概率初步

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沪科版九年级下册数学第26章概率初步概率的计算

知识点 2 概率的计算
知2－讲
概率公式：
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并
且这些结果发生的可能性相等，其中使事件A发生的结
果有m(m≤n)种，那么事件A发生的概率为
P(A)＝
m.
n
知2－讲
概率与几何图形的面积：
设某几何图形的面积为S，其中事件A发生所在区
域的面积为S′，由于对这个几何图形内的每个点，事件
轴对称图形的概率是( )
B. 1
2
C. D53.
5 4
5
5
知2－练
5 (中考·呼和浩特)如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB＝15，AC＝9，BC＝12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为
()
B. 1
π
C. D6.
第26章概率初步
26.2等可能情形下的概率计算
第1课时概率的计算
1 课堂讲解概率的范围
概率的计算
2 课时流程
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
1.必然事件、不可能事件、随机事件、概率的概念？ 2.口答 (1)投掷一枚均匀的硬币1次，则P(正面朝上)=____; (2)袋中有6个除颜色外完全相同的小球,其中2个白球, 2个黑球,1个红球,1个黄球,从中任意摸出1个球, 则P(白球)=_____;P(黑球)=_____; P(红球)=_____;P(黄球)=______.
32 42 5,
阴影部分的面积为5பைடு நூலகம்＝25，
∵图形的总面积为(3＋4)2＝49， ∴飞镖落在阴影区域的概率是 25 .
49
知2－讲

概率初步

概率初步【概率】1、事件①必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件；②不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件；③随机事件：在一定条件下，有可能发生，也有可能不发生的事件。

其中①和②为确定事件，③为不确定事件。

2、概率：表示随机事件发生的可能性的大小的数值叫做概率，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率在0和1之间。

【典型例题】例1. 从“不太可能”、“不可能”、“很有可能”和“必然”中选择适当的词描述下列事件．（1）在直线上任取一点作射线，得到两个和为180°的角；（2）任画两条直线与另一条直线都相交，得到两个彼此相等的同位角；（3）小强对数学很感兴趣，常钻研教材内容，在数学测验中取得好成绩；（4）在电话上随机拨一串数字，刚好打通了好朋友的电话；（5）互为倒数的两个有理数符号相同．例2. 2007年某校初中三个年级在校学生共796名，学生的出生月份统计如下，根据图中数据回答以下问题：（1）出生人数少于60人的月份有哪些？（2）至少有两个人生日在10月5日是不可能事件，还是可能事件，还是必然事件？例3. 从1，2，3，4，5这五个数中任意取两个相乘，问：（1）积为偶数，属于哪类事件？有几种可能情况？（2）积为奇数，属于哪类事件？有几种可能情况？（3）积为无理数，属于哪类事件？例4. 下列事件，哪些是必然发生的事件？哪些是不可能发生的事件？哪些是随机事件？（1）有一副洗好的只有数字1～10的10张扑克牌．①任意抽取一张牌，它比6小②一次任意抽出两张牌，它们的和是24．③一次任意抽出两张牌，它们的和不小于2．（2）在一个不透明的口袋中，装有10个大小和外形-模一样的小球，其中有5个红球，3个蓝球，2个白球，并在口袋中搅匀①从口袋中摸出一个球，它们恰好是白球②从口袋中任意抽出2个球，它们恰好是白球③从口袋中一次摸出3个球，它们的颜色分别是红色、蓝色、白色④从口袋中一次摸出5个球，它们恰好是1个红色、1个蓝色和3个白色例5. 一个不透明的袋子中装有6个红球和4个白球，请根据此信息设计一个随机事件、一个必然事件和一个不可能事件．例6. 指出下列事件是确定事件还是不确定事件：（1）地球绕着太阳转．（2）打开电视机，正在播报有关伊拉克的新闻．（3）小明用5秒就跑完了100米．例7. 下面第一排表示了5个可以自由转动的转盘，请你用第二排的语言来描述当转盘停止转动时，指针落在深色区域的可能性大小，并用线连起来．例8. 有12张标有数字2，2，2，3，3，4，4，4，5，5，6，7的卡片，从中任意抽取一张，（1）抽出的数字是4和5的可能性哪个大？（2）抽出的数字是奇数和偶数的可能性哪个大？（3）连续抽5次（抽出后不放回去），抽出的五个数组成的五位数最小可能是多少？例9. 下列8个事件中：（1）掷一枚硬币，正面朝上．（2）打开电视机，正在播电视剧．（3）随意翻开一本有400页的书，正好翻到第200页．（4）天上下雨，马路潮湿．（5）你能长到身高5米．（6）买奖券中特等大奖．（7）掷一枚骰子的得到的点数小于8．（8）2005年6月27日是星期一．其中（将序号填入题中的横线上即可）不可能事件为；必然事件为；不确定事件中，发生可能性最大的是，发生可能性最小的是．例10. 在“六•一”儿童节来临之际，某妇女儿童用品商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成20份），并规定：顾客每购物满100元，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得80元、50元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可直接获得15元的购物券．转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？请说明理由．例11. 一场篮球比赛离结束还有1min ，甲队比乙队落后5分，在最后1min 内估计甲队投3分球有6次机会，如果都投2分球则只有3次机会，已知甲队投3分球命中的平均概率为31，投2分球命中的平均概率为32，问选择哪一种投篮方式，甲队取胜的可能性大一些？例12. 鸟类学家要估计一下某森林公园内鸟的数量，你能为鸟类学家提出一种估计鸟的数量的方法吗（在一定的时期内，森林公园可以近似地看作与外部环境是相对封闭的）？例13. 判断下列说法是否正确，并说明理由．（1）“从布袋中取出一只红球的概率是1”，这句话的意思是说取出一个红球的可能性很大．（2）在医院里看病注射青霉素时，说明书上说发生过敏的概率大约为0.1%，小明认为这个概率很小，一定不会发生在自己的身上，不需要做皮试．（3）小华在一次实验中，掷一枚均匀的正六面体骰子掷了6次，有3次出现了“3”，小华认为“3”出现的频率为．【用列举法求概率】1、概率公式2、几何概率3、列表法与树状图法：借助列表或画树状图的方法把所有情况列举出来。

