正方形的定义和性质

八年级下数学导学稿

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18.2.3 正方形的定义和性质

一、学习目标

1.掌握正方形的概念，理解它具有矩形和菱形一切性质，并会应用它们计算和证明。

2.掌握正方形、矩形和菱形间的概念、性质的区别和联系。

3.学会用正方形的性质解决一些问题，进一步发展学生的推理能力。

二、学习重点、难点

1．学习重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的性质的联系．

2．学习难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质的灵活运用．

三、学习过程

(一)知识回顾

1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．

学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？

2.分别说说平行四边形、矩形、菱形的定义和性质。

(二)自主学习

(1).正方形有什么特点？它是矩形吗？它是菱形吗？

(2).正方形和矩形、菱形相比有什么特殊的地方?

(3).正方形如何定义？它有什么性质？

(4).命题的证明包括几个步骤？

(三) 创设情景一

创设情景二

(四)正方形的定义

四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系用图如何表达?

(五)正方形有什么性质？

它是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形

由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

学生分组讨论，得出正方形的性质

(六)、例习题分析

例1（教材P111的例4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．

求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．

例2（补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G， DG 交OA于F．

求证：OE=OF．

分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．

证明：∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．

又DG⊥AE，∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．

∴∠EAO=∠FDO．

∴△AEO ≌△DFO．

∴ OE=OF．

四、尝试练习

1、正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )

A、四个角相等.

B、对角线互相垂直平分

C、对角互补.

D、对角线相等.

2、正方形具有而菱形不一定具有的性质（）

A、四条边相等.

B、对角线互相垂直平分.

C、对角线平分一组对角.

D、对角线相等.

3.一个正方形的面积等于8，则其对角线的长为

4、正方形对角线长6______ ，则它的面积为 _____ ，周长为 ____ 。

5、正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAC 交BD 于E ，则DE 的长为

五、课堂小结:本节课你学到了什么?

六、课堂检测

1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．

2．下列说法是否正确，并说明理由．

①对角线相等的菱形是正方形；（ ）

②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）

③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）

④四条边都相等的四边形是正方形；（ ）

⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）

3.已知：如图，四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别

为CD 、CB 延长线上的点，且DE ＝BF ．

求证：∠AFE ＝∠AEF ．

4．如图，E 为正方形ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角

形，

求∠EAD 与∠ECD 的度数． 七、课后练习

1．已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且DE=BF ． 求证：EA ⊥AF ．

A B C D E

F

2．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．