概率第四章讲义

事件发生的概率。
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3.辛钦大数定律
设随机变量序列X 1 , X 2 ,L , X n， L ①独立同分布； ②具有期望：EX k , k 1, 2,L
则{X n ,n=1,2L }服从大数定律。
1 n 即对 0，有 lim P{| X i | } 1 n n l 1
态分布来近似.
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例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值 为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的 寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大 于1920小时的概率.
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解：
设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16
由题给条件知，诸Xi独立， 且E(Xi)=100, D(Xi)=10000 16只元件的寿命的总和为
由切比雪夫不等式
令n ， 即得
1 n 1 n lim P{| X i EX i | } 1 n n l 1 n l 1
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2.伯努利大数定律
设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是 事件A在每次试验中发生的概率，则对于 0 nA lim P{| p | } 1 即 n n
0, lim P{| Yn a | } 0
请注意 : Yn 依概率收敛于a，意味着对任意给定的 0，
当n充分大时，事件 Yn a 的概率很大，接近于1； 并不排除事件 Yn a 的发生，而只是说他发生的 可能性很小.
依概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛 弱些，它具有某种不确定性 .
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证明：
因 X n }两两不相关，故 {
n C 1 n 1 n 1 D[ X k ] 2 D X k 2 DX k n n k 1 n k 1 n k 1
1 n D( X i ) n n C 1 1 n i 1 1 2 P{| X i EX i | } 1 2 n n l 1 n l 1


0.348
PV 105 0.348
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例：一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪冲击 纵摇角大于3°的概率为p＝1/3，若船舶遭受了90000 次波浪冲击，问其中有29500～30500次纵摇角大于 3°的概率是多少？ 解：设在90000次波浪冲击中，纵摇角大于3°的次 数为X，则 X ~ b(90000,1/ 3)
由德莫佛-拉普拉斯极限定理 这里 np=120, X np 近似N(0,1), np(1-p)=48 np(1 p) N 120 ( ) ( N 120 ) 于是 P(X≤N) 48 48
例3 在天平上重复称量一重量为a的物体，假 设每次称量的随机误差服从(-1,1)内的均匀分 布，用 X n 表示 n 次称量的均值，求 n 使
设{X n ,n=1,2L }为随机变量序列，若对任意 0,有
1 n 1 n lim P{| X i EX i | } 1 n n l 1 n l 1
则称{X n ,n=1,2L }服从大数定律。 武汉科技大学理学院
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二、常用的大数定律 1.（切比雪夫大数定律）
29500 np X np 30500 np P{29500≤X ≤30500} P ≤ ≤ np (1 p ) np (1 p) np (1 p ) 30500 np 29500 np 0.9995 np (1 p ) np (1 p )
设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0, 10) 上服从均匀分布.记V Vk，求P V 105的近似值.
n k 1
( k 1, 2, 20). 20 近似地 100 由定理知，V Vk ~ N (20 5, 20) 12 k 1 105 20 5 V 20 5 于是 P V 105 P 100 12 20 100 12 20 V 20 5 P 0.387 20 100 12 武汉科技大学理学院 24
k
由定理1 即证。
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中心极限定理的应用
1 n (1)虽然在一般情况下，我们很难求出 X k 及 X n X k n k 1 k 1
n
的分布的确切形式，但在独立同分布中心极限定理的条件
下，当 n 很大时，可知其近似服从正态分布.
(2)参数为 n，p 的二项分布，当 n 充分大时，可用正
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2.依概率收敛的性质
P P 设X n a, Yn b, 又设函数g ( x, y )在点(a, b)连续，
则
g ( X n , Yn ) g (a, b).
P
3、大数定律
大数定律主要讨论随机变量序列X1 , X 2 ,L , X n， L 1 n 前n个随机变量的算术平均X n X i的收敛情况。 n i 1
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定理2(棣莫佛－拉普拉斯（De Laplace定理）
设随机变量 n(n=1,2,‥‥)服从参数n,p(0<p<1) 的二项分布，则对任意x，有
x 1 n np e dt ( x ) lim P{ x } n 2 np(1 p) t2 2
证： nA ~ b(n, p),
nA P p. n
nA X 1 X 2 L X n
其中X1 , X 2 ,L , X n独立同服从以p为参数的(0 1)分布。
对随机变量序列X1 , X 2 ,L , X n， 应用上一大数定律即得。 L
nA 该大数定律说明：事件发生的频率 依概率收敛于该 n
则
1 n k P k X i _____ n i 1
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第二节
例题
课堂练习
中心极限定理
中心极限定理
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正态分布在自然界中极为常见 为什么？
中心极限定理将从理论上对此加以解释.
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定理1（独立同分布下的中心极限定理）
设随机变量X 1 , X 2 , X n , 相互独立，服从同一分 布，且具有数学期望和方差 : E ( X k ) , D( X k ) 2 ( k 1,2,)，则随机变量之和 n = Y
一个常数。若对 0, 有 lim P{| Yn a | } 1
n
则称序列Y1 , Y2 , L , Yn , L 依概率收敛于a.记为
P Yn a.
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Yn a
P
0, lim P{| Yn a | } 1
n n
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请注意 :
在中心极限定理条件下，当n很大时, 有下列近似分布
Yn X k
k 1 n 近似地
~
N ( k , k2 ) ;
k 1 k 1
n
n
Yn EYn Y = DYn
* n
近似地
~ N (0,1)
近似地 1 n 1 n 1 n 2 X n X i ~ N ( k , 2 k ) n i 1 n k 1 n k 1
查正态分布函数表得 N 120 ≥ 3.1, (3.1) 0.999 故 48 从中解得N≥141.5, 即所求N=142. 也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以99.9%的 概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.
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N 120 由 ( ) 0.999 48
Yn EYn Y DYn
* n
X
k 1
n
k
的标准化变量
X
k 1
n
k n
nμ
D( X k )
k 1
的分布函数Fn ( x )对于任意x满足
lim Fn ( x) lim P Y x ( x )
n n * n
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x -
1 -t 2 2 e dt 2
Y Xk
k 1
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依题意，所求为P(Y>1920) D(Y)=160000 Y 1600 由中心极限定理, 近似服从N(0,1) 400 E(Y)=1600,
Y 1600 1920 1600 P (Y 1920) P ( ) 400 400 1920 1600 1- ( ) =1-(0.8) =1-0.7881=0.2119 武汉科技大学理学院 400
解 易知E (V ) 5, D(V ) 100 12 k k






