§1 参数化曲线与曲线的参数表示

第二章 曲线的局部微分几何

中心问题：如何确定和使用E3中的曲线的局部理论基本框架．

所使用的方法和观点是具有一般性的．

具体步骤：首先按照刻划曲线特征的要求而给定相关的基本概念；进一步利用标架的运动公式而给定曲线局部的完全不变量系统；再考虑如何利用一般理论去处理一些具体的几何对象．

本章所接触到的对象通常具有较为明显的几何直观；因此，应该注意逐步学会在几何现象与其解析表达之间进行熟练转换，并且注意培养利用几何直观的启示进行严密解析化论证和推导的能力．

§1参数化曲线与曲线的参数表示

在日常的活动当中，被人们称之为“曲线”的东西不枚胜举．兼有直观和抽象两种属性的一种描述，借用物理学的语言，是将“曲线”视为一个质点在一个时间段内随着时刻的变化而进行位移所形成的轨迹．将这种看法进一步抽象化，便导致数学上对于曲线的一种适当的定义．

一．E3中参数化曲线的定义

在E3中Descartes直角坐标系O-xyz下，取单位正交向量i,j,k为基向量．给定三个函数x(t), y(t), z(t)∈C k((a, b)) ，作向量值函数

r: (a, b)→E3

t→r(t) =x(t)i+y(t)j+z(t)k= (x(t), y(t), z(t)) ，

则其位置向量终点全体C= {(x(t), y(t), z(t))∈E3?t∈(a, b)} 称为E3中的一条C k类参数化曲线，简称参数曲线，并将t称为C的参数；C可用其向量形式的参数方程表示为r = r(t) , t∈(a, b) ，或写为分量形式的参数方程x=x(t)

y=y(t)

, t∈(a, b) ．

z=z(t)

参数曲线C上对应于参数值t的点是指向径r(t) =OP(t) 的终点P(t) ，即空间中的点 (x(t), y(t), z(t))∈E3，表示为实点P(t)或向量值r(t) 或参数值t．C0类参数曲线也称为连续曲线，C∞类参数曲线也称为光滑曲线．由于本课程之中微积分工具使用的广泛性，为简便起见，以后不声明时在局部总考虑 C3类参数曲线，并简称为曲线．

在数学分析或者解析几何课程中所接触到的曲线，要么其本身就是参数化的，要么总可以进行适当的局部参数化．

例１下列普通函数或函数组在相应的坐标系下的图像，按所给方式局部参数化为参数曲线．

①函数y= 1 ?x2在平面直角坐标系xOy下表示以原点为心的上半开单位圆周．若半开单位圆周用向量形式参数方程表示，在E3中可写为r(t) = (t, 1 ?t2 , 0) , t∈(?1, 1) ；

在E2中可写为

r(t) = (t, 1 ?t2 ) , t∈(?1, 1) ；

在E2中也可写为

r(θ) = (cosθ , sinθ ) , θ∈(0, π) ．

②在E3直角坐标系O-xyz下，圆柱面 (x? 1)2+y2= 1 与球面x2+y2 +z2= 4 的交线的上半叶可参数化为

r(θ) = (1 + cosθ , sinθ , 2 ? 2cosθ ) , θ∈(0, 2π) ． □二．正则曲线

参数曲线的行为的复杂性需要得到注意．对所考虑的曲线做出必要的限制是合理的．

定义１给定参数曲线C: r=r(t) , t∈(a, b) ．若r′(t0)=0，则称t=t0的对应点r(t0) 为C的一个奇（异）点；若r′(t0)≠0，则称t=t0的对应点r(t0) 为C的一个正则点．若C之上点点正则，则称C为正则曲线，并称参数t为正则参数．

视参数曲线为动点轨迹，正则点的几何意义则是当参数在该点处作微小变动时动点的位置同时作真正的变动．

例２若参数曲线C: r=r(t) ≡a= const. , t∈R，则其几何图形仅仅表示一点，而不是正常的曲线；此时所有的参数值对应于图形实体的同一点．这是非正则曲线的极端例子．

例３圆柱螺线视为动点的轨迹，通常参数化为

r(t) = (a cos (ωt) , a sin (ωt) , v t ) , t∈R，

其中三个常数a> 0 , ω≠ 0 和v≠ 0 分别为动点运动的圆周半径、角速率和向上速率．此时

r′(t) = (?aω sin(ωt) , aω cos(ωt) , v) ≠0，

说明该参数化使之成为正则曲线．

例４ 半立方抛物线光滑参数

化为

r (t ) = (t 3 , t 2 , 0) , t ∈R ，

则

r ′(t ) = (3t 2 , 2t , 0) ，

故此时其奇点有且仅有一个：r (0) ．

例５ 按定义直接计算导向量，易知例１中的各条参数曲线都是正则的．但单位圆周具有存在奇点的下列参数化：

r (t ) = (cos t 2 , sin t 2 , 0) , t ∈R ． □

一般地，存在奇点的参数曲线在奇点附近的性质需要单独加以讨论，且奇点若对应于参数的一个区间则等价于对应参数的一个点；而对于连续可微参数曲线，正则点附近总存在较小弧段使正则性得到满足，这是由于导向量函数的模长具有连续性．因此，将曲线论的局部基本理论建立在正则曲线之上是具有一般性的，因为正则曲线足以作为曲线局部的主体．

