第11章 压杆的稳定性分析与设计

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11.1.3 三种类型的压杆的不同临界状态
不是所有受压杆件都会发生屈曲，也不是所有发生屈曲的 压杆都是弹性的。理论分析与试验结果都表明：根据不同的失 效形式，受压杆件可以分为三种类型，它们的临界状态和临界 载荷各不相同。
细长杆：发生弹性屈曲，当外加
载荷 FP ＜ FPcr 时，不发生屈曲；当
a s b
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11.4 压杆稳定条件及其应用
构件的强度问题取决于危险截面上危险点的应力，所以强 度条件是从一点的应力出发的。 但是压杆稳定问题，既不存在危险截面，也不存在危险点， 其危险标志就是失稳，要使得压杆不失稳，应该使得作用在杆 上的压力F小于压杆的临界应力Fcr，故压杆的稳定条件是：
第11章
压杆的稳定性分析与设计
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失效(failure)或破坏
工程构件在外力作用下丧失正常功能的现象。 失效类型：
(1) 强度失效(failure by lost strength) 指构件在外力作用下发生不可恢复的塑性变形或发生断裂。 因应力超过了材料的极限应力(σb 或σs)而失去承载能力的问题。 (2) 刚度失效(failure by lost rigidity) 指构件在外力作用下产生过量的弹性变形。 (3) 稳定失效(failure by lost stability) 指构件在某种外力作用下，其平衡形式发生突然转变。
critical
Fcritical 2 E p 2 A
2E p
表明：当λ大于或等于极限值 定义：
2E p 时，欧拉公式才是适用的。
2E p p
只与材料有关！
当材料的E、σ p给定之后，就可以独立计算出λp
当压杆的柔度λ大于λp时，可用上述欧拉公式计算，这种杆称 为大柔度杆或细长杆。
粗短杆：不发生屈曲，而发生
屈服(yield)或者断裂(fracture)。
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§9-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
只有当轴向压力 F等于临界载荷 Fcr时，压杆才可能在 微弯状态 保持平 衡。因此，使压杆在微弯状态保持平衡的最小轴向压力，即为压杆的 临界载荷。 1. 临界载荷的欧拉公式

F
x
x
l
(unstable)。
这就是判别弹性平衡稳定性的静力学准则 (statical
criterion of elastic stability )
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在任意微小的外界扰动下，不稳定的平衡构形会转变 为其他平衡构形。不稳定的细长压杆的直线平衡构形，在 外界的微小扰动下，将转变为弯曲的平衡构形。这一过程 称为屈曲(buckling)或失稳(lost stability)。
2 EI
20
F
2 EI
0.7l
2
21
FPcr
2 EI 2 l
适用范围：只有在微弯曲状态下压杆仍 然处于弹性状态时成立。
对于两端为固定铰支链的约束， μ＝1 对于一端固定另一端自由的细长压杆， μ＝2 对于一端固定另一端为固定铰支链的细长杆，μ＝0.7 对于两端固定的细长杆， μ＝0.5
F Fcr
Fcr F [ n]st
Fcr nw [n]st F
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11.3 长细比的概念 三类不同压杆的判断
11.3.1 长细比的定义与概念 前面已经提到欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。这 就要求在临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时，其横截 面上的正应力小于或等于材料的比例极 限，即
cr
Fpcr A
p
cr为临界应力 (critical stress) p为材料的比例极限
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11.1 弹性平衡稳定性的基本概念
11.1.1 平衡位置的稳定性和不稳定性
结构构件或机器零件在压缩载荷或其他特定载荷作用下发 生变形，最终在某一位置保持平衡，这一位置称为平衡位置， 又称为平衡构形(equilibrium configuration)。 承受轴向压缩载荷的细长压杆，有可能存在两种平衡构 形——直线的平衡构形和弯曲的平衡构形。
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极限的非弹性屈曲，或者不发生屈曲而只发生强度失效 ?为了回答这一问题，
