利息理论第二章年金部分习题参考答案

第二章 年金 部分习题参考答案 证明：

(1)(1)

(1)(1)(1)(1)

[]()

m n

n m m n m n m n v v v v v v i i

v v i i a a i i

⌝⌝----=---=⨯

--=⨯-=⨯- 证明：

n n n-t t n t t n t

t

t

t n

n

n

n

n

n n

t t t t t t t t t t t n n a S a a v a a v a =

a S v a v a v a v a i v a ia 1111v =====1v v a v iv a v v v

--+

=

+

----（1-）（1-）（1-）（1-）

6. 解：由公式m

n m+n m v

a =a a -得：

711187

7

7

v a =a a 7.036=9.180 5.153i i=

1=0.08299

---也即：（1+）

解得：

7. 设X 可取得的存款额为S,根据题意：

5

71212

0.08 0.081818712

1000(10.08)

1000(10.08)

100037.45024 1.0839169.84

S S S -=+=+=⨯⨯=

12. 解：根据题意，有

1010301030101000a 1000a v =a a v K K +-

又由于10v =1/2，则上式经整理得：

10

301010301010301010

30101111(1)

a -a v 10001-v -v (1v )5822111a +a v 1-v +v (1v )91(1)822

1800

K K ----====--+-=解得： 14. 设该永续年金每年支付R ，结合公式:

n n a =a v a ∞∞+

根据题意该永续年金为三人年金现值之和，即：

n n n a a Ra =R

v a 2

2

R

R ∞∞++

又由于三人所领取的年金现值相等，有:

n

n

n n n 1v a v 2=v a R =R 2i i v =1/3R R ∞- 即，所以， 19. 根据题意：

22i i 2

2

22222i i 2

2

2105105

i i 22105i

2

i 21051051000=1700011==171=t t t 17t 15=0f()t t 17t 15

escart t=f =-0.00117f S S S S t D ⨯++++++-++-+（）（）

（）（）

（）（）（）（）

（）（）-1+（）-1

则：令，上式经过整理为：令=根据规则，上式最多有两个正根，而1显然不符合实际，故排除。经过试算，（1.033），（1. 2=0.000989

00.00117 1.033542

0.0009890.00117

i =2t ==%

+⨯=+（）034）根据线性插值t=1.033+(1.034-1.033)因此，（-1）0.067083 6.7083

24. 设每月月末存入金额为R,利率调整后每月月末增加额为P,根据题意：

2222

122233101022111111331i =10%i /2=5%i

11

i=1=10.25%==210.102510.05...(1.1025 1.10251.1025...1v v v v v v R v v v -+++++++

++（）（）（）

解法（一）

解：根据题意，则半年期的实际利率为，一年期的实际利率则为：（1+

），设第一次存款额为R,令，，有

R （1+1.1025+1.1025+1.1025 1.1025）11111

11

12111

.1025)1100011000

1111 1.05 1.1025166.7560

v v v R R R -=+⨯=

=解得：2222

111

()i =10%i /2=5%i

i=1=10.25%2

i=k=0.10251110.1025;n V R -=⨯+（）（）（）

解法（二）：

解：根据题意，则半年期的实际利率为，一年期的实际利率则为（1+

），设第一次存款额为R

通过对题设的分析，发现某人在每年1月1日的投资正好构成一个首项为R,公比为1.1025的期初付年金的等比数列的积累值，而因为，

所以每年1月1日付款的等比年金积累值为：（）同211()12()()1111

711110.1025 1.05

11000,1110.10251110.1025 1.0511000

166.7560n n n V R V V R R R =⨯+⨯+=⨯++⨯+⨯==时，每年月日付年金的等比数列的积累值为（）根据题意，有即

（）（）解得：

26. 根据题意，按照单利计算的第二十年末的积累值为：

0.040.04202110020100i+200i+300i+...+2000i =2000+100i 2

=200021000i 2840i=0.04

=1001

=100=S S ⨯⨯+⨯

+=-（1+20）20

（）解得：而按照复利计算的20年末的积累值为：

100（）（31.96920-1）3096.920（元）

35.依据题意可知

该永续年金现值⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤d

)()0(..

..

n

n n

n n n

n a i a i nv i nv a a nv Ia V 或=+-=

+=∞

解：依据题意，该年金为等差递增年金，第六次、第七次付款额分别为11、13，由题意第六次、第七次付款额的现值相等，可得 11v 5=13v 6

V=11/13 从而i=1/v-1=2/11

而等差递增年金现值公式为⎡⎤⎡⎤i

nv a a V n

n n -⨯+⨯=21)0(

故该永续年金的现值

⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

662

1]21[lim ]21[lim )0(2=+=⨯+⨯=-⨯

+⨯=∞→∞

→i

i i a a i

nv a a V n n n n

n n n