3屈服与破坏准则

第三章 屈服与破坏准则
§3.1 概述
只有确定材料的屈服与破坏， 只有确定材料的屈服与破坏 ， σ 才能进行塑性力学分析。 才能进行塑性力学分析。 一、基本概念 1. 屈服、相继屈服与破坏 屈服、 物体受荷载作用， 物体受荷载作用 ， 随着荷载增 由弹性状态过渡到塑性状态， 大 ， 由弹性状态过渡到塑性状态 ， 这个过程叫做屈服 屈服。 这个过程叫做屈服。
§3.1 概述
一、基本概念 2. 屈服条件、加载条件与破坏条件 屈服条件、 对于简单应力条件，我们很容易判定材料何时屈服、 对于简单应力条件，我们很容易判定材料何时屈服、何 时破坏，以及是加载还是卸载，它们都与应力或应变相关。 时破坏，以及是加载还是卸载，它们都与应力或应变相关。 在复杂应力条件下，就必须有一个判定材料屈服 屈服、 在复杂应力条件下，就必须有一个判定材料屈服、破坏 的条件和 卸载条件。 的条件和加、卸载条件。 一般地，屈服条件是应力（应变）状态的函数； 一般地，屈服条件是应力（应变）状态的函数；破坏条 件是破坏应力（应变）与破坏参量的函数； 件是破坏应力（应变）与破坏参量的函数；加卸载条件是加 卸载应力和硬化参量的函数。 卸载应力和硬化参量的函数。 因此，屈服条件也称屈服函数 屈服准则； 屈服函数或 因此，屈服条件也称屈服函数或屈服准则；破坏条件也 破坏函数或 破坏准则； 卸载条件一般称加载函数或 称破坏函数或破坏准则；加、卸载条件一般称加载函数或加 加载函数 载准则。 载准则。
f = βp + α p − k + [
2
J2 g (θσ )
]n = 0
式中： 为系数， 为指数 一般为0、 、 ， 为指数， 式中： α、β 为系数， n为指数，一般为 、 1、2，这三 个参数决定着屈服曲线在子午平面上的形状； 为屈服参数 为屈服参数。 个参数决定着屈服曲线在子午平面上的形状 ； k为屈服参数 。 平面上屈服曲线的形状函数， g (θσ ) 为 π 平面上屈服曲线的形状函数 ， 取不同形 可得到不同的屈服条件， 式，可得到不同的屈服条件，因此该准则可概括许多常用的 屈服准则，所以有人将其称为岩土材料的统一屈服准则。 屈服准则，所以有人将其称为岩土材料的统一屈服准则。
§3.1 概述
二、屈服曲线的性质
2. 屈服曲线与坐标原点出发的任一向径必相交一次，且 屈服曲线与坐标原点出发的任一向径必相交一次， 仅相交一次。 仅相交一次。 即屈服曲线不仅是封闭的， 而且是单连通的， 即屈服曲线不仅是封闭的 ， 而且是单连通的 ， 否则将 导致同一应力状态既对应于弹性状态又对应于塑性状态， 导致同一应力状态既对应于弹性状态又对应于塑性状态，亦 即初始屈服只有一次。 即初始屈服只有一次。 3. 屈服曲线一定是外凸的。（以后证明） 屈服曲线一定是外凸的。 以后证明） 4. 对于拉压屈服相同的材料， 屈服曲线为 个扇形的对 对于拉压屈服相同的材料，屈服曲线为12个扇形的对 称图形； 对于拉压屈服不同的材料，屈服曲线为6个扇形的 称图形 ； 对于拉压屈服不同的材料 ， 屈服曲线为 个扇形的 对称图形。 对称图形。
§3.1 概述
一、基本概念 3. 屈服曲面、加载曲面与破坏曲面 屈服曲面、 对屈服函数在应力空间内的图像即为屈服曲面（ 对屈服函数在应力空间内的图像即为屈服曲面（在二维 屈服曲面 应力空间内即为屈服曲线 屈服曲线） 应力空间内即为屈服曲线）。 屈服曲面上所有的点都表示介质初次屈服时的应力状态。 屈服曲面上所有的点都表示介质初次屈服时的应力状态。 屈服曲面把应力空间分成两个部分 两个部分： 屈服曲面把应力空间分成两个部分：应力点在屈服面内属弹 性状态；在屈服面上的点材料开始屈服。 性状态；在屈服面上的点材料开始屈服。 对于理想塑性材料，应力点不可能跑出屈服面之外； 对于理想塑性材料，应力点不可能跑出屈服面之外；对 于硬化材料，在屈服面外则属塑性状态的继续， 于硬化材料，在屈服面外则属塑性状态的继续，此时屈服函 数将是变化的，这种屈服函数一般叫做加载函数， 数将是变化的，这种屈服函数一般叫做加载函数，亦称后继 屈服面或加载曲面 加载曲面的极限就是破坏曲面 加载曲面。 破坏曲面。 屈服面或加载曲面。加载曲面的极限就是破坏曲面。
