二倍角的三角函数-课件

15°
＝sin230°＝4.
(2)原式＝csoins
2200°°＋4sin
20°＝sin
20°＋2sin cos 20°
40°
＝sin
20°＋2sin60°－20° cos 20°
＝sin 20°＋
3cos 20°－sin 20° cos 20°
＝ c3ocsos202°0°＝ 3.
要点二 给值求值问题
例 2 已知 sinπ4－x＝153，0<x<4π，求cocsos4π＋2xx的值．
解
原式＝scionsπ24π＋＋2xx
＝2sinπ4c＋osx4π·＋coxsπ4＋x＝2sinπ4＋x.
∵sinπ4－x＝cos4π＋x＝153， 且 0<x<4π，∴π4＋x∈π4，π2， ∴sinπ4＋x＝ 1－cos2π4＋x＝1123. ∴原式＝2×1123＝2143.
[预习导引]
1．倍角公式
(1)S2α：sin 2α＝ 2sin αcos α
，sin
α 2cos
α2＝12sin α；
(2)C2α：cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α ；
(3)T2α：tan 2α＝1－2tatnanα2α.
2．倍角公式常用变形 (1)s2isnin2αα＝ cos α ，2sicnos2αα＝ sin α ； (2)(sin α±cos α)2＝ 1±sin 2α ； (3)sin2α＝1－c2os 2α ，cos2α＝1＋c2os 2α ； (4)1－cos α＝2sin2α2 ,1＋cos α＝2cos2α2 .
规律方法 在解题过程中要注意抓住角的特点解题，同时要注 意挖掘题目中的隐含条件：π4＋x 与π4－x 存在互余关系．特别要 注意利用这些条件来确定某些三角函数值的符号．
跟踪演练 2 已知 cosα＋π4＝35，π2≤α<32π，求 cos2α＋π4的值．
解 ∵π2≤α<32π，∴34π≤α＋π4<74π，于是可由 cosα＋π4＝35得到
再见
跟踪演练 1 求下列各式的值：
(1)tan 15°＋csoins 1155°°；
(2)tan 20°＋4sin 20°的值．
解 (1)原式＝csoins 1155°°＋csoins 1155°°＝sisni2n1155°＋°cocsos1251°5°
＝sin
1 15°cos
15°＝2sin
2 15°cos
二倍角的三角函数(一)
[学习目标] 1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、
余弦、正切公式． 2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵
活地将公式变形运用．
[知识链接] 1．两角和公式与二倍角公式有联系吗？
答 有联系．在 S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)中，令 β＝α 即可得 S2α， C2α，T2α. 2．什么情况下 sin 2α＝2sin α，tan2α＝2tan α？ 答 一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如 sin 3π≠2sin 6π，只有 当 α＝kπ(k∈Z)时，sin 2α＝2sin α 才成立．只有当 α＝kπ(k ∈Z)时，tan 2α＝2tan α.
(4)原式＝cossi1n01°－0°co3ss1in0°10°
＝212cossin1100°－°co2s31s0in°10°
＝4sin
30°cos 10°－cos 30°sin 2sin 10°cos 10°
10°＝4ssiinn2200°°＝4.
(5)原式＝2sin
20°·cos 20°·cos 40°·cos 2sin 20°
所以
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cos2α＋π4＝
22－2245－275＝－3150
2 .
要点三 给值求角问题 例 3 已知 tan α＝13，tan β＝－17，且 α，β∈(0，π)，求 2α－β
的值． 解 ∵tan α＝13>0，∴α∈0，π2，2α∈(0，π)， ∴tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×13132＝34>0， ∴2α∈0，π2，
又∵tan β＝－17<0，β∈(0，π)，∴β∈2π，π， ∴tan(2α－β)＝1t＋ant2aαn－2αttaannββ＝1＋34－34×－－1717＝1， 又∵2α∈0，2π，β∈2π，π， ∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－34π.
规律方法 在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数， 根据题设确定所求角的范围，然后再求出角．其中确定角的 范围是关键的一步．
sinα＋π4＝－45.即
2 2 cos
α－
2 2 sin
α＝35，22sin
α＋
2 2 cos
α＝－45.
两式相加得 cos α＝－102，两式相减得 sin α＝－7102.
而
cos2α＋π4＝
2 2 (cos
2α－sin
2α)，
cos 2α＝－1022－(－7102)2＝－2245，
sin 2α＝2×－ 102×－7102＝275.
跟踪演练 3 已知 tan α＝17，sin β＝ 1100，且 α，β 为锐角，求 α
＋2β 的值．
解 ∵tan α＝17<1，且 α 为锐角，∴0<α<π4，
又∵sin
β＝
10 10 <
22，且
β
为锐角，∴0<β<π4，
∴0<α＋2β<34π.
由 sin β＝ 1100，β 为锐角，得 cos β＝31010， ∴tan β＝13， ∴tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝12， ∴tan(α＋2β)＝1t－antaαn＋αβ＋＋βttaannββ＝1－12＋12×13 13＝1， 故 α＋2β＝4π.
要点一 给角求值问题 例 1 求下列各式的值：
(1)sin1π2cos1π2；(2)1－2sin2750°；(3)1－2tatnan125105°0°； (4)sin110°－cos 130°；(5)cos 20°cos 40°cos 80°.
ππ π 解 (1)原式＝2sin122cos12＝si2n6＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300° ＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.
80°
＝2sin
40°·cos 4sin
40°·cos 20°
80°
＝2sin88s0in°·2co0s°80°＝s8isnin16200°°＝18.
规律方法 此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式 较为简单，而(4)小题分式一般先通分，再考虑结合三角函数 公式的逆用从而使问题得解．而(5)小题通过观察角度的关系， 发现其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得问题 中可连用正弦二倍角公式，所以在解题过程中要注意观察式 子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用 公式及其变形，从而使问题迎刃而解．