线代第一章第五节

有非零解？ 有非零解？
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§1.5 克莱姆法则
解
1− λ D= 2 1
3
−2 3−λ 1
4 1 1− λ
1− λ = 2 1
−3+λ 1− λ 0
4 1 1− λ
= (1 − λ ) + (λ − 3 ) − 4 (1 − λ ) − 2 (1 − λ )(− 3 + λ ) = (1 − λ ) + 2 (1 − λ ) + λ − 3
(10)
一定有解 x1 = x2 = L = xn = 0.
零解
L 的解， 如果有一组不全为零的 数 x1， x 2， ， x n 是 (10 )的解， 则叫齐次线性方程组 (10 )的非零解 .
注
一定有零解， 齐次线性方程组 (10 )一定有零解，但不一定 有非零解 .
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§1.5 克莱姆法则
0
n n n ∑ ak 1 Akj x1 + L + ∑ akj Akj x j + L + ∑ akn Akj xn k =1 k =1 k =1 = ∑ bk Akj ,
k =1 n
Dj
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§1.5 克莱姆法则
于是
Dx j = D j ( j = 1,2,L, n ).
(9)
当 D ≠ 0 时,方程组 (9 ) 有唯一的一个解 方程组 D1 D2 D3 Dn x1 = , x2 = , x3 = , L , xn = . D D D D 等价, 由于方程组 (7 ) 与方程组 (9) 等价 故
D1 D2 D3 Dn x1 = , x2 = , x3 = , L, xn = . D D D D
齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 a x + a x + L+ a x = 0 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLLLLL an1 x1 + an 2 x 2 + L + a nn xn = 0
(10)
定理6 定理6
如果齐次线性方程组 (10) 的系数行列式 D ≠ 0, 则齐次线性方程组 (10 ) 只有零解. 只有零解.
结论 如果齐次线性方程组 (10) 有非零解,则它 有非零解, 的系数行列式必为零. 的系数行列式必为零.
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§1.5 克莱姆法则
例2 问 λ 取何值时，齐次线性方程组 取何值时，
(1 − λ ) x1 − 2 x 2 + 4 x 3 = 0 , 2 x 1 + (3 − λ ) x 2 + x 3 = 0 , x + x + (1 − λ ) x = 0 , 1 2 3
§1.5 克莱姆法则
一、克莱姆法则 二、重要定理
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§1.5 克莱姆法则
一、克莱姆法则
定理5 定理 如果线性方程组
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 L a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
齐次线性方程组; 齐次线性方程组 若常数项 b1 , b2 ,L, bn 全为零 , 则称方程组(7)为齐次线性方程组 则称方程组 为齐次线性方程组.
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§1.5 克莱姆法则
齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 a x + a x + L+ a x = 0 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLLLLL an1 x1 + an 2 x 2 + L + a nn xn = 0
(7 )
L a1n L a2 n
的系数行列式不等于零， 的系数行列式不等于零，即 D =
a11 a 21 M a n1
a12 a 22
M O M a n 2 L a nn
≠0
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§1.5 克莱姆法则
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有唯一解， 那么线性方程组(7 ) 有唯一解，
D1 D2 D3 Dn x1 = , x2 = , x3 = ,L, xn = . D D D D
c3 + 2c2
−3 −5 3 − 0 −1 0 −7 −7 −2
−3 3 = = 27, −7 −2
8 1 −5 1 9 −3 0 −6 D1 = − 5 2 −1 2 0 4 −7 6 = 81,
2 8 −5 1 1 9 0 −6 D2 = 0 − 5 −1 2 1 0 −7 6 = −108,
也是方程组的 (7 ) 解.
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§1.5 克莱姆法则
例1 用克莱姆法则解方程组
2 x1 + x2 − 5 x3 + x4 = 8, x − 3 x − 6 x = 9, 1 2 4 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = − 5, x1 + 4 x2 − 7 x3 + 6 x4 = 0.
解
2 1 −5 1 1 −3 0 −6 D= 0 2 −1 2 1 4 −7 6
r1 − 2r2 r4 − r2
0 7 − 5 13 1 −3 0 −6 0 2 −1 2 0 7 − 7 12
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§1.5 克莱姆法则
7 − 5 13 = −2 −1 2 7 − 7 12
c1 + 2c2
其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 阶行列式， 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a11 L a1, j −1 Dj = M O M an1 L an , j −1 b1 M bn a1, j +1 L a1n M a n , j +1 O M . L a nn
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§1.5 克莱姆法则
证明 用 D中第 j列元素的代数余子式 A1 j , A2 j ,L , Anj
依次乘方程组 (1)的 n个方程 , 得
0
(a11 x1 + a12 x 2 + L + a1 n x n ) A1 j = b1 A1 j (a x + a x + L + a x ) A = b A 21 1 22 2 2n n 2j 2 2j LLLLLLLLLLLL (a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n ) Anj = bn Anj 个方程依次相加， 再把 n 个方程依次相加，得 D
D4 27 x4 = = = 1. D 27
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D3 − 27 x3 = = = −1, D 27
§1.5 克莱姆法则
二、重要定理
非齐次与齐次线性方程组的概念
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 2n n 2 线性方程组 21 1 22 2 (7) L an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = bn 若右端的常数项 b1 , b2 ,L , bn 不全为零 , 则称方程组 为非 则称方程组(7)为
3 2
齐次方程组有非零解， 齐次方程组有非零解，则 D = 0 时齐次方程组有非零解. 所以 λ = 0 , λ = 2 或 λ = 3时齐次方程组有非零解
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内容小结
1. 用克莱姆法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; 方程个数等于未知量个数; 方程个数等于未知量个数 (2)系数行列式不等于零. 系数行列式不等于零. 系数行列式不等于零 2. 克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导 它主要适用于理论推导. 数与常数项之间的关系 它主要适用于理论推导
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§1.5 克莱姆法则
2 1 8 1 1 −3 9 −6 D3 = 0 2 −5 2 1 4 0 6
2 1 −5 8 1 −3 0 9 D4 = 0 2 −1 −5 1 4 −7 0
= −27,
所以， 所以，
D 81 x1 = 1 = = 3, D 27
= 27.
D2 − 108 x2 = = = −4, D 27