概率初步知识点

概率初步知识点归纳1、概率的有关概念1.概率的定义：某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.2、事件类型：○1必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.○2不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.○3不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.必然事件、不可能事件都是在事先能肯定它们会发生，或事先能肯定它们不会发生的事件，因此它们也可以称为确定性事件.不确定事件都是事先我们不能肯定它们会不会发生，我们把这类事件称为随机事件。

练习：1．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者，其主要原因是( )．A．让比赛更富有情趣B．让比赛更具有神秘色彩C．体现比赛的公平性D．让比赛更有挑战性2．小张掷一枚硬币，结果是一连9次掷出正面向上，那么他第10次掷硬币时，出现正面向上的概率是( )．A．0 B．1 C．0.5 D．不能确定3．关于频率与概率的关系，下列说法正确的是( )．A．频率等于概率B．当试验次数很多时，频率会稳定在概率附近C．当试验次数很多时，概率会稳定在频率附近D．试验得到的频率与概率不可能相等4．下列说法正确的是( )．A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点B．某种彩票中奖的概率是1％，因此买100张该种彩票一定会中奖C．天气预报说明天下雨的概率是50％．所以明天将有一半时间在下雨D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等5．下列说法正确的是( )．A．抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1B．“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业C．一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1％，所以从袋中取至少100次后必定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀) D．抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50％，所以投掷硬币两次，那么一次出现正面，一次出现反面6．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是( )．A ．21 B ．31 C ．61 D ．81 7．在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类、速度类和力量类．其中必测项目为耐力类，抽测项目为：速度类有50m 、100m 、50m × 2往返跑三项，力量类有原地掷实心球、立定跳远、引体向上(男)或仰卧起坐(女)三项．市中考领导小组要从速度类和力量类中各随机抽取一项进行测试，请问同时抽中50m × 2往返跑、引体向上(男)或仰卧起坐(女)两项的概率是( )． A ．31B ．32C ．61D ．918．元旦游园晚会上，有一个闯关活动：将20个大小、重量完全一样的乒乓球放入一个袋中，其中8个白色的，5个黄色的，5个绿色的，2个红色的．如果任意摸出一个乒乓球是红色，就可以过关，那么一次过关的概率为( )． A ．32 B ．41 C ．51 D ．101 9．下面4个说法中，正确的个数为( )． (1)“从袋中取出一只红球的概率是99％”，这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大(2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红球没有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50％” (3)小李说，这次考试我得90分以上的概率是200％ (4)“从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 10．下列说法正确的是( )．A ．可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生B ．可能性很小的事件在一次试验中一定发生C ．可能性很小的事件在一次试验中有可能发生D ．不可能事件在一次试验中也可能发生 3、（重点）概率的计算1、概率的计算方式：概率的计算有理论计算和实验计算两种方式，根据概率获得的方式不同，它的计算方法也不同.2、如何求具有上述特点的随机事件的概率呢？如果一次试验中共有n 种可能出现的结果，而且这些结果出现的可能性都相同，其中事件A 包含的结果有m 种，那么事件A 发生的概率P(A)=n m 。

第二十五章概率初步

龙文学校教师一对一 59799765第25章：概率初步一．知识网络随机事件概率事件确定事件二经典例题例1：在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其它均相同），放在口袋里，让你摸球．规定：每付3元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你10元钱的奖品．（1）用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果；（2）求出获奖的概率；（3）如果有50个人每人各玩一局，摊主会从这些人身上骗走多少钱？请就这一结果写一句劝诫人们不要参与摸球游戏的忠告语．答案：（1），(2，1)，(2，2)， (2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，所以P (中奖)=369=41．（3）摊主将从这些人身上骗走的钱数为：50×3-50×10×41=25(元)．语句只要表述合理，立意明确即可．例2：（08盐城）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、4、x ，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋解答下列问题：（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近．试估计出现“和为7”的概率；（2）根据（1），若x 是不等于2、3、4的自然x 数，试求x 的值．答案：(1) 出现和为7的概率是：0.33(或0.31， 0.32，0.34均正确)(2) 列表格（见右边）或树状图，一共有12种可能的结果, 由（1）知，出现和为7的概率约为0.33∴和为7出现的次数为0.33×12=3.96≈4(用另外三个概率估计值说明亦可)若2+x=7,则x=5,此时P （和为7）=13≈0.33,若3+x=7,则 x=4,不符合题意.若4+x=7,则 x=3,不符合题意. 所以x=5.例3：不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，蓝球有1个，现从中任意摸出一个是红球的概率为21．(1)求袋中黄球的个数；(2)第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率；(3)若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小明共摸6次小球（每次摸1个球，摸后放回）得20分，问小明有哪几种摸法？答案：(1)设袋中有黄球m 个,由题意得21122=++m ,解得1=m ,故袋中有黄球1个；(2) ∵第二次摸球第一次摸球黄红2蓝红2蓝黄红1红1红1红2黄蓝黄红2红1∴61122)(==两次都摸到红球P ．(3)设小明摸到红球有x 次，摸到黄球有y 次，则摸到蓝球有)6(y x --次，由题意得20)6(35=--++y x y x ，即72=+y x ∴x y 27-=∵x 、y 、y x --6均为自然数∴当1=x 时，06,5=--=y x y ；当2=x 时，16,3=--=y x y ；当3=x 时，26,1=--=y x y ．综上：小明共有三种摸法：摸到红、黄、蓝三种球分别为1次、5次、0次或2次、3次、1次或3次、1次、2次．三适时训练（一）精心选一选1、实验中学初三年级进行了一次数学测验，参考人数共540人，为了了解这次数学测验成绩，下列所抽取的样本中较为合理的是（）A 、抽取前100名同学的数学成绩B 、抽取后100名同学的数学成绩C 、抽取（1）、（2）两班同学的数学成绩D 、抽取各班学号为3号的倍数的同学的数学成绩2、从A 地到C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中.从A 地到B 地有2条水路、2条陆路，从B 地到C 地有3条陆路可供选择，走空中从A 地不经B 地直接到C 地.则从A 地到C 地可供选择的方案有（） A 、20种 B 、8种 C 、 5种 D 、13种3、一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（） A 、154 B 、31 C 、51 D 、152 4、下列事件发生的概率为0的是（）A 、随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上；B 、今年冬天黑龙江会下雪；C 、随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为1；D 、一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域。