σS
A
C
D
E B
o
ε
图中A点之后的曲线均称屈服曲线。 图中 点之后的曲线均称屈服曲线。 点之后的曲线均称屈服曲线 称 σ S 为初始屈服应力，A点之后曲线上任一点均称为相 初始屈服应力， 点之后曲线上任一点均称为相 应力 点之后曲线上任一点均称为 继屈服点 继屈服点。
§3.1 概述
一、基本概念 1. 屈服、相继屈服与破坏 屈服、 物体屈服后曲线如AB线的材料 物体屈服后曲线如 线的材料 理想塑性材料； 称为理想塑性材料 称为理想塑性材料；如ACD线的材 线的材 料称为应变硬化 强化）材料； 应变硬化（ 料称为 应变硬化 （ 强化） 材料 ； 如 ACE线的材料称为应变软化材料。 线的材料称为应变软化材料 线的材料称为应变软化材料。
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§3.3 Z-P准则 准则
为了克服C－ 屈服准则屈服面 曲线） 的棱角（ 屈服准则屈服面（ 为了克服 － M屈服准则屈服面 （ 曲线 ） 的棱角 （ 尖 角），并考虑屈服与静水压力的非线性关系及中间主应力对 强度的影响， 辛克维兹-潘德 强度的影响 ， Zienkiewicz-Pande(辛克维兹 潘德 ） 于 1975年 辛克维兹 潘德） 年 提出了他们的屈服准则，其一般形式为： 提出了他们的屈服准则，其一般形式为：
§3.2 C-M准则 准则
一、C-M准则 准则
函数的图像绘制在主应力空间、 将 Coulomb-Mohe函数的图像绘制在主应力空间 、 偏平 函数的图像绘制在主应力空间 的子午面内，相应的图像如下： 面或 σ 2 = 0 的子午面内，相应的图像如下：
σ1
σc
σt
o
σt
σc
σ3
（a）主应力空间 ）
（b）偏平面 ）
（c） σ 2 = 0 子午面 ）
C-M准则图像 准则图像
§3.2 C-M准则 准则
二、C-M准则的其它形式 准则的其它形式
1. p-q- θσ 形式：（ − π ≤ θσ ≤ π ） 形式： 6 6
θ 2. p-q 形式：（常规三轴拉压试验， σ = ± 30º） 形式： 常规三轴拉压试验， ） 6sin ϕ 6c ⋅ cos ϕ (拉取正，压取负） q= p+ 3 ± sin ϕ 3 ± sin ϕ
σ 1'
σ 1'
' σ2
σ 3'
金属类材料
' σ2
σ 3'
岩土类材料
4特性证明： 特性证明： 特性证明
对各向同性材料，与坐标无关， 对称； 对各向同性材料，与坐标无关，故120º对称； 对称 若拉压屈服不同，则坐标轴正向交点大小相同，负向大小相同， 若拉压屈服不同，则坐标轴正向交点大小相同 ，负向大小相同， 而 负向不同， 对称——岩土类材料得证； 岩土类材料得证； 正、负向不同，故60º对称 对称 岩土类材料得证 若拉压屈服相同， 对称， 若拉压屈服相同 ， 则 60º对称 ， 而且屈服函数均对坐标轴为偶函数 对称 以后证） 对称——金属类材料得证。 金属类材料得证。 （以后证），故30º对称 对称 金属类材料得证
§3.2 C-M准则 准则
一、C-M准则 准则
准则， 即 Coulomb-Mohe准则 ， 我们已经很熟悉了 。 当知道主 准则 我们已经很熟悉了。 应力的大小， 表示为： 应力的大小，即 σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 时，表示为：
f = τ − σ tan ϕ − c = 0
f = (σ 1 − σ 3 ) − (σ 1 + σ 3 ) sin ϕ − 2c ⋅ cos ϕ = 0
q
q
p
p
q
指数n为 时 指数 为 2时 ， 准则可以 是双曲线、抛物线或椭圆。 是双曲线、抛物线或椭圆。
p
§3.3 Z-P准则 准则
