3.1.2优质课-两条直线平行与垂直的判定
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B、若直线l1 ∥ l2，则两直线的斜率相等；
C、若两直线l1和l2中，一条斜率存在，另一条斜 率不存在，则l1和l2相交； D、若直线l1和l2斜率都不存在，则l1 ∥ l2；
E、若直线l1 ⊥ l2，则它们的斜率之积为-1；
例题讲解
垂直关系
例3、已知A（5,-1）,B（1,1）,C（2,3）
三点，试判断△ABC的形状。 1 ( 1) 1 解: k AB 1 5 2 3 1 k BC 2 2 1 k AB k BC 1
y
l1 l2
2 90 1
tan 2 tan 90 1
1 tan 2 tan1
k2 1 k1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
l2
l1
O
α1
α2
x
k1 k 2 1
设两条直线l1、l2的倾斜角分别为 α1、α2（ α1、α2≠90°）.
y l2 l1
O
α1
α2
x
结论2：如果两条直线l1、l2都有斜率 （两直线的斜率都不等于0），且分别为 k1、k2，则有 l1⊥l2 k1k2=-1.
y
Q P
1 30 解： 直线BA的斜率kBA 2 (4) 2 1 2 1 直线PQ的斜率kPQ 1 (3) 2
A
kBA kPQ 直线BA // PQ.
x
B
O
例题讲解
平行关系
例2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0）， B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试判断四边形 ABCD的形状，并给出证明。
1 2 1
2
k1 k2
o
x
l1 l2
y
反之，若 k k tan tan 又 ， [0 ,180 )
1 2
1
2
0
0
1
2
l // l
1
1
2
2
o
x
设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2.
y
l1 l2
O
α1
α2
x
结论1：对于两条不重合的直线l1、l2，其 斜率分别为k1、k2，有 l1∥l2 k1＝k2.
三点共线.
实践与探究： 判断题：
(1) 若两条直线的斜率相等,则这两条直线一定平行。
(× )
(2)若两条直线平行,则它们的斜率一定相等。
(× )
(3)若两条不重合的直线的斜率都不存在,则它 他们平行。
（ √）
问题探究二：两直线垂直，它们斜率有何关系？ 填一填 已知两条直线l1和l2，其倾斜角分别为α 和α 2（α 1<α 2），且l1⊥l2，如图所示，问： y α 1与α 2之间有什么关系呢？ l
y
O y
l2
α1
l1
α2
x
y
2
O
1
l1
l2
x
l1
l2
O
x
二、思想方法 （1）数形结合、分类讨论、由特殊到一般及类 比联想的思想； （2）运用代数方法研究几何性质及其相互位置 关系。
另外，当k1，k2都不存在时也有l1∥l2
思考1、两条直线平行，它们的斜率相等吗？
有可能斜率都不存在
思考2、如果两条直线的斜率相等，它们平 行吗？ 有可能重合
例题讲解
平行关系
例1. 已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直 线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.
思考1、两条直线互相垂直，它们的斜率之 积等于-1吗？
有可能一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在
y
l2
若一条直线的倾斜角为90°,
l1
另一条直线的倾斜角为0°
则两直线互相垂直.
o
x
思考2、如果两条直线的斜率之积等于-1， 它们垂直吗？ 一定垂直
练习
下列哪些说法是正确的（ C ）
A 、两直线l1和l2的斜率相等，则 l1 ∥ l2；
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
复习回顾
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交 时，取x轴作为基准,x轴正方向与直线l向上 的方向所成的角叫做直线l的倾斜角. 倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正 切叫做这条直线的斜率，常用k来表示.
k tan 90
经过两点P : 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )的直线的斜率公式
y
C B
O
0
x
AB BC 即ABC 90 因此ABC是直角三角形 .
A
巩固提高
试确定m的值，使过点A（m，1），B(–1, 2m)的直线与经过点P（1，2），Q（-5，0）的直 线 解： （由直线的斜率公式可得 1）平行；（2）垂直。 ( 2) PQ AB
k AB k PQ y2 y1 2m 1 1 2m , x2 x1 1 m 1 m y2 y1 0 2 1 x2 x1 5 1 3
问题探究二：两直线垂直与它们斜率有何关系？ 设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2 （α1,α2≠ 90°），且α1<α2，其斜率分别 1 为k1，k2。（公式： tan 90 tan ）
类比： l1 /k /l 1时， 2 l tan 1 tan 2 k1 k2 l1⊥l2 思考 2 当 k 12 2=-1 1与l2的位置关系如何？
特殊情况
如果两条直线的斜率都不存在会是什么情况?
l1
y
l2
证明：若l x轴, l x轴，
1 2
则l // l .
