高三数学总复习抛物线PPT课件

以其准线方程为y＝－1.
3．抛物线 y＝2x2 的焦点坐标为( )
A.12，0
B．(1,0) C.0，18 D.0，14
解析：选 C 将抛物线 y＝2x2 化成标准方程为 x2＝12y，
所以 2p＝12，p2＝18，而抛物线 x2＝12y 的焦点在 y 轴的非负
p2 p2
所以
B
33p，－p2.又因为点
B
在双曲线上，故
3 3
－
4 3
＝1，解
得 p＝6.
答案：(1)B (2)6
1．已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O， 并且经过点 M(2，y0)．若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3， 则|OM|＝( )
A．2 2 B．2 3 C．4 D．2 5
2．过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点， 若|AF|＝3，则|BF|＝________.
解析：因为抛物线 y2＝4x 的焦点 F(1,0)． 显然，当 AB 垂直于 x 轴时，|AF|≠3， 所以 AB 的斜率 k 存在， 设 AB 的方程为 y＝k(x－1)，与抛物线 y2＝4x 联立， 消去 y 得 k2x2－2k2x－4x＋k2＝0， 即 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
过定点F且与直线l垂直的直线．
2．抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的
距离与点M的横坐标x0有何关系？若抛物线方程为x2＝
2py(p>0)，结果如何？
提示：由抛物线定义得|MF|＝x0＋
p 2
；若抛物线方程为
x2＝2py(p>0)，则|MF|＝y0＋p2.
1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x＝－2，
抛物线
考纲下载 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简
单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)． 2．了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际
背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中 的作用．
3．理解数形结合思想．
1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内； (2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等 ； (3)定点不在 定直线上．
段 FA 的中点 B 在抛物线上，则 B 到该抛物线准线的距离为
________．
解析：Fp2，0，则 Bp4，1，
∴2p×p4＝1，解得 p＝ 2.∴B 42，1，
因此
B
到该抛物线的准线的距离为
42＋
22＝3
4
2 .
答案：3 4 2
考点一 抛物线的定义及应用
P(x0，y0)．
由yx＝2＝k4xy＋m， 得 x2－4kx－4m＝0.
于是 Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m， 所以 AB 中点 M 的坐标为(2k,2k2＋m)．
由
，得(－x0,1－y0)＝3(2k,2k2＋m－1)，
所以xy00＝ ＝－ 4－6k6，k2－3m. 由 x02＝4y0 得 k2＝－15m＋145.
2，则p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y.
1．直线与抛物线的位置关系，是高考命题的热点，多以 解答题的形式出现，试题难度较大，多为中、高档题．
2．直线与抛物线的位置关系有以下几个命题角度： (1)已知抛物线方程及其他条件，求直线方程； (2)证明直线过定点； (3)求线段长度或线段之积(和)的最值； (4)求定值．
近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为( )
A．x2＝8
3
3 y
B．x2＝163
3 y
C．x2＝8y
D．x2＝16y
解析：选D 双曲线的渐近线方程为y＝±bax，由于ac＝
a2＋a2 b2＝
1＋ba2＝2，所以ba＝ 3，所以双曲线的渐
p
近线方程为y＝± 3x.抛物线的焦点坐标为0，p2，所以22＝
x＝p2
y＝－p2
x≤0， y≥0， y∈R x∈R
F0，－p2
y＝p2 y≤0， x∈R
开口 方向 焦半径 (其中 P(x0，y0))
向右
|PF|＝ x0＋p2
向左
|PF|＝ －x0＋p2
向上
|PF|＝ y0＋p2
向下
|PF|＝ －y0＋p2
1．当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是
4 个结论——直线与抛物线相交的四个结论 已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线 于 A，B 两点，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论： (1)|AB|＝x1＋x2＋p 或|AB|＝si2np2α(α 为 AB 所在直线的倾 斜角)；(2)x1x2＝p42；(3)y1y2＝－p2；(4)过抛物线焦点且与对 称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为 2p.
[自主解答] (1)由题意知焦点 F(0,1)，准线方程为 y＝－1.
设 P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得到 y0＝2，所以 P(2 2，2)或 P(－2 2，2)．
由
，分别得 M－23 2，23或 M23 2，23.
(2)设直线 AB 的方程为 y＝kx＋m，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略 (1)求直线方程．先寻找确定直线的两个条件，若缺 少一个可设出此量，利用题设条件寻找关于该量的方 程，解方程即可． (2)证明直线过定点．可依题设条件寻找该直线的方 程，可依据方程中的参数及其他条件确定该直线过那个 定点．
(3)求线段长度和线段之积(和)的最值．可依据直线与抛物 线相交，依据弦长公式，求出弦长或弦长关于某个量的函数， 然后利用基本不等式或利用函数的知识，求函数的最值；也可 利用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离．
于是，问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P 到点 A(－1，1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小．
显然，连接 AF 交曲线于点 P，则所求的最小值为|AF|， 即为 5.
(2)如图，过点 B 作 BQ 垂直准线于 Q，交抛物线于点 P1，则|P1Q|＝|P1F|.
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为 4.
互动探究 若将本例(2)中的点B坐标改为(3,4)，求|PB|＋|PF|的 最小值． 解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部． ∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离． ∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝ 42＋22＝ 16＋4＝2 5. 即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.
