图乘法

B
c
y c
ql 2 / 2
ql 2 / 8
例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。 q ql 2 / 8 ql 2 / 2
MP
A
l/2 C
1
q q
l/2
B
l/2
Mi
c
y c
C ql / 2 ql 2 / 8
ql 2 / 8 ql 2 / 4 ql 2 / 8
ql / 2
三、图乘法小结
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线； （3）
P
y c 应取自直线图中。
P
2. 若 A 与 y c 在杆件的同侧，A 反之，取负值。
yc
取正值；
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
三、应用举例
例 1. 已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 CD。
1 1 对称弯矩图 1 1
l
Mi
1
Mi
l
l
1
作变形草图
绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意 反弯点的利用。如：
Pl
P
P
1
1
1 1
练习
求B点水平位移。
4 EI
Pl
l
l
EI A
MP
EI
B P
Mi
1
l 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
yc
注意:各杆刚度 可能不同
1 1 2 1 B Pl l l 2 Pl l l EI EI 2 3 4 EI 5 Pl 3 () 8 EI
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
§4-5 图乘法：（Graph Multiplication）
几种常见简单图形的图乘 1、两个梯形：
1 1 MM P dx EI EI

M ( M Pa M Pb )dx
图

1 EI

M M Pa dx M M Pb dx
A
ql 2 / 4
ql / 4
MP
l/2
Mi
l
l
1/ 2
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
1 1 ql 2 2 l 1 ql 2 2 l 2 ql 2 1 l CD ( l 2l 2l ) EI EI 2 4 3 2 2 4 3 2 3 8 2 2 2 2 ql 4 ( ) 48 EI EI
图乘法的 适用条件是 什么?
AP yc EI
tan 1 AP xc AP yc EI EI

§4-5 图乘法：（Graph Multiplication）
注意事项： 1.图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆； c）两个弯矩图至少有一个是直线。 三个条件必须同时成立。分段满足，则分段图乘。
yc
三、应用举例
例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
ql 2 / 2
MP
q ql 2 / 8
A
l/2 C
l/2
Mi
ql 2 / 2
EI l/2 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( 1 EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 1 l ql 2 1 l C ) q 2 2 8 3 2 2 ql / 8 17 ql 4 () 384 EI ql 2 / 32
例. 试求图示梁B端转角.
A
P
B B
MP
A
M 1 B 1
Mi
EI
l/2 l/2 Pl / 4
解: B

MM P EI ds
y c
EI 1 1 Pl 1 l EI 2 4 2 1 Pl 2 ( ) 16 EI
为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结 果为正?
例. 试求图示结构B点竖向位移.
B
3l / 4 q
EI
MP
C
l/4 q
ql 2 / 8 3l / 4 l/4 P 1
Mi
q(3l / 4) 2 / 8 3ql 2 / 32
q(l / 4) 2 / 8 3ql 2 / 32
3l / 16 1 2 3l q (3l / 4) 2 1 3l 1 3l 3ql 2 2 3l B ( EI 3 4 8 2 16 2 4 32 3 16 2 l q (l / 4) 2 1 3l 1 l 3ql 2 2 3l 19 ql 4 ) () 3 4 8 2 16 2 4 32 3 16 4048 EI
1
Mi
1/ 2 2 / 3
1 1 2 B ( 10 20 EI 2 3 1 500 10 20 ) ( ) 2 3EI
当两个图形均 为直线图形时,取那 个图形的面积均可.
三、图形分解
求 B
A
MP
P EI
l/2
Pl / 4 l/2
B
1 1 l 1 2 Pl B ( EI 2 2 2 3 4 能用 Mi图面积乘 l l 1 Pl 1 l 1 1 Pl MP图竖标吗? ) 2 2 2 4 2 2 2 3 4 Pl 2 ( ) 16 EI
Pl
EI
l
P B
l
Mi
1
EI
MP
l
解: By
MM P EI ds
AP yc EI 1 1 2 ( Pl l l Pl l l ) EI 2 3 4 Pl 3 () 3 EI
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A
1 2 ql 8 1 2
A
B
h
q
2
q
ql / 8
MP
1
1
h h
Mi
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 yc 1 2 ql 2 CD lh EI EI 3 8 qhl 3 ( ) 12 EI
三、应用举例
例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C 。 l q
A
C
1
1
Mi
1/ 2
1 1 Pl 1 Pl 2 B ( l ) ( EI 2 4 2 16 EI
)
取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.
三、图形分解
求 B
A
MP
60
20
40 B
20
EI
20kN m 40kN m 10 m
1
Mi
wenku.baidu.com
1 1 2 B ( 10 60 EI 2 3 1 100 20 10 ) ( ) 2 EI
若a、b或c、d不在基线同一侧，处理同上：
其中：
2 1 ya c d 3 3
2 1 yb d c 3 3
l ac bd (a b)(c d ) 6 EI
§7-5 图乘法：（Graph Multiplication） 2.曲线（均布荷载作用的区段）和直线相乘：
1
B
MP 图
M
图
解:
1 2 1 2 1 B [( l ql ) ] EI 3 8 2 1 ql 3 （ ） 24 EI
三、图形分解
求 B
MP
20
A
B
20kN m
20 A
40 B
EI
20kN m 10 m40kN m
A
40 B 40kN m
1
Mi
1/ 3
2/3
EI 1 1 l ql 2 3 l 1 l ql 2 2 l ( EI 3 2 8 4 2 2 2 4 3 2 l ql 2 1 l ) 2 8 2 2 17 ql 4 () 384 EI
ql 2 / 8
练习
图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI AB 其反对称弯矩图图乘,结果 1 1 为零. 2 MP ( l Pl l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl 3 1 () 1 l 3 EI yc yc Mi 0 AB 0 ABX EI EI
ql 2 / 8
1
Mi
ql 2 4
1 2 ql 1 1 ql 2 B ( l l 1) EI 3 8 2 2 4 3 3 ql ( ) 24 EI
2
2
q
三、图形分解
求C截面竖向位移 C
q
A
3ql 2 / 32
3ql 2 / 32 3ql 2 / 32 q
一、图乘法
(对于等 截面杆) 图乘法是Vereshagin于