沪教版八年级数学-概率初步-学生版

1．下列事件为确定事件的是（）A ．掷一枚六个面分别标有1~6的均匀骰子，骰子停止转动后偶数点朝上；B ．从一副扑克牌中任意抽取一张牌，红色是红桃；C ．任意选择电视的某一频道，正在播放动画片；D ．在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日在同一天.2．下列事件，是必然事件的是（）A ．掷一枚均匀的骰子，骰子停止后朝上的总数是6B ．打开电视机，任意选择一个频道，正在播新闻C ．在地球上，抛出去的篮球会下落D ．随机从0，1，2，…9这十个数中选取两个数，和为203．如果某奖券中奖率是10002，你买1000张彩票（）A ．必然中奖 B. 不可能中奖 C ．可能中奖 D ．以上说法都不对4．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个红球且摸到红球的概率为31，那么口袋中球的总数为（） A ．12个 B ．9个 C ．6个 D ．3个5．四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率是（）A ．41 B ．21 C ．43D ．1 6．掷两枚硬币，正面都朝上的概率为（）A ．21 B ．31 C ．41 D ．51 7．有木条4根，分别为10cm ，8cm ，4cm ，2cm,从中任取三根能组成三角形的概率是（）A ．21 B ．31 C ．41 D ．51 8．“明天是晴天的概率是0.99”是________事件．9．概率的最小值是__________；概率的最大值是；它们分别是事件和事件的概率．10．有四张不透明的卡片，分别写有2、、722、2，它们除这四个数不同外，其余都相同.将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到写有无理数卡片的概率为______．卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率。

例3．如图，为举办毕业联欢会，小颖设计了一个游戏：游戏者分别转动如图的两个可以自由转动的转盘各一次，当两个转盘的指针所指字母都相同时，他就可以获得一次指定．．一位到会者为大家表演节目的机会.（1）利用画树形图或列表的方法（只选其中一种）表示出游戏可能出现的所有结果；（2）若小亮参加一次游戏，则他能获得这种指定机会的概率是多少？例4．田忌赛马是一个为人熟知的故事.传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强.有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，看样子田忌似乎没有什么获胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马…（1）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？A.可能发生B.不可能发生C.很有可能发生D.必然发生 3．下列说法正确的是( )A ．可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生；B ．可能性很小的事件在一次实验中一定发生；C ．可能性很小的事件在一次实验中有可能发生；D ．不可能事件在一次实验中也可能发生4．同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能事件的是（） A. 点数之和为12B. 点数之和小于3C. 点数之和大于4且小于8D. 点数之和为135．袋中有16个球，7个白球，3个红球，6个黄球，从中任取一个，得到红球的概率是（）A.37 B.316 C.12 D.3136．一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么小鸟停在黑色方格中的概率是（）A ．21 B ．31 C..41 D. 51二、填空题1．在长度分别为2，3，4，5，6的五条线段中，随意取出三条能构成三角形的概率是_______。

概率初步的知识点总结

概率初步的知识点总结一、基本概念1. 随机试验和样本空间随机试验是指在一定条件下，试验的结果是随机的，无法预测的现象。

样本空间是指随机试验的所有可能结果的集合。

2. 事件事件是样本空间的一个子集，表示一种可能发生的结果。

事件的概率表示该事件发生的可能性大小。

3. 概率的定义概率是事件发生的可能性大小的度量，通常用P(A)来表示事件A发生的概率。

概率的取值范围是0到1，即0≤P(A)≤1。

4. 频率与概率频率是指事件发生的次数与总次数的比值，当试验次数足够大时，频率趋近于概率。

二、基本概率1. 古典概率古典概率是指在有限个等可能结果的随机试验中，事件发生的概率等于事件的发生方式数与总的可能方式数的比值。

2. 几何概率几何概率是指在连续型随机试验中，利用几何形状和相似性来求事件的概率。

3. 条件概率条件概率是指在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。

其计算公式为P(A|B)=P(AB)/P(B)。

4. 乘法公式乘法公式是指用条件概率来计算复合事件的概率，其计算公式为P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)。

5. 全概率公式和贝叶斯定理全概率公式用于求解复杂事件的概率，贝叶斯定理则是在已知条件概率的情况下，用来求解逆向概率问题。

三、随机变量与概率分布1. 随机变量随机变量是指取值不确定，但在一定范围内有规律可循的变量。

随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。

2. 离散型随机变量离散型随机变量的取值是可数的，通常用概率分布列来表示其各个取值对应的概率。

3. 连续型随机变量连续型随机变量的取值是连续的，通常用概率密度函数来表示其取值的概率分布情况。

4. 期望和方差期望是随机变量的平均值，方差是随机变量取值偏离期望的平均程度。

四、常见概率分布1. 二项分布二项分布是指在n次独立试验中，事件发生的次数符合二项分布的概率分布。

2. 泊松分布泊松分布是指在单位时间或单位空间内，发生次数符合泊松分布的概率分布。

教案概率初步(全章)

概率初步(第一章)教学目标：1. 了解概率的定义和基本概念。

2. 学会计算简单事件的概率。

3. 理解概率的意义和应用。

教学重点：1. 概率的定义和计算方法。

2. 概率的基本性质和规则。

教学难点：1. 概率的计算和应用。

教学准备：1. 教学PPT或黑板。

2. 教学材料和实例。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入概率的概念，例如抛硬币、抽奖等。

