范德蒙行列式-拉普拉斯展开-克莱姆法则
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线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
a11 2 ).
a12 a 22
... a1 n ... a 2 n ... ... a nn
n
解：
原式=
a11a22 ann aii
i 1
用第一行取有 n个，可从an n取。对下三角形，同理 可得。
12
线性代数
第一章 n阶行列式
三阶行列式的定义：
九个数aij i , j 1,2 ,3排成三行三列的方形数 表， 加上记号“ | a11 a12 a21 a22 a31 a32 |” , 表示一个行列式。 a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
所以方程组有唯一解。再计算：
1 2 2
1 1 2
1 2 1
D 2 3 2 6 D 2 2 2 2 D 2 3 2 1 2 2 3 2 3 4 3 2 4
D 3 x1 2 D 2
D1 1 x1 D 2
D3 1 x3 D 4
5
线性代数
第一章 n阶行列式
a11 ai 1 a s1
a12 a1n ai 2 ain
a11 ai 1 a n1
a12 ai 2 an 2
a1n ain ann
a s 2 a sn
Baidu Nhomakorabea
as1 kai 1 as 2 kai 2 as 3 kain
一个排列中的逆序总数称排列的逆序数。 记为： 或者 逆序数为奇数的排列称为奇排列， 逆序数为偶数的排列称为偶排列。
返回
6
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
例1 计算下列排列的逆序数并指出排列的奇偶性 1）五阶排列 （1 4 2 5 3）
( 1 4 2 5 3 ) 3
奇排列
2）n阶自然排列 （1 2 3 … n)
1 ,4 ) ( (3 4 5 2 1 ) 7
4
定理1.1: 任一排列经一次对换，必改变其奇偶性。
, 奇排列、 推论1 在所有n阶 排列中( n 2） n! 偶排列各占一半，均为 . 2 推论2 任一 n 阶排列均可以通过若干次对换变为自然排列。
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线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
但这一组求解公式不易记。为了便于记忆，我们引进二阶行列 式概念：由4个数排成二行、二列，加记号“| | ” 2
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
a11 a21
a12 a11a22 a12a21 a22
11
由二阶行列式的定义，可将前述二元线性方程组的结果写为：
a D a
21
a a
第1节 n阶行列式
二. n阶排列及逆序数
定义1: 由自然数1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n阶排列。 列的总数为n! 个。
一般地，一个 n阶排列可用 ( j1 j2 ... jn )表示。所有的 n阶排
定义2: 在一个排列中，任取一对数，假如大数排前，小数排后， 则称这对数构成一个逆序，否则称一个顺序。
( 1 2 3 n ) 0
3) n阶倒序排列 (n n-1 … 2 1)
偶排列
n( n 1 ) ( n n 1 2 1 ) 2
当n=4k,4k+1 时 偶排列 奇排列 7 当n=4k+２,4k+３ 时
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
定义3： 在一个排列中，把其中两个数的位置互换，其余数位置不 动，这样的变换称为对换。 如（３１５２４）
an1 an 2 ann
以上性质均可用行列式的方定义证明。
返回
返回小结
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线性代数
第一章 n阶行列式
第2节 n阶行列式性质
由上述性质，易得下列推论： 推论1 若行列式两行（列）相同，则行列式值为0。 （由性质2证明）
推论2 行列式有一行（列）元素均为0，则行列式值为0。 （由性质3证明）
推论3 行列式有二行（列）元素成比例，则行列式值为0。 （由性质3，推论1证明）
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线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
例2 化简行列式：
a 2 ( a 1 ) a2
b 2 ( b 1 ) b2
c 2 ( c 1 ) c2
20
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
例2： 原式
a b c a 2 2a 1 b 2 2b 1 c 2 2c 1 a2 b2 c2 a b c 1 1 1 a 2 b2 c 2 1 1 1 1 1 1 a b c 0 ba c a a 2 b2 c 2 0 b 2 ab c 2 ca
解：
利用性质，化为一个上三角
行列式再计算。
原式