critical
Fcritical 2 EI 2E 2E 2E 2E 2 2 2 A 1 2 2 A l l A l l 2 I i i
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(2) 如果压杆的柔度λ<λp时，则压杆的临界应力公式不能采
用欧拉公式计算。这是属于压杆临界应力超出了材料的比例
极限的压杆稳定问题。
直线公式——经验公式
把压杆的临界应力表示为柔度的线性函数
critical a b
其中a、b是与材料性质有关的常数，由实验测定。
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critical a b 的使用范围： s p
( x) A sin
F F x B cos x EI EI 14 常数A，B和F均为未知，由压杆的位移边界条件与变形状态确定。
两端铰链压杆的边界条件为：
(1) 在 x=0 处，ω=0
F ( x) A sin x EI
B0
两端铰支压杆临界状态时的挠曲轴为一正弦曲 线，其最大挠度即幅值 A 则取决于压杆微弯的 程度。
细长比用λ表示，定义为：

l
i
其中μ为反映不同支承影响的长度系数， l为压杆长度，i为全
面反映压杆横截面形状与尺寸的几何量。
所以细长比λ是一个综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸 和截面形状对压杆临界载荷影响的量。
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2. 欧拉公式的适用范围
(1) 欧拉公式的应用范围是材料变形处于线弹性阶段。 Fpcr cr p 临界压缩应力小于材料的比例极限。 A
与两端铰支压杆的挠度曲线形状比较，来推出不同约束条件下
的压杆临界应力公式。
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其他刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式 1. 确定临界载荷的类比法
等于两端铰支，长度为2l的压杆的临界载荷： F
2 EI
2l
2

2 EI
4l 2
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4 2 EI F 2 2 l l 2
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对于细长杆，这些公式可以写成通用形式
FPcr
2 EI 2 l
这一表达式称为欧拉公式。其中 μl 为不同压杆屈曲后挠曲线
上正弦半波的长度称为有效长度(effective length)。 μ 为 反 映 不 同 支 承 影 响 的 系 数 ， 称 为 长 度 系 数 (length coefficient)，可由某种约束条件下杆件屈曲后的正弦半波长度 与 两端铰支约束杆件初始屈曲时 的 正弦半波长度 的 比值 确定。 两端铰支约束杆件初始屈曲时的正弦半波长度 μ = 1。
上图所示杆件在F作用下处于微弯平衡状态，假设杆内应力不超过材
料自身的比例极限时，压杆的挠曲轴方程ω= ω(x)满足下述关系：
d 2 ( x) M ( x) 2 dx EI
M ( x) F ( x) 压杆x截面的弯矩为：
d 2 ( x) F ( x) 0 2 dx EI
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11.3.2 三类不同压杆的区分
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11.3.3. 三类压杆的临界应力公式
2E cr 2
cr a b
cr s 或 cr b
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11.3.4 临界应力总图 与 λP 、λs值的确定
2E P P
小柔度杆 中柔度杆
大柔度杆
s
给定受载方式，杆件工作极限载荷
给定材料、给定尺寸，杆件自身承压极限载荷
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11.2.2 其他刚性支承细长压杆临界载荷的 通用公式
(1) 解析解方法 不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡微 分方程和端部的约束条件都可能各不相同，确定临界载荷的表 达式亦因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。 (2) 类比方法： 以两端铰支的情况为依据，将其他约束的压杆的挠度曲线形状
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当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使得某一平衡