2. 引导学生思考概率的实际应用和意义。

二、概率的定义（10分钟）1. 解释概率的定义：事件发生的可能性。

2. 强调概率的取值范围：0到1之间。

三、计算简单事件的概率（15分钟）1. 介绍计算概率的方法：实验法和理论法。

2. 举例讲解如何计算抛硬币、掷骰子等简单事件的概率。

四、概率的基本性质和规则（10分钟）1. 介绍概率的基本性质：互补性和独立性。

2. 讲解概率的基本规则：加法和乘法规则。

五、巩固练习（10分钟）1. 给出一些简单的概率问题，让学生独立解决。

2. 讨论答案，引导学生理解和掌握概率的计算方法。

教学反思：本节课通过引入实例和讲解，让学生了解了概率的定义和计算方法。

通过巩固练习，帮助学生理解和掌握概率的计算。

在教学过程中，注意引导学生思考概率的实际应用和意义，激发学生的学习兴趣。

在下一节课中，将继续深入学习概率的更深入概念和计算方法。

概率初步(第六章)教学目标：1. 学会使用概率树图来解决概率问题。

2. 理解互斥事件和独立事件的概率计算规则。

3. 能够应用概率知识解决实际问题。

教学重点：1. 概率树图的绘制和分析。

2. 互斥事件和独立事件的概率计算。

教学难点：1. 概率树图的绘制和理解。

2. 复杂情况下概率的计算。

教学准备：1. 教学PPT或黑板。

2. 教学材料和实例。

教学过程：六、概率树图（10分钟）1. 介绍概率树图的概念和作用。

2. 讲解如何绘制概率树图，包括事件的分解和概率的分配。

七、互斥事件和独立事件的概率计算（10分钟）1. 解释互斥事件和独立事件的定义。

九年级数学概率初步PPT优秀课件

（1）一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么，这个常数p就叫作事件A的概率。事件A发生的频率是：在 n次试验中，事件A发生的频数m与 n 的比。
（2）求一个事件的概率的基本方法是：进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率
（3）对于某些随机事件也可以不通过重复试验，而只通过一次试验中可能出现的结果的分析来计算概率。例如：掷两枚硬币，求两枚硬币正面向上的概率。
随机事件：海市蜃楼，守株待兔。不可能事件：海枯石烂，画饼充饥，拔苗助长。
2、在一个不透明的口袋中装有除颜色外其余都相同的1个红球，2个黄球，如果每一次先从袋中摸出1个球后不再放回，第二次再从袋中摸出1个球，那么两次都摸到黄球的概率是多少？
（2004.海口）
3、你喜欢玩游戏吗？现请你玩一个转盘游戏，如图的两个转盘中指针落在每一个数字的机会均等，现同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字，用所指的两个数学作乘积，（1）列举所有可能得到的数字之积。（2）求出数字之积为奇数的概率（2005.黄冈）
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3、在什么条件下适用P(A）＝得到事件的概率？
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝
4、如何用列举法求概率？
当事件要经过一步完成时列举出所有可能情况，当事件要经过两步完成时用列表法，当事件要经过三步以上完成时用树形图法。
1、下列事件中哪个是必然事件？（A）打开电视机正在播广告。（B）明天是晴天. （C）已知：3＞2，则3c>2c 。（D）从装有两个红球和一个白球的口袋

概率初步试题及答案

概率初步试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 某事件的概率为0.5，那么它的对立事件的概率是（）。

A. 0.5B. 0C. 1D. 0.3答案：C2. 抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是（）。

A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 1答案：A3. 随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n=10，p=0.3，那么P(X=3)是（）。

A. 0.3B. 0.03C. 0.09D. 0.33答案：C4. 某次考试，甲、乙、丙三人的成绩独立，甲通过的概率为0.7，乙通过的概率为0.6，丙通过的概率为0.5，那么三人都通过的概率是（）。

A. 0.21B. 0.35C. 0.105D. 0.05答案：C5. 已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ=0，σ^2=1，那么P(-1<X<1)是（）。

A. 0.6826B. 0.95C. 0.8413D. 0.9772答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 概率的取值范围是（）。

答案：[0,1]2. 随机变量X服从泊松分布，其参数λ=4，则P(X=2)=（）。

答案：0.33. 某次实验中，事件A和事件B是互斥的，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，则P(A∪B)=（）。

答案：0.44. 已知随机变量X服从均匀分布U(0,3)，则E(X)=（）。

答案：1.5三、计算题（每题10分，共20分）1. 已知随机变量X服从二项分布B(5,0.2)，求P(X≥3)。

答案：P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C_5^3*0.2^3*0.8^2+C_5^4*0.2^4*0.8+0.2^5=0.0512+0.0128+0.00032=0.064322. 已知随机变量X服从正态分布N(2,4)，求P(1<X<3)。

答案：P(1<X<3)=Φ((3-2)/2)-Φ((1-2)/2)=Φ(0.5)-Φ(-0.5)=0.6915-0.3585=0.333四、解答题（共40分）1. 某班有50名学生，其中有20名女生，30名男生。