1 0 0 0
1 2 5 0 1 2 5 0 0 1 2 1 0 1 2 1 0 7 17 4 0 0 3 3 0 6 3 5 0 0 9 1 2 5 0 1 2 1 30 0 3 3 0 0 10
第2节 n阶行列式性质
n阶行列式的性质：
性质1: 将行列式的行列互换，行列式值不变。即
a11 a21 a n1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann a11 a12 a1n a21 an1 a22 an 2
T
a2 n ann
记为D和D ( D ) 称这两个行列式互为转置行列式。 性质2: 行列式任意两行（列）互换，行列式值反号。 性质3: 行列式某一行（列）有公因子k，则k可提到行 a11 a12 a1n 列式号外。如 a11 a12 a1n kai 1 kai 2 kain k ai 1 ai 2 ain an1 an 2 ann an1 an 2 ann
1
用中学学过的加减消元法可得结论：当a11a22 a12a21 0时， 方程组有唯一解：
其中aij , b j i , j 1,2为常数， x1, x2为未知量。
b1a22 b2a12 b2a11 b1a21 x1 , x2 a11a22 a21a12 a11a22 a21a12
4 2 1 5
2
1
0
1 2 2
2
2
2 0 1 2 0 1 2 0 2 0 0 0 4 4
4
1 3 5
2 3 )3 5
3 5 2
5
10 3 5
1 3 5
2 10 5 2 10 1 5 2 10 0 1 5 70 0 0 7 1 2 3 3 10 2 3
证明: 奇数阶反对称行列式值为0。（证明见下页）
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线性代数
第一章 n阶行列式
第2节 n阶行列式性质
证明:
0 a12 a1 n a12 0 a2 n a1 n a2 n 0
0 ( 1 )
n
a12 a1 n 0 a2 n a2 n 0
23
线性代数
第一章 n阶行列式
1 ( b a )( c a ) b
返回
ba ca b( b a ) c ( c a )
1 c
( a b )( c a )( c b )
21
线性代数
第一章 n阶行列式
第3节 n阶行列式的计算
一. 利用性质先化简行列式再计算 4 1 2 例1： 计算行列式 3 2 1 2 4 1
D
a12 a1 n
( 1 )n D T
而D DT，当 n 奇数时， D DT , D 0.
思考： 对角线元 为何为0 ?
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线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
例 1： 1
2 3 4
2 3 2
3
1 1 1 3 1 4 1
1 )2 3
1 2 )2 2
第1节 n阶行列式
例1
在五阶行列式中，决定下列项前面所带符号：
a11a24a33a42a55
( 1 4 3 2 5 ) 3 带负号
a23a42a14a35a51 a14a23a35a42a51
( 4 3 5 2 1 ) 8 带正号
10
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
例2
三 . n阶行列式定义
2 有 n 个数排成n行，n列的数表，加符号“ | |”， 定义3: 称为n阶行列式。
它 的 值 为 所 有 取 自 不行 同不 同 列 的 n个 元 素 乘 积 a1 j1 a2 j2 anj n
（j1 jn） 的 代 数 和 ， 每 项 的 符由 号 （ 1） 决定。即
a11 a21
a12 a22
a1 n a2 n
an1 an 2 ann
1
j1 jn
j1 jn
a1 j a2 j anj
1 2
n
，一半为负。 中含n! 项，所带符号一半为正
规定一阶行列式 a11 a11。
返回
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线性代数
第一章 n阶行列式
第一章
n 阶行列式
第一节 n阶行列式 第二节 n阶行列式性质 第三节 n阶行列式的计算 第四节 克莱姆法则 *行列式内容提要*
1
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
一. 二阶和三阶行列式
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
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线性代数
第一章 n阶行列式
第2节 n阶行列式性质
一个n阶行列式
a11 D a21 an1
a12 a22 an 2
a1 n a2 n ann
若aij a ji
称D为对称行列式。
若aij a ji
称D为反对称行列式。
例
12
并称为线性方程组（1）的系数行列式，
22
b1 D1 b2
a12 a11 , D2 a22 a21
b1 b2
则当D ≠0时，有
D1 D2 x1 , x2 D D
为了讨论三元线性方程组以及n元线性方程组的需要，必须 引进三阶行列式直至n阶行列式。 3
