《固体物理学》房晓勇-思考题05第五章 金属电子论基础

5.1 自由电子模型的基态费米能和激发态费米能的物理意义是什么？费米能与那些因素有关？

解答：费米面上单电子态的能量称为费米能，表示电子由低到高填满能级时其最高能级的能量。基态费米能是指在T=0K 时的费米能。激发态费米能是指在T ≠0K 时的费米能。

费米能量与电子密度和温度有关。

5.2 金属电子气服从费米-狄拉克统计()/()11F B E E k T f E e -⎡⎤=+⎣⎦

，问函数f E ∂∂有什么特性？它对T ≠0K 时电子按能级的分布以及电子态在k 空间的分布有何影响？

解答：()//()1111F B F B E E k T E E k T B f E E k T e e ---∂-=∂⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦

这个函数的特点是它的值集中于F E 附近B k T 的范围内，即具有类似于δ函数的特性征，并且是()F E E -的偶函数。

5.3 何为费米面？金属电子气模型的费米面是何形状？

解答：本教材：在k 空间将占据态与未占据态分开的界面称为费米面。

黄昆教材：k 空间占有电子与不占有电子区域的分界面称为费米面。

金属电子气模型的费米面是球形。

5.4 说明为什么只有费米面附近的电子才对比热、电导和热导有贡献？

解答：本质是，对比热、电导和热导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子，只有费米面附近的电子才能从外界获得能量发生能态跃迁。

如对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子，能态能够发生变化的电子仅是费米面附近的电子，因为，在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上。只有费米面附近的电子吸收声子后能跃迁到费米面附近或以外的空状态上。 对电导，考虑到泡利不相容原理的限制，只有费米面附近的电子才有可能在外电场作用下，进入较高能级，因而才会对金属电导率有贡献。而对于能量比费米能级低得多的电子，由于它附近的能态已经被占据，没有可以接受它设为空态，所以这些电子不可能从外场获得能量而改变其状态，因而它们并不参与导电。 热导与电导相似，

5.5自由电子气的许多性质与费米波矢有关，试列举或导出下列参数与费米波矢的关系：

（1）绝对零度时时的费米能量；

（2）电子数密度：

（3）金属电子气的总能量；

（4）与费米能级对应的能态密度；

（5）电子比热。

解答：（1）根据《固体物理学》式5-19，绝对零度时时的费米能量220

2F F

k E m = （2）根据《固体物理学》式5-18，电子数密度32

3F k n π=

（3）根据《固体物理学》式5-23，金属电子气的总能量250

210F k V E m π= （4）根据《固体物理学》式5-17和式5-19，与费米能级对应的能态密度 ()1/23/23/2221/22222221212222F F k m m m g E E k m πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（5）根据《固体物理学》式5-44、5-45、5-19和式5-22，电子比热

22

2222222222e V B F F F B F B ZR ZR ZR mZR c T T T T k T k T E k k k m

ππππγ===== 5.6试叙述金属电阻与温度的关系，并说明原因。

解答：金属的电阻率是由于金属中的散射中心对电子气的散射形成的。散射中心包括两类：一是金属中的杂质和缺陷，对电子的散射所形成的电阻率，称为金属电阻率，与温度无关；二是晶格振动，由电子与声子的散射引起的电阻率，称为本征电阻率，用l ρ表示，本征电阻率总的趋势是随着温度T 增加而增大，并且当0T →时，0l ρ→。当在高温段，l T ρ∝，在低温度段，5l T ρ∝。

1）在高温情况下，由于D T >>Θ关系，声子能量同费米能量具有相同的数量级，因此很容易发生能量的共振转移，在这样的情况下，本征电阻率l ρ同散射几率成正比，而散射几率又与声子数密度()n q 成正比，在D T >>Θ条件下， ()/1

111/1B B k T B k n q T e k T ωωω=≈

=-+- ， 因而l T ρ∝

2）在低温时，D T <<Θ，由于声子的能量一般远小于费米面附近的电子能量，因此不能发生能量的

共振转移，此时电子与声子之间的碰撞可以看做是弹性碰撞，电子的波矢k 因为受到散射而改变方向，变

为k ' ，但其大小保持不变，在这种碰撞中，电子动量的损失是电阻形成的原因。此时，本征电阻率l ρ不仅散射几率，即声子数密度()n q 成正比，还与每次散射中电子的动量损失p ∆成正比，

()l n q p ρ∝∆

因为2p T ∆∝，()3

n q T ∝ 所以5l T ρ∝

5.7 简述化学势的意义，它与费米能级满足什么样的关系。

解答：化学势的意义是：在体积不变的条件下，系统没增加一个电子所需要的自由能。在温度接近于

0时，化学势和费米能近似相等，即0

lim F T E μ→=。 5.8 什么是逸出功？在热电子发射问题中，逸出功与那些因素有关？

解答：将电子离开金属表面至少需要从外界得到的能量称为逸出功。

逸出功跟温度和晶体表面特性（如点整结构、杂质吸附等）有关。

5.9 什么是热电子效应？它是怎样形成的？当金属表面附近施加一高强度电场时，对热电子发射有何影响？

解答：在0T =时，所有电子能量不超过费米能量F E ，因此没有电子脱离金属；但是，当金属被加热到很高温度时，将有一部分电子获得的能量大于逸出功，从而脱离金属表面形成热电子发射电流，这种现象称为热电子效应。

5.10产生接触电势差的原因是什么？

解答：当两块不同的金属1和2相接触，或用导线连接时，两块金属将彼此带电并产生不同的电势1U 和

2U ，称为接触电势差。

接触电势差来源于两块金属的费米

能级不一样高。由于两块金属具有不同

的费米能级1F E 和2F E ，所以当两块金

属接触时，电子从费米能级较高的金属

1流到费米能级较低的金属2，而接触电

势差正好补偿了两块金属的费米能级差

1F E -2F E 。

当两块金属的费米能级达到相同时，电子的相互流动处于平衡状态。

5.11简述金属的霍尔效应和磁（电）阻效应。横向磁（电）阻变化与外磁场满足怎样的关系？

解答：当电流I 垂直于外磁场B 通过导体时，在导体的垂直于磁场和电流方向的两个端面之间会出现

电势差H U ，这一现象便是霍尔效应。在通有电流的金属或半导体上施加磁场时，电阻值将会发生改变的现象称为磁（电）阻效应。

金属在2B 可以忽略的情况下，横向磁阻为零；金属在2

B 不能忽略的情况下，横向磁阻的磁电阻率的相对变化与磁感应强度的平方成正比。《固体物理学》式5-102

5.12试说明维德曼-弗兰兹定律在低温下与实验结果不符的原因。

解答：在低温下，实验结果显示洛伦兹常数L 与温度有关。这是因为在热导和电导中电子的吃鱼过程不同：在电导问题中，电子在k 空间的分布发生整体移动，并在扩散平稳后形成一定的电流；而热导问题

中，电子在k 空间的的分布仍保持对称分布，只是数量相同而“冷”“热”不同的电子相向运动，进而形

成热流。因此，两种情况下的电子应有不同的驰豫时间，而在《固体物理学》导出式5-107中，是假设电