( M x tan ) 的学生。 1 x tan M P dx EI tan
EI xM P dx
1 M1925年提出的，他当时 M P dx (对于直杆) 为莫斯科铁路运输学院 EI
图乘法求位移公式为:
图 图
例：求梁B点转角位移。
例：求梁B点竖向线位移。
P
A
ql2/2
B
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
EI Pl/4
MP
q B
l/2
l/2
MP
A
l
m=1
l 3l/4
M
P=1
1/2
M
1 1 Pl 1 Pl 2 B l EI 2 4 2 16 EI
1 1 ql 2 3 ql 4 B l l EI 3 2 4 8EI
1 M M P dx EI l ac bd (a b)(c d ) 6 EI 1 2 1 2 1 l ql [ (c d )] EI 3 8 2
图 图
l ac bd (a b)(c d ) 6 EI
ql 3 (c d ) 24 EI
40 20
1 1 2 B 10 1 (60 20 ) EI 2 3 100 ( ) EI
1 1 2 B ( 10 60 EI 2 3 1 100 20 10 ) ( ) 2 EI
三、图形分解
求 B
q
MP
q
A
B
ql / 8
l
2
EI
ql 2 / 4
1 1
B
Mi
l
ql / 4
2
l
ql 2 / 4
1/ l
0 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP
ql / 4
1 2 ql 2 1 CD EI EI 3 8 2 ql 3 ql / 4 ( ) 24 EI
yc
三、应用举例
例 3. 已知 EI 为常数，求A点竖向位移 A 。 1 q q l
yc
三、应用举例
例 4. 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。
ql 2 / 2
MP
q ql 2 / 8
A
c
y c
l/2 C l/2
1
C
B
1 1 ql 2 1 l l EI EI 3 2 2 2
l/2
Mi
1 ql 3 () 24 EI
1 1 3ql 2 l 3 l l ql 2 l C ( ) EI EI 3 8 2 4 2 2 8 4 5ql 3 ( ) 128 EI
nEI
求 A
EI 分成两段
• 2、∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。 • 3、竖标yc取在直线图形中，对应另一图形的形 心处。 • 4、面积AP与竖标yc在杆的同侧， AP yc 取正号， 否则取负号。 • 当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： • a)曲杆或EI=EI(x)时，只能采用积分法求位移 • b)当EI分段为常数或单位弯矩图、Mp分段为 直线时，应分段图乘再叠加
§4.5 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
刚架与梁的位移计算公式为：
MM P dx EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
MM P EI dx 1 MM Pdx EI
1 1 2 B ( 10 40 EI 2 3 1 1 500 10 20 ) ( ) 2 3 3EI
三、图形分解
求 B
MP
20 A
40 B
EI
20kN m 10 m40kN m
1 1 B 10 1 (20 EI 2 2 500 20 ) ( ) 3 3EI

图
1 al bl y a yb EI 2 2 l ac bd (a b)(c d ) bEI
1 2 2 1 y 其中：a 3 c 3 d , yb 3 c 3 d
§4-5 图乘法：（Graph Multiplication）