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
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线性代数
第一章 n阶行列式
第2节 n阶行列式性质
性质4: 行列式某一行（列）的元素可以表示成两项之和，则 该行列式可写成两个行列式之和。如
a11 a12 a1n bi 1 ci 1 bi 2 ci 2 bin cin a n1 an 2 ann
a11 bi 1
a12 bi 2
a1n
a11
a12
a1n
bin ci 1 ci 2 cin an1 an 2 ann an1 an 2 ann
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线性代数
第一章 n阶行列式
第2节 n阶行列式性质
性质5: 将行列式一行（列）的k倍加到另一行（列）上，行 列式值不变。如
由行列式定义计算下列行列式：
0 0 1 0 1 2 0 3 0 0 1 0
( 124 3 )
5 4 1 ). 0 0
解:
原式=
0 ( 1 )
( a11a22a34a43 )
(( 5 ) 1 ( 1 ) 3 )
15
（注：只有当n=3时，用对角线法则，其他不用。）
三阶行列式值的计算可按书上P.4页图示“对角线法则”来
记忆，且称数 aij为行列式的元素。
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线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
x1 2 x2 2 x3 1 例：解三元方程组。 2 x 3 x 2 x 2 2 3 1 2 x1 2 x2 4 x3 3 解： 系数行列式 1 2 2 D 2 3 2 4 0 2 2 4
利用性质，将它化为一个上三角行列式，再计算。 解：
4 1 2
1 1 1
1 1 1
1 1 1 0 1 1 0 0 7
3 2 1 1 2 0 0 1 1 0 6 1 2 4 1 2 4 1
=7
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线性代数
第一章 n阶行列式
第3节 n阶行列式的计算
1 2 5 0 例2： 2 3 8 1 3 1 2 4 1 4 2 5
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
a11 2 ).
a12 a 22
... a1 n ... a 2 n ... ... a nn
n
解：
原式=
a11a22 ann aii
i 1
用第一行取有 n个，可从an n取。对下三角形，同理 可得。
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第一章 n阶行列式
三阶行列式的定义：
九个数aij i , j 1,2 ,3排成三行三列的方形数 表， 加上记号“ | a11 a12 a21 a22 a31 a32 |” , 表示一个行列式。 a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
所以方程组有唯一解。再计算：
1 2 2
1 1 2
1 2 1
D 2 3 2 6 D 2 2 2 2 D 2 3 2 1 2 2 3 2 3 4 3 2 4
D 3 x1 2 D 2
D1 1 x1 D 2
D3 1 x3 D 4
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第一章 n阶行列式
a11 ai 1 a s1
a12 a1n ai 2 ain
a11 ai 1 a n1
a12 ai 2 an 2
a1n ain ann
a s 2 a sn
Baidu Nhomakorabea
as1 kai 1 as 2 kai 2 as 3 kain
一个排列中的逆序总数称排列的逆序数。 记为： 或者 逆序数为奇数的排列称为奇排列， 逆序数为偶数的排列称为偶排列。
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第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
例1 计算下列排列的逆序数并指出排列的奇偶性 1）五阶排列 （1 4 2 5 3）
( 1 4 2 5 3 ) 3
奇排列
2）n阶自然排列 （1 2 3 … n)
1 ,4 ) ( (3 4 5 2 1 ) 7
4
定理1.1: 任一排列经一次对换，必改变其奇偶性。
, 奇排列、 推论1 在所有n阶 排列中( n 2） n! 偶排列各占一半，均为 . 2 推论2 任一 n 阶排列均可以通过若干次对换变为自然排列。
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线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
但这一组求解公式不易记。为了便于记忆，我们引进二阶行列 式概念：由4个数排成二行、二列，加记号“| | ” 2
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
a11 a21
a12 a11a22 a12a21 a22