正则曲线的意义还在于能够方

便地确定曲线的所谓切线．设曲线

C : r = r (t ) , t ∈(a , b ) 正则，考虑过点

r (t 0) 和 r (t 0 + Δt ) 的割线当 Δt → 0 时

的极限位置，亦即切线的位置．由

于点r (t 0) 处的导向量定义为

(t 0)] 图2-2 r ′(t 0) = d r d t (t 0) = lim Δt →0 r (t 0+Δt ) ? r (t 0) Δt , 而正则性保证 r ′(t 0) ≠ 0 ，故曲线 C 在切点 r (t 0) 处的切线的方向向量确定为 r ′(t 0) ，该切线的向量形式参数方程为：向径 f (u ) = r (t 0) + u r ′(t 0) , u ∈R ．

定义２ 称单位切向量 r ′(t 0) |r ′(t 0)|

为正则曲线 C : r = r (t ) 在切点 r (t 0) 处的单位切向，记为 T (t 0) ；称单位切向的指向为正则曲线的正向．

正则曲线的正向即为当参数增加时位置向量终点的走向．因此，正则曲线是一种标示了方向的曲线，即有向曲线．

例６半径为a > 0 的圆周参数化为r(t) = (a cos t , a sin t , 0) , t∈R，则其单位切向计算过程为

r′(t) = (?a sin t , a cos t , 0) ，

|r′(t)|=a，

r′(t)

|r′(t)|

= (?sin t , cos t , 0) ．

此时，其正向为xOy坐标平面上的逆时针方向．参数曲线r*(t*) = (a cos t*, ?a sin t*, 0) , t*∈R是半径为a > 0 的圆周的另外一个参数化，其正向为xOy 坐标平面上的顺时针方向，与前者恰好相反．令函数t=t(t*) =?t* ，则上述两种参数化的关系用复合函数关系表达为r*(t*) =r(?t*) =r(t(t*))．使用自变量代换的语言来说，上述关系实质上是一种参数变换． □定义３给定正则曲线C: r=r(t) ，若参数变换t=t(u) 满足

① t(u) 是 C3阶的；

② t′(u) 处处非零，

则称之为容许参数变换；且当t′(u) > 0 时称之为保向的，当t′(u) < 0 时称之为反向的．

容许参数变换只有保向或反向两种；这只要注意到t′(u) 处处非零蕴含着恒正或恒负即得．容许参数变换保持正则性和可微性不变；这只要注意

到复合求导关系d r(t(u))

d u=

d r

d t (t(u))

d t

d u即得．

例6中所给定的参数变换是容许的反向参数变换．例6与例5的参数化之间不存在容许的参数变换．

三．曲线的等价

从前面的讨论可知，参数曲线所对应的曲线点集实体可以进行各种不同的参数化；换句话说，一个曲线点集实体允许存在许多种参数化的方式，不同的参数表示之间对应有参数变换．注意，曲线实体的几何属性是不依赖于其参数化的方式的，当然也不依赖于空间直角坐标系的选取．因而，不仅认为两个合同的曲线实体是同一曲线实体的不同位置表现形式，还可以对参数曲线进行适当的分类，使得表示同一曲线实体的不同参数曲线是等价的．对于正则曲线，这种等价分类是容易界定的．若两条正则曲线之间仅仅相差一个容许的参数变换，则它们表示同一个几何实体；此时，称这两条正则曲线是相同的正则曲线．也就是说，相同的正则曲线实际上是指正则曲线的一种等价类，相应的等价关系为相差一个容许的参数

变换．类似地，若两条正则曲线之间仅仅相差一个保向的容许参数变换，则称这两条正则曲线是相同的有向正则曲线；若两条正则曲线之间仅仅相差一个反向的容许参数变换，则称这两条正则曲线是方向相反的有向正则曲线．

有向正则曲线的单位切向对于每一个参数值都是唯一确定的，相应的切线或有向切线也有意义；而对于曲线实体，其切线行为并没有如此简单．观察下例．

例７ E 3中的参数曲线 C : r (t ) = (sin3t cos t ,

sin3t sin t , 0) , t ∈R 的点集实体是平面上的一条三叶玫瑰线．在参数的一个最小正周期 [0, π) 内，

三个参数值 t = 0 , π 3 , 2π 3 对应于曲线实体上的同

一个点 O ．点 O 处的有向切线有三条，直接计算

可知对应的三个单位切向分别为T (0) = (1 , 0 , 0) , T (π 3 ) = ( ?1 2 , ? 3 2 , 0) , T (2π 3 ) = ( ?1 2 , 3 2 , 0) ．

