导数的概念 导数与微分

C D E B
CE (0.5) 2 (0.3) 2 0.4，CD=0.4-x
动力线总长
2
AD BD x 2 (0.3) 2
l 2 x 2 (0.3) 2 0.4 x
2
2 2x 2 x x 2 0.09 令 l [2 x (0.3) 0.4 x ] 1 0 2 2 2 x 0.09 x 0.09
应注意的几个问题
1.在运动问题中，求出的速度v为正，表示正向运 动；v为负，表示反向运动。 2. 函数f(x)在极值点x0处不一定可导。如图：
y y
x0
x
x0
x
3.在开区间内连续的函数不一定有最大值或最小值。
4.直线与曲线相切，直线与切线的公共点可能不止 一个。
参 考 例 题
例1.求曲线 y 5 x 上与直线y=2x-4平行的切线方程 。 解：设所求切线过曲线 y 5 x 上的x0点，由 y 5 x 得
3 3
A. 2 B. 1 C. 2 3 3 D. 0
5.下列结论：
①极值点所对应的曲线上的点如果有切线，则一定是水平的； ②任何二次函数有唯一的极值点； ③任何三次函数有两个极值点； ④函数f(x)在[a,b]上的最大值就是函数f(x)在[a,b]上的最大 的极大值 其中正确的是 （ A）
A. ①②
内 容 提 要
导数的概念及其意义
求导数的方法
微分的概念及其意义
导数的应用
函数y=f(x)的导数 f ( x ) ，就是当 △x→0时函数的增量△y与自变量的增量 y 在某个区间内可导时，如果 1.当函数y=f(x) △x的比 的极限，即 x f) (x )x f ( x ) 0, 则f(x)为增函数；如果 y f ( x x f( ) 0, f ( x) lim lim x 0 x x 0 x 1.常用的导数公式如下： 则f(x)为减函数。 n n1 (x x ) nx (n Q); C 0(函数 C为常数） y=f(x)在点 处的导数的几何意义， 0 2.设函数 f(x) 在x0附近有定义，如果对 x0附近所 就是曲线 y=f(x) 在点P（x0,f(x ) ）处的切线 0 (sin x ) cos x; (cos x ) sin x 有的点，都有 的斜率 x x x 物体位移函数 (a ) a ln a s( t＞ )对于时间 t 的导数， f(x) f(x ) ） (e )＜ f(x e x0) , （或f(x) 0 就是物体运动的速度。 函数 y=f(x) 的微分是 1 我们就说 f(x 的一个极大值（或极小 1 0)是函数f(x) (log x ) loga e. (ln x) dy f ( x )dx a x 值）。 x 可导函数 f(x) 在极值点处的导数为 0。 2.导数的运算法则： 函数的增量△ y 可以用 y的微分近似表示，即 如果函数f(x)在点x0处连续，且在点 x uv uv 0处两侧 uv ) y (f (u vy ) dy u 或 v ( x )dx 的导数异号，那么点x0是函数 f(x) 的极值点。 u f(x)在 u[a,b] v uv 3.函数 上的最大值与最小值的求法： ( ) （1 ）求f(x)在 v v 2(a,b)内的极值； y y u比较，其 （2）将f(x)的各极值与 ， x f(a) u f(b) x 3.复合函数的导数： 中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
第三章
导数与微分
2014年6月20日星期五
学 习 目 标
（1）了解导数概念的某些实际背景；掌握函数在一点 处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概 念。 （2）熟记函数C、xn（其中n为有理数）,sinx,cosx, ex,ax,lnx,logax的导数公式；掌握两个函数四则运算 的求导法则和复合函数的求导法则，会求简单的初等 函数的导数。 （3）掌握微分的概念，理解函数在一点处的微分是函 数增量的线性近似值，会求简单的初等函数的微分。 （4）会从几何直观了解可微函数的单调性与其导数的 关系；掌握函数极值的定义，了解可微函数的极值点 的必要条件和充分条件；会求一些实际问题的最大值 与最小值。
B. ②③
C. ③④
D. ①④
布置作业
第145页 复习参考题A组13、14、15题
（A）
2.
函数y a 的导数是
A. a -x B. -a -x ln a C. a -x ln a
x
（ B）
D. a x ln a
3.
f ( x) 0是可导函数 f ( x )单调递增的
（ B）
A.必要不充分条件 C.充分且必要条件
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 若f ( x ) a sin x 1 sin 3 x在x 处有极值，那么 a （ A）
即 2 x x 0.09 0, 求得唯一的极值点
2
3 x 0.17 10
答：D点选在距AB 0.17km处时，动力线最短。
做 练 习
f ( x0 k ) f ( x0 ) 1. 若f ( x0 ) 2, 则 lim 等于 k 0 2k 1 A. - 1 B. - 2 C. 1 D. 2
y | x x0 5 2 x0
因为所求切线与直线y=2x-4平行，而直线y=2x-4 的斜率是2，所以
5 2 x0 2
25 x0 16
25 y0 4
25 25 y 2( x ), 4 16
பைடு நூலகம்
因此，所求切线方程为 即 16x-8y+25=0
例2.如图，两个工厂A、B相距0.6km， 变电站C距A、B都是0.5km计划铺设 动力线，先由C沿AB的垂线至D，再 与A、B相连，D点选在何处时，动力 A 线最短？ 解：设CD⊥AB，垂足为E，DE的长为xkm. 由AB=0.6，AC=BC=0.5，得 AE=EB=0.3，