抛物线定义中的“转化”法 利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行 抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转 化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这 是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．
解析：选 B 依题意，设抛物线方程是 y2＝2px(p>0)， 则有 2＋p2＝3，得 p＝2，故抛物线方程是 y2＝4x，点 M 的 坐标是(2，±2 2)，|OM|＝ 22＋8＝2 3.
2．已知双曲线 C1：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率
为 2.若抛物线 C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由根与系数的关系得 x1＋x2＝2k2k＋2 4＝2＋k42. 又|AF|＝3＝x1＋p2＝x1＋1，所以 x1＝2， 代入 k2x2－2k2x－4x＋k2＝0，得 k2＝8， 所以 x1＋x2＝52，x2＝12，故|BF|＝x2＋1＝12＋1＝32. 答案：32
[例1] 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点． (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离 之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． [自主解答] (1)如图，易知抛物线的焦 点为 F(1,0)，准线是 x＝－1. 由抛物线的定义知：点 P 到直线 x＝－1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离．
则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x
B．y2＝－4x
C．y2＝8x
D．y2＝4x
解析：选C 由抛物线准线方程为x＝－2知p＝ 4，且开口向右，故抛物线方程为y2＝8x.
2．抛物线 y＝1x2 的准线方程是( ) 4
A．y＝－1
B．y＝－2
C．x＝－1
D．x＝－2
解析：选A
抛物线y＝
1 4
x2的标准方程为x2＝4y，所
半轴上，所以焦点坐标为0，18.
4．抛物线的焦点为椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝1的左焦点，
顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________．
解析：由c2＝9－4＝5，得F(－ 5，0)， 则抛物线方程为y2＝－4 5x. 答案：y2＝－4 5x
5．设抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 A(0,2)．若线
(4)求定值．可借助于已知条件，将直线与抛物线联立，寻 找待定式子的表达式，化简即可得到．
已知过点 A(－4,0)的动直线 l 与抛物线 G：x2＝
2py(p>0)相交于
B，C
两点．当直线
l
的斜率是1时， 2
。
(1)求抛物线 G 的方程； (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取值范围．
∴抛物线 G 的方程为 x2＝4y.
(2)由题意知直线 l 的斜率存在，且不为 0， 设 l：y＝k(x＋4)，BC 中点坐标为(x0，y0)， 由xy2＝＝k4xy＋，4， 得 x2－4kx－16k＝0， 由 Δ>0 得 k<－4 或 k>0， ∴x0＝xB＋2 xC＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k， BC 中垂线方程为 y－2k2－4k＝－1k(x－2k)， ∴b＝2(k＋1)2，∴b>2. 故 b 的取值范围为(2，＋∞)．
由 Δ>0，k2≥0，得－13<m≤43.
又因为|AB|＝4 1＋k2 k2＋m，
点
F(0,1)到直线
AB
的距离为
d＝
|m－1| 1＋k2.
所以 S△ABP＝4S△ABF＝8|m－1| k2＋m
＝ 16 15
3m2－5m2＋m＋1.
记 f(m)＝3m3－5m2＋m＋1－13<m≤43. 令 f′(m)＝9m2－10m＋1＝0，解得 m1＝19，m2＝1.
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准 方程
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
(p＞0)
(p＞0) (p>0)
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 对称轴
O (0,0)
y＝0
x＝0
焦点
离心率 准线 方程
范围
Fp2，0
x＝－p2 x≥0， y∈R
F－p2，0 F0，p2 e＝1
解：(1)设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线 l 的斜率是12时， l 的方程为 y＝12(x＋4)，即 x＝2y－4， 联立xx2＝＝22yp－y，4， 消去 x，得 2y2－(8＋p)y＋8＝0， y1＋y2＝8＋2 p，y1y2＝4，
由已知
∴y2＝4y1，
由韦达定理及 p>0 可得 y1＝1，y2＝4，p＝2，
1．已知动圆过定点
F
p2，0
，且与直线
x＝－p相切， 2
其中 p>0，则动圆圆心的轨迹 E 的方程为____________．
解析：依题意得，圆心到定点Fp2，0的距离与到直线
x＝－Байду номын сангаас
p 2
的距离相等，再依抛物线的定义知，动圆圆心的轨
迹E为抛物线，其方程为y2＝2px.
答案：y2＝2px
可得 f(m)在－13，19上是增函数，在19，1上是减函数，在
1，43上是增函数．
又 f19＝225463>f43.
所以，当
m＝19时，f(m)取到最大值225463，此时
k＝±
55 15 .
所以，△ABP
面积的最大值为251635
5 .
考点二 抛物线的标准方程及性质
[例 2] (1)抛物线 y2＝4x 的焦点到双曲线 x2－y32＝
1 的渐近线的距离是( )
1 A.2
3 B. 2
C．1
D. 3
(2)抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点为 F，其准线与双曲
线x32－y32＝1 相交于 A，B 两点，若△ABF 为等边三角
形，则 p＝________.
[自主解答] (1)由抛物线 y2＝4x，有 2p＝4，p＝2.其焦 点坐标为(1,0)，双曲线 x2－y32＝1 的渐近线方程为 y＝± 3x.
不妨取其中一条 3x－y＝0.由点到直线的距离公式有 d＝
|
3×3＋1－1 0|＝
3 2.
(2)在等边三角形 ABF 中，AB 边上的高为 p，A2B＝ 33p，