2019年复旦附中高一期末

复旦附中高一期末数学试卷

2019.06

一. 填空题

1. 计算：23lim 31

n n n →∞-=+ 2. 2与8的等比中项是

3. 函数arctan y x =，(0,1)x ∈的反函数为

4. 在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a =

5. 用列举法表示集合1{|cos(),[0,]}32

x x x ππ-=∈= 6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若面积222

2a b c S +-=， 则角C =

7. 已知无穷等比数列{}n a 的各项的和为1，则2a 的取值范围为

8. 已知函数()2sin()46x

f x π=+，若对任意x ∈R 都有12()()()f x f x f x ≤≤（12,x x ∈R ）

成立，则12||x x -的最小值为

9. 若a 、b 是函数2()f x x px q =-+（0p >，0q >）的两个不同的零点，且a 、b 、2- 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +=

10. 若函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>）在区间[,]62

ππ

上单调，且 2()()()236

f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 11. 由正整数组成的数列{}n a 、{}n b 分别为递增的等差数列、等比数列，111a b ==，记n n n c a b =+，若存在正整数k （2k ≥）满足1100k c -=，11000k c +=，则k c =

12. 已知无穷等比数列{}n a 满足：对任意的*n ∈N ，sin 1n a =，则数列{}n a 公比q 的取值集合为

二. 选择题

13. 对于函数()2sin cos f x x x =，下列选项中正确的是（ ）

A. ()f x 在(,)42

ππ

上单调递增 B. ()f x 的图像关于原点对称 C. ()f x 的最小正周期为2π D. ()f x 的最大值为2

14. 若等差数列{}n a 的前10项之和大于其前21项之和，则16a 的值（ ）

A. 大于0

B. 等于0

C. 小于0

D. 不能确定

15. 已知数列{}n a 的通项公式2019(1)120191()20202

n n n n a n -⎧-≤≤⎪=⎨≥⎪⎩，前n 项和为n S ，则关于数列 {}n a 、{}n S 的极限，下列判断正确的是（ ）

A. 数列{}n a 的极限不存在，{}n S 的极限存在

B. 数列{}n a 的极限存在，{}n S 的极限不存在

C. 数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，但极限值不相等

D. 数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，且极限值相等

16. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，函数()f x 是定义在R 上的单调递增的奇函数，数列{()}n f a 的前n 项和为n S ，对于命题：

① 若数列{}n a 为递增数列，则对一切*n ∈N ，0n S >；

② 若对一切*n ∈N ，0n S >，则数列{}n a 为递增数列；

③ 若存在*m ∈N ，使得0m S =，则存在*k ∈N ，使得0k a =；

④ 若存在*k ∈N ，使得0k a =，则存在*m ∈N ，使得0m S =；

其中正确命题的个数为（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

三. 解答题

17. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，32216a a =+，且20200S <.

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）是否存在正整数n ，使得2020n S >成立？若存在，求出n 的最小值，若不存在，请说明理由.

18.

已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-.

（1）求函数()y f x =的单调递减区间；

（2）在锐角△ABC 中，若角2C B =，求()f A 的值域.

19. 已知数列{}n a 满足：12a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n ∈N .

（1）求证：数列{

}n a n 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）记2(1)n n b n a =

+（*n ∈N ），用数学归纳法证明：12211(1)n b b b n ++⋅⋅⋅+<-+，*n ∈N .

20. 设函数()5sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，(0,)2

π

ϕ∈. （1）设2ω=，若函数()f x 的图像的一条对称轴为直线35x π=

，求ϕ的值； （2）若将()f x 的图像向左平移2

π个单位，或者向右平移π个单位得到的图像都过坐标原 点，求所有满足条件的ω和ϕ的值；

（3）设4ω=，6π

ϕ=，已知函数()()3F x f x =-在区间[0,6]π上的所有零点依次为

123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅，且1231n n x x x x x -<<<⋅⋅⋅<<，*n ∈N ，求

123212222n n n x x x x x x --+++⋅⋅⋅+++的值.

21. 已知无穷数列{}n a 、{}n b 是公差分别为1d 、2d 的等差数列，

记[][]n n n c a b =+（*n ∈N ）， 其中[]x 表示不超过x 的最大整数，即1[]x x x -<≤.

（1）直接写出数列{}n a 、{}n b 的前4项，使得数列{}n c 的前4项为：2，3，4，5；

（2）若13n n a +=，13

n n b -=，求数列{}n c 的前3n 项的和3n S ； （3）求证：数列{}n c 为等差数列的必要非充分条件是12d d +∈Z .