辛克维兹－潘德屈服条件则是针对莫尔－ 辛克维兹－潘德屈服条件则是针对莫尔－库仑屈服条件 的缺点，对莫尔－库仑屈服条件进行的修正与推广。 的缺点，对莫尔－库仑屈服条件进行的修正与推广。辛克维 潘德屈服条件的三种屈服曲线在p－ 子午面上都是光 兹 － 潘德屈服条件的三种屈服曲线在 － q子午面上都是光 滑曲线，不仅有利于数值计算， 滑曲线，不仅有利于数值计算，而且在一定程度上考虑了屈 服曲线与静水压力的非线性关系， 服曲线与静水压力的非线性关系，单纯的静水压力可以引起 屈服（椭圆形屈服曲线）以及中间主应力对屈服的影响（ 屈服（椭圆形屈服曲线）以及中间主应力对屈服的影响（通 平面上的形状函数反映出来） 过π 平面上的形状函数反映出来）。 因此，在岩土本构模型中常有应用。例如， 因此，在岩土本构模型中常有应用。例如，著名的修正 Cambridge模型就是采用的椭圆形屈服曲线，而莫尔－库仑 模型就是采用的椭圆形屈服曲线， 模型就是采用的椭圆形屈服曲线 而莫尔－ 屈服条件破坏线就是Cambridge模型的临界状态线。 模型的临界状态线。 屈服条件破坏线就是 模型的临界状态线
π 平面上的剪切屈服曲线具有如下特性： 平面上的剪切屈服曲线具有如下特性：
1. 屈服曲线是一条封闭曲线，或是等倾线上的一个点。 屈服曲线是一条封闭曲线，或是等倾线上的一个点。 材料在屈服面内属弹性应力状态， 材料在屈服面内属弹性应力状态，所以屈服曲线在π 平 面内必定是封闭的， 面内必定是封闭的，否则将出现某些情况下材料永不屈服的 情况，这是不可能的。 情况，这是不可能的。
§3.1 概述
二、屈服曲线的性质
空间屈服曲面直观，但研究起来不方便，因此， 空间屈服曲面直观，但研究起来不方便，因此，常研究 曲面在偏平面上的交线， 为常数的平面（称子午面） 曲面在偏平面上的交线，或某一 θσ 为常数的平面（称子午面） 与曲面的交线。对这两种交线的研究意义重大， 与曲面的交线。对这两种交线的研究意义重大，因为偏平面 屈服曲线只与J 有关； 上，屈服曲线只与 2、J3（或 θσ ）有关；子午面上的屈服曲 线只与I 有关。 线只与 1、J2有关。
§3.3 Z-P准则 准则
为了使π 平面上屈服曲线 光滑，且在＝ 光滑，且在＝±30°时与 －M °时与C－ 屈服条件拟合， 屈服条件拟合 ， 要求形状函 数满足以下条件： 数满足以下条件：
dg (θ σ ) π = 0, θ σ = ± dθ σ 6 π g (+ ) = 1 6 3 − sin ϕ π g (− ) = K = 6 3 + sin ϕ
σ
C D
E
σS
A
B
o
ε
通常， 通常，把材料进入无限塑性状态或丧失对外力的抵抗能 力时称作破坏 力时称作破坏 。 显然，理想塑性材料的初始屈服就是破坏； 显然，理想塑性材料的初始屈服就是破坏；软化材料一 般认为达到强度最大被认为是破坏； 般认为达到强度最大被认为是破坏；硬化材料的破坏一般以 应变达到规定值时被认为是破坏。 应变达到规定值时被认为是破坏。
如果我们并不知道主应力的大小顺序，则可表示为： 如果我们并不知道主应力的大小顺序，则可表示为：
f = {(σ 1 − σ 2 ) 2 − [(σ 1 + σ 2 ) sin ϕ − 2c ⋅ cos ϕ ]2 } {(σ 2 − σ 3 ) 2 − [(σ 2 + σ 3 )sin ϕ − 2c ⋅ cos ϕ ]2 } {(σ 3 − σ 1 ) 2 − [(σ 3 + σ 1 ) sin ϕ − 2c ⋅ cos ϕ ]2 } = 0
当p=0时，可得到： 时 可得到： qc 3 + sin ϕ = qt 3 − sin ϕ 大家想想，该式说明什么？ 大家想想，该式说明什么？
§3.2 C-M准则 准则
三、C-M准则的评价 准则的评价
莫尔－库仑屈服准则的优点： 莫尔－库仑屈服准则的优点：它能反映岩土类材料的抗 压抗拉强度的不对称性；材料对静水压力的敏感性； 压抗拉强度的不对称性；材料对静水压力的敏感性；而且模 型简单实用，材料参数少， 、 型简单实用 ， 材料参数少 ， c、ϕ 可以通过各种不同的常规 试验测定。因此，它在岩土力学和塑性理论中得到广泛应用， 试验测定。因此，它在岩土力学和塑性理论中得到广泛应用， 并且积累了丰富的试验资料与应用经验。 并且积累了丰富的试验资料与应用经验。 但是，莫尔－ 但是，莫尔－库仑屈服准则不能反映中间主应力对屈服 和破坏的影响， 和破坏的影响，不能反映单纯的静水压力可以引起岩土屈服 的特性，而且，屈服面有棱角，不便于数值计算。 的特性，而且，屈服面有棱角，不便于数值计算。