1 2
o
x
结论：
两条直线 l , l 不重合， 且k , k 均存在时， 有 l // l k k
1 2
1 2
1
2
1
2
注意：1.两条直线不重合；
2.两条直线斜率均存在。
1 1 解 : k AB kCD 2 2 3 3 k BC k DA 2 2 k AB kCD , k BC k DA ∥ DA AB∥ CD, BC
y
D C
A
O
B
x
因此四边形ABCD是平行四边形 .
已知A(1，2),B(-1,0),C(3,4)三点，这三点是否 在同一条直线上，为什么？ 分析：证明两直线斜率相等且有公共点. 02 解：直线AB的斜率k AB 1; 1 1 40 直线BC的斜率k BC 1. 3 （ 1 ） k AB k BC , 两直线有公共点B,
k PQ k AB 1 1 2m 1 即 1 1 m 3 解得m 4
(1) AB // PQ, k AB k PQ 1 2m 1 2 即 ，解得m 1 m 3 7
一、知识内容
1、斜率都存在时两直线的平行与垂直 l1//l2 k1=k2 l1⊥l2 k1k2= -1 注意点：斜率都存在 2、斜率不都存在时两直线平行与垂直 平行：直线l1和l2斜率都不存在 垂直：直线l1和l2一条斜率为零, 另一条斜率不存在
y2 y1 k ( x1 x2 ) x2 x1
问题引入：
我们能否通过直线l1、l2的斜率k1、 k2来判断两条直线的位置关系呢？
问题探究一：两直线平行，它们斜率有何关 系？
问题：初中平面几何中怎样判断两条直线平行?
1
3
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y
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y l2
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证明：若l // l ，则 tan 1 tan 2
1
1
α 2=90°+α
1
α1
3 3
l2
O
α2 x
1 135 ° ,k1= (2)当1 45 时， 2
(1)当1 30 时， 2 120° ,k1=
,k2= ,k2=
3
; .
-1
(3)当1 60 时， 2 150° ,k1=
3
,k2=
3 3.
你能发现k1与k2之间有什么关系吗？ k1k2=-1
C、若两直线l1和l2中，一条斜率存在，另一条斜 率不存在，则l1和l2相交； D、若直线l1和l2斜率都不存在，则l1 ∥ l2；
E、若直线l1 ⊥ l2，则它们的斜率之积为-1；
例题讲解
垂直关系
例3、已知A（5,-1）,B（1,1）,C（2,3）
三点，试判断△ABC的形状。 1 ( 1) 1 解: k AB 1 5 2 3 1 k BC 2 2 1 k AB k BC 1
y
l1 l2
2 90 1
tan 2 tan 90 1
1 tan 2 tan1
k2 1 k1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
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k1 k 2 1
设两条直线l1、l2的倾斜角分别为 α1、α2（ α1、α2≠90°）.
y l2 l1
O
α1
α2
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结论2：如果两条直线l1、l2都有斜率 （两直线的斜率都不等于0），且分别为 k1、k2，则有 l1⊥l2 k1k2=-1.
y
Q P
1 30 解： 直线BA的斜率kBA 2 (4) 2 1 2 1 直线PQ的斜率kPQ 1 (3) 2
A
kBA kPQ 直线BA // PQ.
x
B
O
例题讲解
平行关系
例2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0）， B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试判断四边形 ABCD的形状，并给出证明。
1 2 1
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反之，若 k k tan tan 又 ， [0 ,180 )
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设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2.
y
l1 l2
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α1
α2
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结论1：对于两条不重合的直线l1、l2，其 斜率分别为k1、k2，有 l1∥l2 k1＝k2.
三点共线.
