2020届高考数学二轮复习专题检测二十一选择题第12题填空题第16题专练理

专题检测（二十一） 选择题第12题、填空题第16题专练

一、选择题

1．设a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，a 3，…，a n 成等比数列；q ：(a 2

1＋a 2

2＋…＋a 2

n －1)(a 2

2＋a 2

3＋…＋a 2

n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2

，则( )

A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件

B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件

C ．p 是q 的充分必要条件

D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件

解析：选A (特殊数列)取大家最熟悉的等比数列a n ＝2n

，代入q 命题(不妨取n ＝3)满足，再取a n ＝3n

代入q 命题(不妨取n ＝3)也满足，反之取a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n ＝0时，满足q 命题，但不满足p 命题，故p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件．

2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2

－2x ＋a (e x －1

＋e

－x ＋1

)有唯一零点，则a ＝( )

A ．－1

2

B ．1

3 C ．12

D ．1

解析：选C 法一：由f (x )＝x 2

－2x ＋a (e x －1

＋e

－x ＋1

)，得f (2－x )＝(2－x )2

－2(2－x )＋a [e

2－x －1

＋e

－(2－x )＋1

]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e

1－x

＋e

x －1)＝x 2

－2x ＋a (e

x －1

＋e

－x ＋1

)，所以

f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零

点只能为x ＝1，即f (1)＝12

－2×1＋a (e

1－1

＋e

－1＋1

)＝0，解得a ＝1

2

.

法二：由f (x )＝0⇔a (e x －1＋e

－x ＋1

)＝－x 2

＋2x .

e

x －1

＋e

－x ＋1

≥2e

x －1

·e

－x ＋1

＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．

－x 2

＋2x ＝－(x －1)2

＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a >0，则a (e

x －1

＋e

－x ＋1

)≥2a ，

要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝1

2.

若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，a ＝1

2

.

3．已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )

A ．－200

B ．－100

C ．0

D ．－50

解析：选B 因为函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的图象关于

直线x ＝－1对称．又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝

100

a 1＋a 100

2

＝50(a 50＋a 51)＝－100.

4．(2017·贵州适应性考试)已知点A 是抛物线x 2

＝4y 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA |＝m |PF |，当m 取最大值时，|PA |的值为( )

A ．1

B ． 5 C. 6

D ．2 2

解析：选D 设P (x ，y )，由抛物线的定义知|PF |＝y ＋1，|PA |＝x 2

＋y ＋12

，所

以m ＝

x 2＋y ＋1

2

y ＋1

，平方得m 2

＝x 2＋y ＋12y ＋1

2

，又x 2

＝4y ，当y ＝0时，m ＝1，当y ≠0时，m 2

＝4y ＋y ＋1

2

y ＋12＝

4y y ＋1

2

＋1＝1＋

4y ＋1y

＋2

，由基本不等式可知y ＋1

y ≥2，当且仅当y ＝1时取等号，此时m 取得最大值2，故|PA |＝4＋1＋1

2

＝2 2.

5．对任意实数a ，b ，c ，d ，定义⎝

⎛⎭⎪⎫a

b c

d ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

ad －bc ，ad ≥bc ，

1

2

bc －ad ，ad

已知函数f (x )＝⎝

⎛⎭

⎪⎫

x 41 x ，直线l ：kx －y ＋3－2k ＝0，若直线l 与函数f (x )的图象有两个交点，则实数k 的取值范围是( )

A.⎝

⎛⎭⎪⎫－1，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1724

C.⎝

⎛⎭⎪⎫－1，1724∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 D ．(－1,1)

解析：选A 由题意知，

f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 41 x ＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2－4，x ≤－2或x ≥2，1

2

4－x 2，－2

直线l ：y ＝k (x －2)＋3过定点A (2，3)，画出函数f (x )的图象，如图所示，其中f (x )＝x 2

－4(x ≤－2或x ≥2)的图象为双曲线的上半部分，f (x )＝12

4－x 2

(－2

B (－2,0)，设直线AD 与椭圆相切，D 为切点．由图可知，当k AB

或－1

4

，将y ＝k AD (x －2)＋