二次指数平滑 数理统计法 定量分析 综合评价模型

摘要

本文通过对数据建立数学建模竞赛的预测模型和定量评估模型，并对夏季运动会进行了评价。通过历届夏季奥运会的运动员人数等相关数据，运用二次指数平滑预测法建立了人数预测的数学模型；另外，竞赛项目的普及程度、流行程度和财政收入情况，能够在一定程度上反映各竞赛项目的全球影响力水平，即采用数理统计法进行研究，选取此3项一级指标和14项二级指标进行统计学分析，对夏季奥运会竞赛项目的全球影响力进行综合评估、对比和档次的划分，并作合理化建议。

针对问题一，运用二次指数平滑预测法建立了预测函数：

212121ˆ156093360T y

a b T T +=+=+

对函数进行合理的运算和证明，所得到的结果为18969人，误差预测结果为

0.3178，说明模型的拟程度很好。

对于问题二，运用综合评价的思想，定义指标函数：

12341

n

i

i P

P P P P ==+++∑

根据全球影响力总分的百分位数划分出4个档次，对各档次项目的全球影响力进行定量评估，并提出合理化建议。

关键字：二次指数平滑 数理统计法 定量分析 综合评价模型

一、问题重述

奥林匹克运动是人类社会的一个罕见的杰作，它将体育运动的多种功能发挥得淋漓尽致，影响力远远超出了体育的范畴。请搜集参加历届夏季奥运会的运动员人数等数据，试着探讨以下问题：

（1）建立数学模型，预测2012年第30届伦敦奥运会参赛运动员人数。 （2）定量评价夏季奥运会，并提出合理化建议。

二、问题分析

本题目主要研究奥运会参赛运动员的人数，以及通过已有的数据对夏季奥运会竞赛项目全球影响力进行定量分析，进而对其影响力和发展前景提出合理化建议。

问题一：是建立模型预测2012年第30届伦敦奥运会参赛运动员人数，属于预测分析的问题，并通过简单的分析可知，每届参赛的数量呈明显上升趋势，所以该问题可采用时间序列预测中的二次指数平滑预测法建立模型，以参赛人数为研究对象，对数据整理后，运用二次多项式对数据进行拟合预测。

问题二：是对夏季奥运会进行定量评估，主要采用数理统计法进行研究，选取国际奥委会项目委员会上所作报告中的3项一级指标（竞赛项目普及度、流行度、财政收入)，14项二级指标作为各竞赛项目全球影响力评估分析的依据。并应用SPSS 软件对选取指标的数据分布情况进行分析，发现所选取的数据多数不服从正态分布，因此，采用位置百分法进行数据计算。

其次，应用位置百分法对14项二级指标进行排序（奥运会奖牌分布百分比标准差为低优指标，其他指标均为高优指标），计算出各竞赛项目单项指标在28个项目中所处位置的百分比，并将该百分比作为位置百分P 。

100

m P n =

⨯

（P 为位置百分，n 为样本含量，m 为某一成绩的位置）

最后，计算各竞赛项目14项指标的总分，即竞赛项目全球影响力总分。根据全球影响力总分的百分位数划分出4个档次，对各档次项目的全球影响力进行说明，并提出合理化建议。 竞赛项目全球影响力评估分值可以表示为：

12341

n

i

i P

P P P P ==+++∑

三、模型假设

1. 假设各项数据真实可靠； 2．假设问题属于线性问题； 3．假设数据具有可预测性。

四、定义与符号说明

)

1(t

S 表示第t 期的一次指数平滑值； )

2(t

S 表示第t 期的二次指数平滑值；

t

y 表示第t 期实际值； T t y

+ˆ表示第T t +期预测值；

α表示平滑系数。

五、模型的建立与求解

问题一：比赛人数的预测

模型一：二次指数平滑预测法建立模型

由于问题一属于时间序列呈线性增长趋势情况下的短期预测，通过二次指数平滑预测法得到以下公式：

⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=+=+T b a y S S S S y S t t T t t t t t t t ˆ)1()1()

2(1)1()2()

1(1)1(αααα

（1.1） 其中：)2()1(2t t t S S a -= （1.2）

)(1)

2()

1(t

t

t S S b --=

α

α

(1.3)

指数平滑法平滑值的计算还需给出一个初值

)

1(0

S ，可取原时间序列的第一项或前

几项的算术平均值为初值。

此外，平滑系数α的取值对预测值的影响是很大的，因此，若用指数平滑法进行预测的话，α得取值将非常关键。一般是根据经验而定的，当时间序列数据是水平型的发展趋势类型，α可取较小的值，在0—0.3之间；当时间序列序列数据时上升或下降的发展趋势类型，α应取较大的值，在0.6-1之间，在进行实际预测时，可选不同的α值进行比较，从中选择一个比较合适的α值。根据题目，我们选择0.7为α值

预测标准误差为：

2

)

ˆˆ(

1

2

--=

∑

=n y y y S n

t t t t （1.4）

利用公式（1.1）（1.2）（1.3）对数据进行处理（其中将第一届设为时间1，其他年份以此类推为2、3……），得到数据表1

表1

时

间t 届数人数

t

y

一次指

数平滑

)1(

t

S

二次指数

平滑)2(

t

S

预测结

果

t

yˆ

t

t

t

y

y

y

ˆ

ˆ

-

2

)

ˆ

ˆ

(

t

t

t

y

y

y-

1 一331 331 331 0 0

2 三689 769 769 158

3 -0.564640465 0.318818855

3 七2669 2552 2390 3169 -0.157909483 0.024935405

4 九3014 2989 2923 3470 -0.131371631 0.017258505

5 十1408 1882 2194 3210 -0.561305198 0.315063525

6 十四4099 3893 3639 462

7 -0.114188492 0.013039012

7 十五4025 3985 3881 4739 -0.150701858 0.02271105

8 十六3184 3424 3561 4332 -0.264999329 0.070224644

9 十七5348 4771 4408 2968 0.802188793 0.64350686

10 十八5140 5029 4843 5980 -0.140523474 0.019746847

11 十九5530 5380 5219 5650 -0.021321285 0.000454597

12 二十7123 6600 6186 5917 0.203890584 0.04157137

13 二十一6028 6200 6195 7981 -0.244739071 0.059897213

14 二十二5217 5512 5717 6214 -0.16038741 0.025724121

15 二十三6797 6411 6203 4828 0.407786548 0.166289869

16 二十四8465 7849 7355 7106 0.191247533 0.036575619

17 二十五9367 8912 8445 9495 -0.013459406 0.000181156

18 二十六10318 9896 9461 10468 -0.014328156 0.000205296

19 二十七10651 10425 10135 11347 -0.061378388 0.003767306

20 二十八11099 10897 10668 11388 -0.025411445 0.000645742

21 二十九16000 14469 13329 11658 0.372453615 0.138721695 ∑

1.919338686