图2-3

定义4 若 E 3 中的一条参数曲线 C : r = r (t ) 在定义域开区间之上为单值映射，则称 C 是简单的或是不自相交的；否则称 C 是自相交的．

对参数曲线而言，在任意一个正则点附近（即存在相应参数值的一个在该点处的小邻域）对应于一小段简单正则曲线；这由r ′(t ) 的连续性以及具有非零导函数的普通函数的局部单调性即可得证．因而，关于局部性质的讨论只需要关心简单的正则曲线即可；从这个意义上说，象自相交这种性质是曲线的大范围性质，也就是整体性质．曲线的整体概念和整体性质将留待在第七章和第八章中进行较为深入的讨论．

约定：在以后讨论局部性质的各节中，不声明时总考虑正则曲线和容许参数变换，并分别简称为曲线和参数变换．

下例采用的不同证法分别属于微分解析几何和初等解析几何，具有不同的几何或代数意义，同时在方法上也具有不同的一般性．为了提高空间想象能力并加强对几何概念的直观理解，应该注意体会微分几何证法中所涉及的几何意义；也可以进一步思考方法上的一般性．

例８试证参数曲线C: r(t) = (?2 + sin t , t2+ 2 , t2? 1 + 2sin t ) , t∈R是一条平面曲线．

证法①：〔想法：任取两点处的切向，如不平行则可先验确定平面法向，再反验〕 由已知参数方程，求导得

r′(t) = (cos t , 2t , 2t+ 2cos t ) ．

取特殊值计算得

r′(0) =

r′(π) = (?

r(0) = (?

又

r′(0)×r′(π)

= (?4π , ?2π

记l= (?2 , ?1 , 1)

[r(t) ?r(0)]

=?2sin t?t2

此即说明参数曲线C

证法②：〔〕

r′(t) = (cos t

r″(t) = (?sin

∴ r′(t)×r″(t) =

〔以下同证法①，略〕 □

证法③：〔想法：利用三点位置可先验确定平面法向，再反验〕 由已知参数方程，取特殊值计算分别得

r(0) = (?2 , 2 , ?1) ，

r(π) = (?2 , π2 + 2 , π2? 1) ，

r(π

2 ) = (?1 , π2

4 + 2 , π2

4 + 1) ．

∴ r(π) ?r(0) = (0 , π2 , π2) =π2 (0 , 1 , 1) ，

r(π

2 ) ?r(0) = (1 , π2

4 , π2

4 + 2) ．取

l=r(π) ?r(0)

π2

×[ r(

π

2 ) ?r(0)] = (0 , 1 , 1)×(1 ,

π2

4 ,

π2

4 + 2)

= (0 , 1 , 1)×(1 , 0 , 2) = (2 , 1 , ?1) ，

则…〔以下同证法①，略〕 □

证法④：〔想法：消参，归结为确定所在平面的一般方程；具体步骤略．〕 □

习 题

⒈在E2直角坐标系O-xy下，光滑函数y=f(x) 的图像形成曲线实体．试分别在E2和

E3中用向量形式参数方程将其表示出来，使其形成光滑的正则曲线．

⒉在E2直角坐标系O-xy下已知曲线的极坐标方程ρ =ρ(θ)．试在E3中用向量形式

参数方程将其表示为以θ为参数的参数曲线，并确定该曲线的正则点和奇点．

⒊在E3直角坐标系O-xyz下，已知光滑函数组f(x , y , z) 和g(x , y , z) 的 Jacobi 矩阵

满秩．试证：由方程组{f(x , y , z) = 0

g(x , y , z) = 0

所确定的曲线实体总可局部正则参数化．⒋证明：曲线r(t) = (3t , 3t2, 2t3) 是光滑的正则曲线，并且其单位切向与某个确定的方

向夹固定角．

⒌试求曲线r(t) = (t , t2, sin2t) 的切于原点的切线．

⒍设正则曲线C: r=r(t) 落在以原点为心的单位球面上，试证其切线总垂直于向径．

⒎设正则曲线C: r=r(t) 不通过原点，且其上各点到原点的距离可以取到最小值

|r(t0)|．试证：r(t0)⊥r′(t0) ．

⒏试确定保向容许参数变换s=s(t) 使正则曲线C: r=r(t) 的单位切向T=d r

d s．

⒐设正则曲线C: r=r(t) 的单位切向为常向量．试证C为直线（或直线段）．

⒑ 设正则曲线C: r=r(t) 的切向正交于非零常向量l．试证C为一条平面曲线． ⒒ 设平面正则曲线C: r=r(t) 与同一平面上的一条直线l有交点，且C上各点落在l 的同一侧．试证l为C的一条切线．