11
由二阶行列式的定义，可将前述二元线性方程组的结果写为：
a D a
21
a a
第1节 n阶行列式
二. n阶排列及逆序数
定义1: 由自然数1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n阶排列。 列的总数为n! 个。
一般地，一个 n阶排列可用 ( j1 j2 ... jn )表示。所有的 n阶排
定义2: 在一个排列中，任取一对数，假如大数排前，小数排后， 则称这对数构成一个逆序，否则称一个顺序。
( 1 2 3 n ) 0
3) n阶倒序排列 (n n-1 … 2 1)
偶排列
n( n 1 ) ( n n 1 2 1 ) 2
当n=4k,4k+1 时 偶排列 奇排列 7 当n=4k+２,4k+３ 时
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
定义3： 在一个排列中，把其中两个数的位置互换，其余数位置不 动，这样的变换称为对换。 如（３１５２４）
an1 an 2 ann
以上性质均可用行列式的方定义证明。
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线性代数
第一章 n阶行列式
第2节 n阶行列式性质
由上述性质，易得下列推论： 推论1 若行列式两行（列）相同，则行列式值为0。 （由性质2证明）
推论2 行列式有一行（列）元素均为0，则行列式值为0。 （由性质3证明）
推论3 行列式有二行（列）元素成比例，则行列式值为0。 （由性质3，推论1证明）
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线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
例2 化简行列式：
a 2 ( a 1 ) a2
b 2 ( b 1 ) b2
c 2 ( c 1 ) c2
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第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
例2： 原式
a b c a 2 2a 1 b 2 2b 1 c 2 2c 1 a2 b2 c2 a b c 1 1 1 a 2 b2 c 2 1 1 1 1 1 1 a b c 0 ba c a a 2 b2 c 2 0 b 2 ab c 2 ca
解：
利用性质，化为一个上三角
行列式再计算。
原式
1 0 0 0
1 2 5 0 1 2 5 0 0 1 2 1 0 1 2 1 0 7 17 4 0 0 3 3 0 6 3 5 0 0 9 1 2 5 0 1 2 1 30 0 3 3 0 0 10
第2节 n阶行列式性质
n阶行列式的性质：
性质1: 将行列式的行列互换，行列式值不变。即
a11 a21 a n1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann a11 a12 a1n a21 an1 a22 an 2
T
a2 n ann
记为D和D ( D ) 称这两个行列式互为转置行列式。 性质2: 行列式任意两行（列）互换，行列式值反号。 性质3: 行列式某一行（列）有公因子k，则k可提到行 a11 a12 a1n 列式号外。如 a11 a12 a1n kai 1 kai 2 kain k ai 1 ai 2 ain an1 an 2 ann an1 an 2 ann
1
用中学学过的加减消元法可得结论：当a11a22 a12a21 0时， 方程组有唯一解：
其中aij , b j i , j 1,2为常数， x1, x2为未知量。
b1a22 b2a12 b2a11 b1a21 x1 , x2 a11a22 a21a12 a11a22 a21a12
4 2 1 5
2
1
0
1 2 2
2
2
2 0 1 2 0 1 2 0 2 0 0 0 4 4
4
1 3 5
2 3 )3 5
3 5 2
5
10 3 5
1 3 5
2 10 5 2 10 1 5 2 10 0 1 5 70 0 0 7 1 2 3 3 10 2 3
证明: 奇数阶反对称行列式值为0。（证明见下页）
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第一章 n阶行列式
第2节 n阶行列式性质
证明:
0 a12 a1 n a12 0 a2 n a1 n a2 n 0
0 ( 1 )
n
a12 a1 n 0 a2 n a2 n 0
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第一章 n阶行列式
1 ( b a )( c a ) b
返回
ba ca b( b a ) c ( c a )
1 c
( a b )( c a )( c b )
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线性代数
第一章 n阶行列式
第3节 n阶行列式的计算
一. 利用性质先化简行列式再计算 4 1 2 例1： 计算行列式 3 2 1 2 4 1
D
a12 a1 n
( 1 )n D T
而D DT，当 n 奇数时， D DT , D 0.