1 (0.387)
即有
1 P
P


V 20 5 0.387 100 12 20
V 20 5 0.387 100 12 20
是观察该台车床在某时刻是否工作, 工作的概率0.6 , 共进行200次独立重复试验. 用X表示在某时刻工作着的车床数，
依题意，
X~B(200,0.6),
设需供电N千瓦， 现在的问题是：
求满足
P(X≤N)≥0.999
的最小的N.
（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，X台 工作所需电力即X千瓦.）
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例2. (供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由 于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常 需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独 立的，且在开工时需电力1千瓦. 问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车 间不会因供电不足而影响生产?
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解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验
1 n P 亦即 X i . n i 1
注意：与切比雪夫大数定律相比较，辛钦大数定律 的条件去掉了“方差存在”，但增加了“服从同一 10 武汉科技大学理学院 分布”的要求。
例 设随机变量序列X 1 , X 2 , L , X n， L ①相互独立； ②服从同一分布； ③具有k阶原点矩：EX ik k , i 1, 2,L
第4章 大数定律与中心极限定理
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大数定律 中心极限定理
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第一节
大数定律 小结
大数定律
依概率收敛定义及性质
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实践中，频率具有稳定性，大量测 量值的算术平均值也具有稳定性， 这种稳定性是大数定律研究的背景。
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一、概念
1.定义： 设Y1 , Y2 , L , Yn , L 是随机变量序列，a是
设随机变量序列X 1 , X 2 ,L , X n， L ①两两互斥， ②DX k C (k 1, 2,L ), C为常数，即方差有界，
则{X n ,n=1,2L }服从大数定律。
即对 0，有
1 n 1 n lim P{| X i EX i | } 1 n n l 1 n l 1
证 由第四章知识知可将n分解成为n个相互独立、
服从同一(0 1)分布的诸随机变量X 1 , X 2 , X n之和， n 该定理表明二项分布的极限分布为正态分布，从而参数 即有 n X k 1 为 n，p 的二项分布，当k n 充分大时，可用正态分布来 其中X k ( k 1,2,, n)的分布律为 近似. PX i p i (1 p)1 i , i 0,1
1 P (| X n a | ) 0.95 6
例4 抽样检查产品质量时，如果发现次品多余10个， 则认为这批产品不能接受，问应检查多少个产品，
可使次品率为10%的一批产品不能被接受的概率达
到0.9？
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例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vk ( k 1,2,n),