第二十五章-概率初步

第二十五章《概率初步》一、随机事件与概率1、随机事件（1）确定事件事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．（2）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：例1：(1)下列事件中，是必然发生的事件的是（）（A）购买一张彩票中奖一百万. （B）打开电视机，任选一个频道，正在播新闻 .(C)在地球上，上抛出去的篮球会下落. （D）掷两枚质地均匀的骰子，点数之和一定大于6.(2)“明年十月七日会下雨”是__________事件.2、概率的意义（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率m、n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．（3）概率取值范围：0≤p≤1．（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．(1).（2007 北京）一个袋中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，大小、形状、质地完全相同，在看不到球的情况下，随机的从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率是（）.（A）. (B). (C). (D).二、用列举法求概率1.概率的公式（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．3.列举法和树状法（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．4.游戏公平性（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．（2）概率=所求情况数总情况数．（河北）在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量反复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（）(A)12.(B)9. (C)4. (D)3.（长春）将5个完全相同的小球分装在甲、乙两个不透明的口袋中，甲袋中有3个球，分别标有数字2、3、4，乙袋中有两个球，分别标有数字2、4，从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球.|（1）用列表法或树形图法，求摸出的两个球上数字之和为5的概率.（2）摸出的两个球上数字之和为多少时的概率最大？三、利用频率估计概率1. 利用频率估计概率（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．如图是一个黑白相间的双色转盘.你能估计转盘指针停在黑色上的机会吗？如果没有转盘.你有哪些方法可以用来模拟试验？尽可能说说你的办法？(一)选择题1.下列事件中不可能发生的是_____.(A)打开电视机, 正在播新闻. (B)我们班的同学将会有人当选劳动模范.(C)在空气中,光的传播速度比声音的传播速度快.(D)若实数,c<0，,则3c>2c.2.下列说法正确的是_____.(A)在同一年出生的400人中至少有两个人的生日相同.(B)一张奖券的中奖率是1%,买1百张奖券, 一定会中奖.(C) 一副扑克牌中,任意抽取一张是红桃,这是必然事件.(D)一个袋中装有3个红球. 5个白球,任意摸出1个球是红球的概率是.3. 随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是________.(A ). (B). (C). (D)1.4. 菱湖是全中国著名的淡水鱼产地,养鱼户专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个塘里养的是同一种鱼),先捕上100条做上标记,然后放回塘里,过了一段时间,待带标记的鱼完全和鱼塘里的鱼混合后,再捕上100条鱼,发现其中带标记的鱼有10条,塘里大约有鱼_______.(A)1600条. (B)1000条. (C)800条. (D)600条.5. 在做针尖落地的实验中,正确的是_______.(A)甲做了4000次,得出针尖落地的次数为46%,于是他断定在做4001次事针尖肯定不会触地(B)乙认为一次一次做速度太慢,他拿来了大把形状及大小完全相同的图针,随意朝地面轻轻抛出.然后统计针尖触地的枚数这样大大提高了速度(C)老师安排每名同学回家做实验,图针自由选取(D)老师安排每名同学回家做实验,图钉统一发（完全一样的图针）,同学们交来的结果,老师挑选满意的进行统计,他不满意的就不要.6.客厅地板示意图，一只小猫可以在客厅内随意走动,小猫最终停留在彩色的地板砖上的概率是________.(A). (B). (C). (D).7.甲、乙两人各自进行一次射击,甲射中目标的概率是0.4，乙射中目标的概率是0.5,那么甲射中目标而乙未射中目标的概率( )(A)0.1. (B)0.2. (C)0.3. (D)0.5.8.某商店举办有奖销售活动,办法如下:凡购物满100元的消费者得奖券一张,多购多得,每10000张奖券为一个开奖单位,设特等奖一个, 一等奖50个,二等奖100个,那么100元商品的中奖概率为( )（二）填空题9.在一个装5个红球的袋子里任意摸出2个球______是红球______是白球.（填：可能，一定，不可能）10.某人有红色、白色两件衬衫，白、蓝两条裤子,若任意拿一件衬衫和一条裤子,正好是白衬衫和白裤子的概率是______.11.A市大约有100万人口,随即抽查了2000人,具有大学以上的学历的有120人,则在该市随便调查一个人,他具有大学以上学历的概率为________.12.掷两枚正方形的骰子，得到点数之和是7的概率是_______.13.一个口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共72个,小明通过多次摸球试验发现,摸到红球、黄球、蓝球的频率依次为0.35、0.25和0.4, 则口袋中红球、黄球、蓝球的数目很有可能为____个___个和____个.14.一个口袋中有 8个黑球和若干个白球,从口袋中随即摸出10个球,求出其中黑球数与10的比值再把球放回口袋中摇匀,重复上述过程，共做20次,其中黑球数与10的比值的平均数是0.25,则估计袋中的白球约有_______个.（三）解答题15.(9分) 把一枚均匀的硬币连续抛掷三次,至少有一次是正面朝上的概率.(利用树形图形)16. (10分)某商场设立了一个可以自由转动的转盘,如图所示,并规定:顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品,下表是活动进行中的一组统计数据:(1) 计算并完成表格.落地“铅笔”的频率(2)请你估计,当n很大时,频率将会接近多少?(3)假如你去转动转盘一次,你获得铅笔的概率是多少?(4) 在该转盘中,标有铅笔区域的扇形的圆心角大约是多少?(精确到1度)17. 甲乙两人用如图所示的两个分格均匀的转盘做游戏,分别转动两转盘，若转盘停止后，指针指向一个数字，当指针恰好停在分格线上,则重转一次，用所指的两个数字做乘积，如果积大于10，那么甲获胜，如果积不大于10，那么乙获胜.请你解决下列问题：(1) 利用树形图（或列表）的方法表示该游戏很有可能出现的结果.(2)求甲，乙两人获胜的概率是多少?18. 袋子里装有红、黄、蓝三种, 小球其形状、大小、质地等完全相同,每种颜色的小球各5个,且分别标有数字1、2、3、4、5, 现在从中摸出一个小球:(1) 摸出的球是蓝色球的概率是多少?答:________________________.(2) 摸出的球是红色1号球的概率是多少? 答:________________________.(3) 摸出的球是5号球的概率是多少?答:________________________.19. 将分别标有数字1、2、3、的三张卡片洗匀后, 背面朝上放在桌子上.(1) 随机地抽出1张, 求P(奇数).(2) 随机地抽取一张作为十位上的数字(不放回) , 再抽取一张作为个位上的数字,能组成哪些两位数?恰好是“32”的概率是多少？16．(7分)(2014·武汉)袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球．(1)先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球．①求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率；(2)先从袋中摸出两个球，则两球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？17.（广州）（本小题满分10分）某校初三（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：，的值；(1)求a b(2)若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数；(3)在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生.为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中至多．．有一名女生的概率.答案及提示：(一)选择题1．D；2．A；3．A；4．B；5．B；6．A；7．B；8．D.(二)填空题9．一定不可能；10．；11．6% ；12.；13．25 1829；14．24；(三)解答题15 .16．（1）表格中依次填:68% 74% 68% 69% 70.5% 70.1%.(2)0.7(或70%)(3)0.7(或70%).(4)252度.17.(1)（2）P（甲胜）=.P（乙胜）=.18解析:袋中共有15个球,有蓝色球5个, 编号为红1的球只有1个，编号是5的红、黄、蓝球各1个, 共3个, 利用公式P(A)= 可直接计算各个事件发生的概率.解:(1)摸出的是蓝球的概率为 =.(2)摸出的是红色1号的概率为.(3)摸出的是5号球的概率为=.点拨: P(A)= 中, n是所有可能出现的结果，且它们发生的可能性相等, m则表示事件A所包含的结果.19. 解:(1).(2)第一张第二张两位数.有树形图可知: 能组成12、13、21、23、31共6个两位数, 恰好是”32”的概率为.。

