概率论的思维方式

浅谈概率论思维

陈烨（1101000122）

摘要：概率论思维是人脑和概率论研究对象交互作用并按照一般思维规律认识概率论内容的内在理性活动. 它具有随机性、广阔性、概括性、灵活性、指向性和深刻性.本文结合实例简述来启迪学生数学思维，培养学生思维品质。

关键词：概率论；思维品质；培养

概率论是从数量上研究随机现象统计规律的一门科学，这就决定了它具有不同于研究确定性现象的初等数学、高等代数、数学分析等学科的独特的思维方式，同时它以特有的思维方式吸引着众多学生．概率论思维是从属于一般思维的特色思维, 它是人脑和概率论研究对象交互作用并按照一般思维规律认识概率内容的内在理性活动.

概率论思维品质主要表现为思维的广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性，创新性．这几个方面既有各自的特点，又互相联系，互相补充．（1) 概率论思维的随机性

由于概率论是从数量上研究随机现象统计规律的学科, 它的思维体系, 处理问题的主要方法和结果同大家已经熟悉的研究确定性现象的各个数学分支像代数、几何、数学分析等有着许多不同的特点, 因而在研究概率问题时不能完全拘泥于传统的数学思维, 而要用随机的目光透过表面上的偶然, 去寻找内部蕴涵着的必然.

例口袋中有a 只黑球, b 只白球, 它们除颜色不同外, 其他方面没有差别, 现把球随机地一只只摸出来, 求第k 次摸出的一个球是黑球的概率( 1 《k 《a+ b) .

此题可用全概率公式求解, 也可以由概率的古典定义利用排列或组合计算出两种基本事件数获解.但若利用每只球在各次抽取的随机性, 就可抓住刻画欲求概率的事件的本质特点。

解：考虑第k 次摸球, a+ b 只球中任何一只都有可能在第k 次被摸到, 故样本点总数为a+ b, 摸到黑球只有a 种可能, 故p=a/(a + b).

(2)概率论思维品质的广阔性

概率论思维品质的广阔性是指针对一个概率问题，主体思维活动的范围的广泛和全面的程度，解题时常表现为一题多解或一法多用．例有n个不同的小球，随机的投入N个盒子中（N> n），假定每个盒子能容纳小球数不限，求指定的n个盒子中各有一球的概率．

解设A 表示指定的n 个盒子中各有一球，则P(A)=n!/N^n

此题可以向很多古典概率问题迁移，达到一法多用．如果把盒子看成365 d（或12 个月）以研究n个人的生日问题；如果把盒子看成每周7 d，又可以研究工作的安排问题；如果把小球看做人，盒子看做房子，又可以研究住房分配问题等．

(3)概率论思维的概括性

大千世界无处不有随机因素在起作用. 概率论思维的概括性就是表现在它能揭示这些千变万化, 事物抽象的形式结构和数量关系的本质特征和规律. 例如

掷一枚硬币: U= { 正面, 反面} ;

检查一个产品: U= { 合格品, 不合格品} ;

新生小狗的性别: U= { 公, 母} ;

猜谜语: U= { 猜中, 没猜中} ;

新生学习打靶: U= { 命中, 不命中} .

如此等等, 这些都是不同的随机现象, 假如我们只注意样本点的随机本质, 而不去注意每个样本点的具体属性, 那么从数学角度来看, 它们的样本空间都是相同的, 都只含有两个样本点. 这样一来, 上述随机现象都可以用一个贝努里试验来模拟, 其对应的样本空间可抽象为: U= { 成功, 失败} .

（3）概率论思维品质的灵活性

概率论思维品质的灵活性表现为对概率论的理论和方法运用自如，流畅变通，思维不囿于固定的程序或模式，具体问题具体分析．

例4 设X , Y 为连续型随机变量，且X ≤Y ，则EX ≤EY ．

常用的方法是作差EY −EX ≥0即证．由于X , Y 服从什么分布不知，所以不能直接求EX 和EY ．但EY −EX = E(Y −X )，倘能求E(Y −也可，但按常规方法，仍需知Y −X 的分布或(X , Y)的联合分布，再按求随机变量函数的数学期望来求．而这些都办不到，考虑X ≤Y ，即Y −X ≥0，又由于概率密度函数的非负性，可以把Y −X 看作一个取非负值的随机变量，由此得EY −EX = E(Y −X ) =∫xf （x）≥0 ，其中f (x)为随机变量Y −X 的概率密度函数，故EX ≤EY ．

(4)概率论思维的指向性

概率论思维总是伴随着某一问题情境产生的, 尽管思维场情景之中充满问题解决的诸多" 算子"和策略, 这些"算子"和策略可以纵横交错地发散, 从不同角度沿不同的方向进行延伸, 但最终总是指向某一具体目标. 正是由于概率论思维的指向性, 才能使人们产生对概率论的研究不懈追求的强烈愿望和巨大动力.

(5)概率论思维品质的深刻性

概率论思维品质的深刻性表现在对于具体概率论问题的思考能抓住其本质和规律，并把能获得的知识

方法迁移应用于解决其它问题．对于初学者而言，在概念教学中要尤为重视培养学生的思维深刻性，培养

学生分清实质的能力．这种能力表现为能够洞察所研究事物的本质及其相互联系，能从研究的材料中揭示

被掩盖的特殊情况．

比如，在用古典概率求解问题时，关键在于保证试验满足的有限性和等可能性．下面以试验需要满足

等可能性为例来谈一下概率论思维品质的深刻性．

例一个盒装有大小相同的3 个白球，2 个黑球（编号依次是1，2，3，4，5），从盒中任取1 个，求取到白球的概率．

解设A 表示取白球．正确的做法是取样本空间为Ω ={ ω1 ,ω2,

ω3 ,ω4 ,ω5 }，ωi表示取第i 号球（i =1, 2, 3, 4, 5），事件A = {ω1 , ω2 , ω3 }，所以P(A) = 3/ 5．

对于初学者常常犯的错误是取样本空间为Ω2={ ω1,ω2 }，其中ω1表示白球，ω2 表示黑球．事件A ={w1} ，从而P(A) = 1/2 ．这一结果是错误的．因对于Ω2中的ω1

发生的可能性明显比ω2发生的可能性大，不满足定义中“等可能”这一要求．从所犯的概念性的错误中，可以看出学生不能很准确地把握住概念的本质，实质上这是因为他们还未能及时地适应随机现象的思维方式．

又如，全概率公式：设随机试验E 的空间为Ω．A为E 的事件，B1 , B2 , L, Bn 为Ω的划分，且P(Bi ) > 0 (i =1, 2, L, n)，则P ( A )= P(B1 ) P ( A /B1 ) + P( B2 ) P(A/ B2 )+……+P ( Bn) P( A /Bn ．

在讲解全概率公式的时候，要给学生分析好用此公式解决问题的意义，使学生加深对公式的理解．全概率公式的意义在于对于一个复杂的事，若无法直接求出它的概率P(A) ，则可将A分成若干个简单的事件来求其概率．由此可见，全概率公式可起到化整为零，化难为易的作用．在全概率公式的实际应用中，有不少学生往往不清楚事件组B1 , B2 , L, Bn 究竟表示什么，因而不会合理设计样本空间Ω的一个划分．其实，事件组B1 , B2 , L, Bn 可以看成是引起事件A 发生的一系列原因或A 的发生要受因素B1 , B2 , L, Bn的影响，一个事件A往往可能在若干个不同原因B1 , B2 , L, Bn下发生，因