思考： 对角线元 为何为0 ?
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第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
例 1： 1
2 3 4
2 3 2
3
1 1 1 3 1 4 1
1 )2 3
1 2 )2 2
第1节 n阶行列式
例1
在五阶行列式中，决定下列项前面所带符号：
a11a24a33a42a55
( 1 4 3 2 5 ) 3 带负号
a23a42a14a35a51 a14a23a35a42a51
( 4 3 5 2 1 ) 8 带正号
10
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
例2
三 . n阶行列式定义
2 有 n 个数排成n行，n列的数表，加符号“ | |”， 定义3: 称为n阶行列式。
它 的 值 为 所 有 取 自 不行 同不 同 列 的 n个 元 素 乘 积 a1 j1 a2 j2 anj n
（j1 jn） 的 代 数 和 ， 每 项 的 符由 号 （ 1） 决定。即
a11 a21
a12 a22
a1 n a2 n
an1 an 2 ann
1
j1 jn
j1 jn
a1 j a2 j anj
1 2
n
，一半为负。 中含n! 项，所带符号一半为正
规定一阶行列式 a11 a11。
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n 阶行列式
第一节 n阶行列式 第二节 n阶行列式性质 第三节 n阶行列式的计算 第四节 克莱姆法则 *行列式内容提要*
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第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
一. 二阶和三阶行列式
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
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第一章 n阶行列式
第2节 n阶行列式性质
一个n阶行列式
a11 D a21 an1
a12 a22 an 2
a1 n a2 n ann
若aij a ji
称D为对称行列式。
若aij a ji
称D为反对称行列式。
例
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并称为线性方程组（1）的系数行列式，
22
b1 D1 b2
a12 a11 , D2 a22 a21
b1 b2
则当D ≠0时，有
D1 D2 x1 , x2 D D
为了讨论三元线性方程组以及n元线性方程组的需要，必须 引进三阶行列式直至n阶行列式。 3
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
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线性代数
第一章 n阶行列式
第2节 n阶行列式性质
性质4: 行列式某一行（列）的元素可以表示成两项之和，则 该行列式可写成两个行列式之和。如
a11 a12 a1n bi 1 ci 1 bi 2 ci 2 bin cin a n1 an 2 ann
a11 bi 1
a12 bi 2
a1n
a11
a12
a1n
bin ci 1 ci 2 cin an1 an 2 ann an1 an 2 ann
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线性代数
第一章 n阶行列式
第2节 n阶行列式性质
性质5: 将行列式一行（列）的k倍加到另一行（列）上，行 列式值不变。如
由行列式定义计算下列行列式：
0 0 1 0 1 2 0 3 0 0 1 0
( 124 3 )
5 4 1 ). 0 0
解:
原式=
0 ( 1 )
( a11a22a34a43 )
(( 5 ) 1 ( 1 ) 3 )
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（注：只有当n=3时，用对角线法则，其他不用。）
三阶行列式值的计算可按书上P.4页图示“对角线法则”来
记忆，且称数 aij为行列式的元素。
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第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
x1 2 x2 2 x3 1 例：解三元方程组。 2 x 3 x 2 x 2 2 3 1 2 x1 2 x2 4 x3 3 解： 系数行列式 1 2 2 D 2 3 2 4 0 2 2 4
利用性质，将它化为一个上三角行列式，再计算。 解：
4 1 2
1 1 1
1 1 1
1 1 1 0 1 1 0 0 7
3 2 1 1 2 0 0 1 1 0 6 1 2 4 1 2 4 1
=7
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第一章 n阶行列式
第3节 n阶行列式的计算
1 2 5 0 例2： 2 3 8 1 3 1 2 4 1 4 2 5