人教版中职数学(基础模块)下册10.2《概率初步》

人教版中职数学(基础模块)下册10.2《概率初步》一、概率的基本概念概率是数学中一门与事件发生的可能性有关的学科，概率论的研究对象是随机现象及其规律性。

其中，事件是指试验中可能发生的某种结果，试验是具有随机性质的科学实验或实际现象。

概率是研究随机现象发生情况的一种科学方法。

概率有几种常见的表示方法：1、极限频率表示法：将事件A发生的次数除以试验总次数，当试验次数足够多时，就会趋近于一个固定值，称为事件A的极限频率，即为概率。

2、古典概型：将所有可能的基本事件的概率加起来，即可得到事件A的概率。

3、几何概型：将求概率问题转换为求几何面积或长度等问题，然后计算出几何面积或长度之比，即为概率。

二、概率的性质概率有以下几个性质：1、非负性：对于任意事件A，P(A) >= 0。

2、规范性：对于样本空间S中任意事件A，有P(S) = 1。

3、可列可加性：对于样本空间S中任意两个互不相容的事件A和B，有P(A或B) = P(A) + P(B) 。

三、概率计算概率计算主要分为以下三类：1、基本概率计算：根据随机现象的特征确定基本事件及其概率，并求出所需事件的概率。

2、条件概率计算：在已知某一事件发生的条件下，求另一事件发生的概率，表示为P(B|A)。

3、全概率计算：当样本空间S中有多个事件时，利用各个事件发生的概率及其对应的条件概率，求出任一事件的概率。

四、概率的应用概率在各个领域都有着广泛的应用。

以下是其中的几个例子：1、风险管理：概率被广泛应用于金融和风险管理领域，可用于评估不同资产的风险，决定投资组合和风险控制方案。

2、医学：概率可被用来评估疾病的风险和患病率，以及各种诊断测试的可靠性和准确性。

3、科学研究：概率被广泛应用于各种科学实验中，如物理学、化学、生物学等，可用于研究受试者的特征以及实验结果的可信度和可靠性等。

4、决策和规划：概率可应用于各个方面，如企业管理、市场预测、人力资源管理等领域，用于决策和规划。

(新)北师大版七年级数学下册第6章《概率初步》课件(全章,190张PPT)

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第六章概率初步
第44课时频率的稳定性
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公式定理 1.大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率 . 知识小测 2．（2015•石家庄模拟）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（B ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 C．抛一枚硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率
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知识点1 事件的分类例1. （2016•抚顺）下列事件是必然事件的为（B ） A．购买一张彩票，中奖 B．通常加热到100℃时，水沸腾 C．任意画一个三角形，其内角和是360° D．射击运动员射击一次，命中靶心解：A、购买一张彩票，中奖，是随机事件；B、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件；C、任意画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件；D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件；故选：B．
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4．（2016•本溪一模）已知下列事件： ①太阳从西边升起； ②抛一枚硬币正面朝上； ③口袋里只有两个红球，随机摸出一个球是红球； ④三点确定一个圆，其中是必然事件的有（ A） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

初中概率初步知识点归纳

初中概率初步知识点归纳1.概率的基本概念：概率是指一些事件发生的可能性大小。

用数字来表示概率，概率的范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。

2.试验与样本空间：试验是指一些随机事件的观察或测试过程，样本空间是指试验的所有可能结果的集合。

例如，抛一枚硬币的试验，样本空间为{正面，反面}。

3.事件与事件的概率：事件是指样本空间的一个子集，即一些试验的可能结果的集合。

事件的概率是指该事件发生的可能性大小。

事件的概率可以通过计算实验中该事件发生的次数与实验总次数的比例来确定。

4.相等概率事件：如果一个试验的样本空间中的每个结果发生的概率相等，那么每个结果就是一个相等概率事件。

例如，抛一枚均匀硬币的结果正面和反面都是相等概率事件。

5.基本事件与复合事件：基本事件是样本空间中的一个单独结果，复合事件是样本空间中的一个或多个事件的集合。

复合事件可以通过基本事件的交、并、非等运算得到。

6.事件的互斥与独立：两个事件互斥是指它们不能同时发生，即它们的交集为空集；两个事件独立是指它们的发生与不发生相互独立，即一个事件的发生不影响另一个事件的发生。

7.计数原理：计数原理是概率问题中常用的计算方法。

包括排列计数原理和组合计数原理。

排列是指从一组不同的元素中取出若干个按照一定顺序排列的方式，组合是指从一组不同的元素中取出若干个按照任意顺序排列的方式。

8.条件概率：条件概率是指在一些条件下事件发生的概率。

如果事件A和事件B相互独立，那么事件A在事件B发生的条件下发生的概率与事件A发生的概率相等。

9.事件的发生次数的概率分布：事件的发生次数的概率分布可以用频率来近似估计。

当试验次数很大时，事件发生次数的频率趋近于事件发生的概率。

10.古典概型：古典概型是指试验的样本空间有限且所有结果发生的概率相等的情况。

在古典概型中，事件发生的概率可以通过计数原理进行计算。

第3讲概率初步--基础版

第3讲概率初步知识点1 随机事件与概率随机事件的概念在一定条件下，必然会发生的事件叫必然事件。

在一定条件下，一定不可能发生的事件叫不可能事件。

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件概率的概念及意义一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。

