奇数阶幻方填写的小窍门

奇数阶幻方填写的小窍门

最近我在七年级的数学希望杯的二试辅导中碰到一题十分常见的数学题：在3×3的方格表中填入九个不同的正整数：1，2，3，4，5，6，7，8和x，使得各行、各列所填三个数的和都相等。请确定x的值，并给出一种填数法。

这个题对于每一位数学教师来说都是再熟悉不过的，这是上学时必定做到过的九宫格，也叫“幻方”。很容易算得x=9，并且填好方格也并非难事。在《射雕英雄传》中黄蓉曾破解九宫格有一口诀：戴九履一，右三左七，二四为肩，六八为足。当然填法并非只有这唯一的一种，在解这一题时，我的师傅王永生老师恰好经过我的办公桌看到这一题，他就问我这个题我是怎么填的，有没有特别的窍门，我当时的反应愣了一下，这个熟悉的不能再熟悉的九宫格，我除了知道《射雕英雄传》中的这一口诀，我还从没想过填这么一个简单的九宫格还有什么窍门。

王老师说出了他知道的一种填九宫格的窍门：先把1填在第一行的中间一格，接下来的数依次填在前一个数的右上方。如果右上位置已经填了数字，那么下一个数字就填在前一个数字的下方。整个过程中，如果遇到最右边，那么换到最左边继续；如果遇到最上面，那么换到最下面继续。按照上述方法就可以得到九宫格的答案。而且这一规律也可以用来填9×9的方格。

我之后进行了填写实践，还查了资料，发现这一规律确实存在，而且可以应用于所有奇数阶幻方的填法，不过仅限于等差数列，先将数列按从小到大的顺序排列，也按这个顺序填入格中。将第一个数放在第一行的中间位置，依次向右上方斜填，上出幻方时就放在那一列的最下格，右出幻方时放在那一行的最左格，排重了就放在该填位置的下边一格。还有口诀：“一居上行正中央，依次斜填切莫忘；上出框时向下放，右出框时向左放；排重便在下格填，右上排重一个样。”一个小小的幻方中也蕴含着有趣的数学规律。