐标系和参数方程 第一讲 直角坐标系和极坐标系 【基础知识】 1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。 2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。 3.平面直角坐标系中的伸缩变换 (0) (,){ (0) (,)(,)x x P x y y u y u P x y P x y λλφφ'=?>'=?>''定义：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点对到应点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。 4．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。 （其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。） 设M 是平面上的任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线OX 为始边，射线OM 为终边所成的角。那么有序数对(,)ρθ称为点M 的极坐标。其中ρ称为极径，θ称为极角。 约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。 5.负极径的规定：在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角，当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM = ρ。 M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈ 6．直角坐标与极坐标的互化 以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和 (,)ρθ，则cos ,sin .x y ρθρθ==222,tan (0).y x y x x ρθ=+= ≠ 【典型例题】 例1 求下列点经过伸缩变换'2, '3x x y y =??=?后的点的坐标： （1） （1，2）； （2） （-2，-1）. 【分析】利用伸缩(0) {(0) x x y u y u λλφ'=?>'=?>变换： 公式实行坐标之间的转化. 【解】（1）（2，6）；（2）（-4，-3）. 【点拨】利用伸缩(0) {(0) x x y u y u λλφ'=?>'=?>变换：公式是解决坐标与坐标之间、曲线与曲线之间变换的重要手段
七年级下数学教案：6.2.1用坐标系表示地理位置(2)
6.2.1用坐标表示地理位置（2） 教学目标 1．知识技能 了解用平面直角坐标系来表示地理位置的意义及主要过程；培养学生解决实际问题的能力． 2．数学思考 通过学习如何用坐标表示地理位置，发展学生的空间观念． 3．解决问题 通过学习，学生能够用坐标系来描述地理位置． 4．情感态度 通过用坐标系表示实际生活中的一些地理位置，培养学生的认真、严谨的做事态度． 教学重点与难点 1．重点：利用坐标表示地理位置． 2．难点：建立适当的直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题． 教学过程 一、创设问题情境 观察：教材第54页图6．2-1．
今天我们学习如何用坐标系表示地理位置，首先我们来探究以下问题． 二、师生互动，探究用坐标表示地理位置的方法 活动1： 根据以下条件画一幅示意图，指出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置． 小刚家：出校门向东走150米，再向北走200米． 小强家：出校门向西走200米，再向北走350米，最后再向东走50米． 小敏家：出校门向南走100米，再向东走300米，最后向南走75米． 问题：如何建立平面直角坐标系呢？以何参照点为原点？如何确定x轴、y轴？如何选比例尺来绘制区域内地点分布情况平面图？ 小刚家、小强家、小敏家的位置均是以学校为参照物来描述的，故选学校位置为原点．根据描述，可以以正东方向为x轴，以正北方向为y轴建立平面直角坐标系，并取比例尺1：10000（即图中1cm 相当于实际中10000cm，即100米）． 由学生画出平面直角坐标系，标出学校的位置，即（0，0）．
引导学生一同完成示意图． 问题：选取学校所在位置为原点，并以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向有什么优点？ 可以很容易地写出三位同学家的位置． 活动2：归纳利用平面直角绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程． 经过学生讨论、交流，教师适当引导后得出结论： （1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y 轴的正方向； （2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； （3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 应注意的问题： 用坐标表示地理位置时，一是要注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的适当，通常要么是比较有名的地点，要么是所要绘制的区域内较居中的位置；二是坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向，这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向一致；三是要注意标明比例尺和坐标轴上的单位长度． 有时，由于地点比较集中，坐标平面又较小，各地点的名称在图上可以用代号标出，在图外另附名称．（举例） 活动3：进一步理解如何用坐标表示地理位置．