①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.【典例】1.下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？（1）太阳从西边落山；（2）a2+b2=﹣1（其中a、b都是实数）；（3）水往低处流；（4）三个人性别各不相同；（5）一元二次方程x2+2x+3=0无实数解；（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯．2.在一个不透明的口袋中装有大小、外形一模一样的5个红球、3个篮球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下是不确定、不可能事件、还是必然事件．（1）从口袋中一次任意取出一个球，是白球；（2）从口袋中一次任取5个球，全是篮球；（3）从口袋中一次任取5个球，只有篮球和白球，没有红球；（4）从口袋中一次任意取出6个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了．3.掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：（1）点数为偶数；（2）点数大于2且小于5．4.已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球．（1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？（2）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式．【方法总结】要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.【随堂练习】1．（2018春•鄄城县期末）如图，超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会，摇奖机是一个圆形转盘，被分成16等分，指针分别指向红、黄、蓝色区域，分获一、二、三获奖，奖金依次为60、50、40元．（1）分别计算获一、二、三等奖的概率．（2）老李一次性购物满了300元，摇奖一次，获奖的概率是多少？请你预测一下老李摇奖结果会有哪几种情况？2．（2018春•奉贤区期末）布袋中放有x只白球、y只黄球、2只红球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是．（1）试写出y与x的函数关系式；（2）当x=6时，求随机地取出一只黄球的概率P．3．（2018春•相城区期中）一只不透明的袋子中装有a个白球，b个黄球和10个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是40%；（1）当a=8时，求摸到白球的概率；（2）若摸到黄球的概率是摸到白球的两倍，求a，b的值．知识点2 用列举法求概率用列表法和树状图法，求事件的概率1. 列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，为了不重不漏地列举出所有可能的结果，我们采用列表法来求出某事件的概率．2. 树状图法：当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法来求出某事件的概率．树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，像树的树丫形式，最末端的树丫个数就是总的可能的结果．【典例】1.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．2.如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3．（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为；（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．3.三个小球上分别标有-2，0，1三个数，这三个球除了标的数不同外，其余均相同、将小球放入一个不透明的布袋中搅匀.（1）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，再记下小球上所标之数，求两次记下之数的和大于0的概率.(请用“画树状图”或“列表”的方法给出分析过程，并求出结果)（2）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，将小球上所标之数再记下，…，这样一共摸了13次，若记下的13个数之和等于-4，平方和等于14，求：这13次摸球中，摸到球上所标之数是0的次数. 【方法总结】求概率应掌握以下方法：2. 求概率的一般步骤：①判断使用列表法或画树状图法：列表法一般适用于两步计算；画树状图法适用于两步及两步以上求概率；②不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果，并判断每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现3. 判断游戏的公平性：判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平.4. 在重复实验计算概率的题中，第一次取出后放回，然后第二次再取出计算概率，做这类考题时要注意两次取得的结果总数是一致的，如果不放回，那么第二次取出的结果的总数比第一次少一种情况【随堂练习】1．（2018•深圳模拟）为了提高学生书水平．我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分．根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图：请结合图表完成下列各题：（1）求表中a的值，并把频数分布方图补充完整；（2）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率．2．（2018•云南）将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为x，再把剩下的两张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为y．（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出（x，y）所有可能出现的结果．（2）求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P．3．（2018•利辛县模拟）合肥合家福超市为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在三等分的转盘上依次标有“合”，“家”，“福”字样，购物每满200元可以转动转盘1次，转盘停下后，指针所指区域是“福”时，便可得到30元购物券（指针落在分界线上不计次数，可重新转动一次），一个顾客刚好消费400元，并参加促销活动，转了2次转盘．（1）求出该顾客可能获得购物券的最高金额和最低金额；（2）请用画树状图法或列表法求出该顾客获购物券金额不低于30元的概率．知识点3用频率估计概率用频率估计概率实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个时间出现的频率，总在一个固定的数附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率【典例】1.在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近；（精确到0.1）（2）试估算口袋中白球有多少个？（3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率．.2.某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：（1）计算并完成表格：（2）请估计，当n很大时，频率将会接近（精确到0.1）（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是，理由是：.3.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近；（精确到0.1）（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）=；（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？【方法总结】1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动．这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P．3．利用频率估计出的概率是近似值.【随堂练习】1．（2017秋•福州期末）盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据：摸到黑棋的频率（精确到0.001）（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是____；（精确到0.01）（2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜色不同的概率，并说明理由2．（2018春•东台市期中）“2018东台西溪半程马拉松”的赛事共有两项：A、“半程马拉松”、B、“欢乐跑”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到两个项目组．（1）小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为____．（2）为估算本次赛事参加“半程马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查：①请估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为____．（精确到0.1）②若本次参赛选手大约有3000人，请你估计参加“半程马拉松”的人数是多少？3．（2017•张家港市模拟）4件同型号的产品中，有l件不合格品和3件合格品．（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测．请用列表法或画树状图的方法，求两次抽到的都是合格品的概率；（解答时可用A表示l件不合格品，用B、C、D分别表示3件合格品）（2）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检侧，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？综合运用：概率初步1.有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，计算：（1）取到卡片号是7的倍数的情况有多少种？（2）取到卡片号是7的倍数的概率是多少？2.在不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为．（1）试求袋中篮球的个数；（2）第一次任意摸出一个球（不放回），请画出树状图或列表的方法，求两次摸到都是白球的概率．3.甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；（2）求出两个数字之积能被2整除的概率．4.有4个完全一样的小球，上面分别标着数字，2，1，﹣3，﹣4．现随机摸出一个小球后不放回，将该小球上的数字记为m，再随机地摸出一个小球，将小球上的数字记为n．（1）请列表或画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n 的图像经过第二、三、四象限的概率．5.小明和小刚用如图所示的两个转盘各转一次做“配紫色”游戏，配成紫色（一红一蓝），小明得1分，否则小刚得1分．（1）这个游戏公平吗？为什么？（2）如果不公平，如何修改规则才能使该游戏对双方公平？6.随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次统计共抽查了名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．7.在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于6，那么小王去，否则就是小李去．（1）用树状图或列表法求出小王去的概率；（2）小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．。

概率初步及计算方法

概率初步及计算方法概率是概括事物发生可能性的一种数学工具，它的应用涵盖了各个领域，如统计学、金融学、社会科学等。

在本文中，我们将初步介绍概率的基本概念和计算方法。

一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的一种度量，通常用0到1之间的实数表示，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。