实践与探究： 判断题：
(1) 若两条直线的斜率相等,则这两条直线一定平行。
(× )
(2)若两条直线平行,则它们的斜率一定相等。
(× )
(3)若两条不重合的直线的斜率都不存在,则它 他们平行。
（ √）
问题探究二：两直线垂直，它们斜率有何关系？ 填一填 已知两条直线l1和l2，其倾斜角分别为α 和α 2（α 1<α 2），且l1⊥l2，如图所示，问： y α 1与α 2之间有什么关系呢？ l
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α1
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二、思想方法 （1）数形结合、分类讨论、由特殊到一般及类 比联想的思想； （2）运用代数方法研究几何性质及其相互位置 关系。
另外，当k1，k2都不存在时也有l1∥l2
思考1、两条直线平行，它们的斜率相等吗？
有可能斜率都不存在
思考2、如果两条直线的斜率相等，它们平 行吗？ 有可能重合
例题讲解
平行关系
例1. 已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直 线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.
思考1、两条直线互相垂直，它们的斜率之 积等于-1吗？
有可能一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在
y
l2
若一条直线的倾斜角为90°,
l1
另一条直线的倾斜角为0°
则两直线互相垂直.
o
x
思考2、如果两条直线的斜率之积等于-1， 它们垂直吗？ 一定垂直
练习
下列哪些说法是正确的（ C ）
A 、两直线l1和l2的斜率相等，则 l1 ∥ l2；
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
复习回顾
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交 时，取x轴作为基准,x轴正方向与直线l向上 的方向所成的角叫做直线l的倾斜角. 倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正 切叫做这条直线的斜率，常用k来表示.
k tan 90
经过两点P : 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )的直线的斜率公式
y
C B
O
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AB BC 即ABC 90 因此ABC是直角三角形 .
A
巩固提高
试确定m的值，使过点A（m，1），B(–1, 2m)的直线与经过点P（1，2），Q（-5，0）的直 线 解： （由直线的斜率公式可得 1）平行；（2）垂直。 ( 2) PQ AB
k AB k PQ y2 y1 2m 1 1 2m , x2 x1 1 m 1 m y2 y1 0 2 1 x2 x1 5 1 3
问题探究二：两直线垂直与它们斜率有何关系？ 设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2 （α1,α2≠ 90°），且α1<α2，其斜率分别 1 为k1，k2。（公式： tan 90 tan ）
类比： l1 /k /l 1时， 2 l tan 1 tan 2 k1 k2 l1⊥l2 思考 2 当 k 12 2=-1 1与l2的位置关系如何？
特殊情况
如果两条直线的斜率都不存在会是什么情况?
l1
y
l2
证明：若l x轴, l x轴，
1 2
则l // l .
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结论：
两条直线 l , l 不重合， 且k , k 均存在时， 有 l // l k k
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注意：1.两条直线不重合；
2.两条直线斜率均存在。
1 1 解 : k AB kCD 2 2 3 3 k BC k DA 2 2 k AB kCD , k BC k DA ∥ DA AB∥ CD, BC
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因此四边形ABCD是平行四边形 .
已知A(1，2),B(-1,0),C(3,4)三点，这三点是否 在同一条直线上，为什么？ 分析：证明两直线斜率相等且有公共点. 02 解：直线AB的斜率k AB 1; 1 1 40 直线BC的斜率k BC 1. 3 （ 1 ） k AB k BC , 两直线有公共点B,
k PQ k AB 1 1 2m 1 即 1 1 m 3 解得m 4
(1) AB // PQ, k AB k PQ 1 2m 1 2 即 ，解得m 1 m 3 7
一、知识内容
1、斜率都存在时两直线的平行与垂直 l1//l2 k1=k2 l1⊥l2 k1k2= -1 注意点：斜率都存在 2、斜率不都存在时两直线平行与垂直 平行：直线l1和l2斜率都不存在 垂直：直线l1和l2一条斜率为零, 另一条斜率不存在
y2 y1 k ( x1 x2 ) x2 x1
问题引入：
我们能否通过直线l1、l2的斜率k1、 k2来判断两条直线的位置关系呢？
问题探究一：两直线平行，它们斜率有何关 系？
问题：初中平面几何中怎样判断两条直线平行?
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y l2
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证明：若l // l ，则 tan 1 tan 2
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1 135 ° ,k1= (2)当1 45 时， 2
(1)当1 30 时， 2 120° ,k1=
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(3)当1 60 时， 2 150° ,k1=
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你能发现k1与k2之间有什么关系吗？ k1k2=-1