构形偏离原来的平衡构形，外界扰动去除之后，构件仍旧能
自动回复到初始平衡构形，则称初始的平衡构形是 稳定的
(stable)。
当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使得某一平衡
构形偏离原来的平衡构形，外界扰动去除之后，构件不能 自动回复到初始平衡构形，则称初始的平衡构形是不稳定的
本章首先介绍关于弹性体平衡构形稳定性的基本概念，包括： 平衡构形、平衡构形稳定与不稳定的概念以及弹性平衡稳定性的静力
学判别准则。
然后根据微弯的屈曲平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程以及端
部约束条件，确定不同刚性支承条件下弹性压杆的临界力。
最后本章还将介绍工程中常用的压杆稳定设计方法——安全因数法。
对于某一压杆，当临界载荷 FPcr 尚未算出时，不能判断式 (11-9) 是否满足；
当临界载荷算出后，如果式 (11-9)不满足，则还需采用超过比例极限的临界
载荷计算公式重新计算。这些都会给实际设计带来不便。 能否在计算临界载荷之前，预先判断压杆是发生弹性屈曲还是发生超过比例 需要引进长细比(slenderness ratio)的概念。
因压杆变弯而失去承载能力的问题。
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细长杆件承受轴向压缩载荷作用时，将会由于平衡的 不稳定性而发生失效，这种失效称为稳定性失效 (stability failure)，又称为屈曲失效(buckling failure)。
什么是受压杆件的稳定性? 什么是屈曲失效? 按照什么准
则进行设计，才能保证压杆安全可靠地工作，这是工程常规设 计的重要任务之一。
FP ＞ FPcr 时，发生弹性屈曲，即当 载荷去除后，杆仍能由弯形平衡构 形回复到初始直线平衡构形。
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中长杆：发生弹塑性屈曲。当
外加载荷 FP ＜ FPcr 时，不发生屈 曲；当 FP ＞ FPcr 时，它发生屈曲，
但不再是弹性的，这是因为压杆
上某些部分已经出现 塑性 变形， 即当载荷去除后，杆不能完全由 弯形平衡构形 回复到 初始直线平 衡构形。
A0
(2) 在 x=l 处， ω=0
F A sin l 0 EI
与实际情况矛盾！
F l n EI
(n 0,1, 2....)
F 真实解应为 sin l 0 EI
(n 0,1, 2....)
n 2 2 EI F l2
F 2 可知，使得压杆在微弯状 l 态下保持平衡的最小轴向 压力即为压杆的临界载荷。 如果压杆两端为球形铰支，则此公式中 惯性矩I应为压杆横截面的最小惯性矩。 因此，n=1。
通常，屈曲将使构件失效，并导致相关的结构发生坍 塌(collapse)。由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性 后果。
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2007年8月2日，美国明尼苏达州一座跨越密西西比河的大桥发生坍塌
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11.1.2 临界状态与临界载荷
介于稳定平衡构形与不稳定平衡构形之间的平衡构形称为 临 界平衡构形，或称为临界状态(critical state)。处于临界状态的 平衡构形，有时是稳定的，有时是不稳定的，也有时是中性的。 非线性弹性稳定理论已经证明了：对于细长压杆，临界平衡 构形是稳定的。 使 杆 件 处 于 临 界 状 态 的 压 缩 载 荷 称 为 临 界 载 荷 (critical loading)，用FPcr表示。
EI
2
该公式称为欧拉公式， 该载荷称为欧拉临界载荷， 与EI成正比，与l成反比。
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FPcr
EI
2
l
2
在上面式子中，E为压杆材料的弹性模量，I 为压杆横截面的
形心主惯性矩，如果两端在各个方向上的约束都相同， I 则 为压杆横截面的最小形心主惯性矩。
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例题 如图所示的细长圆截面连杆。长度l=800mm，直径d=20 mm，材料为 Q235钢，其弹性模量 E=200 GPa。试计算连杆的 临界载荷。
最低限λs所对应的临界应力等于材料的压缩极限应力 对于塑性材料 (韧性材料) a s s a b s s 对于脆性材料
b a b s
s
b a b b
只与材料有关！
定义： s p
把这种压杆称为中柔度杆。
当 s 时，该类压杆称为小柔度杆 这类小柔度压杆的破坏是由于压应力达到材料的极限应力而 引起的破坏，它不是因失稳而破坏，而是强度问题，要采用第 6 章所学知识来处理。