概率的基本法则包括：1. 加法法则：对于互斥事件A和B（即A和B不能同时发生），它们的概率之和等于各自概率的和。

P(A∪B) = P(A) + P(B)2. 乘法法则：对于独立事件A和B（即A的发生不影响B的发生），它们的概率之积等于各自概率的乘积。

P(A∩B) = P(A) × P(B)二、计算概率的方法1. 经典概率：适用于样本空间有限且各种可能性等概率出现的情况。

计算方法为事件A发生的次数除以样本空间中可能事件的总数。

P(A) = Σ(A出现的次数) / 样本空间大小2. 相对频率概率：适用于进行实验或观察时，通过实验数据来估计概率。

计算方法为事件A发生的次数除以总实验次数。

P(A) ≈ (A出现的次数) / 总实验次数3. 主观概率：适用于无法进行实验的情况，概率的估计基于主观判断。

计算方法为根据个人主观判断给出的概率值。

三、概率计算的案例为了更好地理解概率计算方法，下面将给出一个实际案例。

假设有一枚均匀硬币，进行10次抛掷实验。

事件A表示出现正面的次数大于等于7次，我们来计算事件A发生的概率。

首先，我们可以列出所有的可能结果：样本空间 S = {正正正正正正正正正正，正正正正正正正正正反，正正正正正正正正反正，...，反反反反反反反反反反}其中，正表示正面，反表示反面。

然后，我们可以计算出事件A发生的次数，即正面出现7次、8次、9次和10次的情况。

通过计算，我们可以得到事件A发生的次数为36次。

最后，我们计算事件A发生的概率：P(A) = 36次 / 1024次≈ 0.035所以，根据计算结果，事件A发生的概率约为0.035。

九年级数学上册同步精品课堂(人教版)第25章概率初步(单元总结)(解析版)

第二十五章概率初步单元总结【思维导图】【知识要点】知识点一事件概率的概念：某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.事件类型：①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.②不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.③不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.【典例分析】1．（2019·莆田第二十五中学初三期末）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（）A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件【答案】D【解析】“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，故选D．2．（2017·重庆十八中初三期中）下列说法正确的是（）A.打开电视，它正在播广告是必然事件B.要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用抽样调查C.在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确D.甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲2=2，S乙2=4，说明乙的射击成绩比甲稳定【答案】C【解析】试题分析：A．打开电视，它正在播广告是随机事件，A错误；B．要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用全面调查，B错误；C．在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确，C正确；D．甲、乙两人射中环数的方差分别为，，说明甲的射击成绩比乙稳定，D错误；故选C．3．（2017·成都树德中学博瑞实验学校初一期末）下列事件为必然事件的是（）A．任意买一张电影票，座位号是偶数B．打开电视机，正在播放动画片C．两角及一边对应相等的两个三角形全等D．三根长度为2cm、3cm、5cm的木棒首尾相接能摆成三角形【答案】C【详解】A、任意买一张电影票，座位号是偶数是随机事件；B、打开电视机，正在播放动画片是随机事件；C、两角及一边对应相等的两个三角形全等是必然事件；D、三根长度为2cm、3cm、5cm的木棒首尾相接能摆成三角形是不可能事件.故选C.4．（2018·成都七中嘉祥外国语学校初三期中）下列事件中是必然事件的是（）A.任意画一个正五边形，它是中心对称图形x-有意义，则实数x＞3B.实数x3C.a，b均为实数，若a38，b4，则a＞bD.5个数据是：6，6，3，2，1，则这组数据的中位数是3【答案】D【解析】解：A．任意画一个正五边形，它是中心对称图形，是不可能时事件，故本选项错误；x-有意义，则实数x＞3，是不可能时事件，应为x≥3，故本选项错误；B．实数x3C．a，b均为实数，若a=38，b=4，则a=2，b=2，所以，a=b，故a＞b是不可能事件，故本选项错误；D．5个数据是：6，6，3，2，1，则这组数据的中位数是3，是必然事件，故本选项正确．故选D．5．（2018·福建省泉州第一中学初三期中）下利事件中，是必然事件的是（）A.将油滴在水中，油会浮在水面上B.车辆随机到达一个路口，遇到红灯C.如果，那么D.掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上【答案】A【解析】选项A，将油滴在水中，油会浮在水面上，是必然事件；选项B，车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件；选项C，如果，那么，是随机事件；选项D，掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上，是随机事件，故选A.知识点二概率计算概率的计算一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为利用列举法求概率方法一:直接列举法求概率当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时，通常采用直接列举法。

【单元一遍过】第二十五章概率初步【过知识】数学九年级上册单元复习一遍过(人教版)

知识梳理
考点5 树状图法求概率
当一次试验中涉及2个因素或更多的因素时, 为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用“树状图”.
树形图的画法:
一个试验
如一个试验中涉及2个或3 个因数,第一个因数中有2 种可能情况;第二个因数中有3种可能的情况;第三个因数中有2种可能的情况.
第一个因数 A
B
第二个 1 2 3 1 2 3 第三个 a b a b a b a b a b a b
解:列表如下：由上表可知,共有12种结果. 其中点(x,y)在函数y=x+2图象上(记为事件A)有(1,3)(2,4)2种结果. ∴P(A)=2/12=1/6.
yx 1 2 3 4 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4)
一个因素所包含的可能情况
另一个因素所包含的可能情况
两个因素所组合的所有可能情况,即n
说明：如果第一个因素包含2种情况；第二个因素包含3种情况；那么所有情况n=2×3=6.
课堂检测
1.四张小卡片上分别写有数字1,2,3,4,它们除数字外没有任何区别,现将它们放在盒子里搅匀,随机地从盒子里抽取一张,将数字记为x,不放回再抽取第二张,将数字记为y.请你用画树形图或列表的方法表示所有等可能的结果,并求出点(x,y)在函数y=x+2图象上的概率．
A.4/9 B.1/3 C.2/9 D.1/9 2.抛掷一枚质地均匀的硬币,若前3次都是正面朝上,则第4次正面朝上的概率( B )
A.小于1/2 B.等于1/2 C.大于1/2 D.无法确定

概率初步

沪科版九年级下册数学第26章 概率初步 概率的计算

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第二十五章概率初步

沪教版八年级数学-概率初步-学生版

概率初步的知识点总结

教案概率初步(全章)

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概率初步试题及答案

第二十五章-概率初步

人教版中职数学(基础模块)下册10.2《概率初步》

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初中概率初步知识点归纳

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