高等数学D4_4有理函数积分

x1 2 x
二 、可化为有理函数的积分举例
1. 三角函数有理式的积分 设
表示三角函数有理式 , 则
R(sin x , cos x) dx
x 令 t tan 2
万能代换
t 的有理函数的积分
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1 sin x dx . 例7. 求 sin x(1 cos x) x 解: 令 t tan , 则 2 x x x 2 sin 2 cos 2 2 tan 2 2t sin x 2 x x x sin 2 cos 2 2 1 tan 2 2 1 t 2
1 x 2x 2
2
C
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dx 例6. 求 4 x 1 1 ( x 2 1) ( x 2 1) 解: 原式 dx 4 2 x 1
1 2
1 x2 2 x 12 x
1
1 dx 2
1 x2 2 x 12 x
1
注意本题技巧
解: (1) 用拼凑法
x ( x 1) 2 x( x 1) x( x 1) 2
1
1 2 ( x 1) x( x 1)
1
x ( x 1) 2 x( x 1) ( x 1) 1 1 1 2 x 1 x ( x 1)
1
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第四节 有理函数的积分
第四章
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法
• 初等函数
求导
积分
初等函数
本节内容: 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例
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一、 有理函数的积分
有理函数:
P( x) R( x) Q( x)
a0 x n a1x n1 an
为真分式
m n 时,
有理函数
为假分式; m n 时,
相除 分解
多项式 + 真分 式
若干部分分式之和
其中部分分式的形式为
A ( x a)
; k
MxN ( x p x q)
2 k
( k N , p 2 4q 0 )
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例1. 将下列真分式分解为部分分式 :
1
2 d(1 2 x) 1 d(1 x 2 ) 1 dx 原式 2 5 1 2x 5 1 x2 5 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
例1(3)
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例3. 求 解: 原式
Mx N 3. 2 dx x px q Mx N 4. 2 dx n ( x p x q)
变分子为
M 2
(2 x p) N
Mp 2
再分项ห้องสมุดไป่ตู้分
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例2. 求 解: 已知
1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
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例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) dx 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
2
dx d( x 2 2 x 2) 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2) 2
arctan(x 1)
dx
按常规方法较繁
1 1 2 ( x 1 )2 2 2 ( x 1 )2 2
x x
d( x 1 ) x
d( x 1 ) x
(见P348公式21)

1 2 2
arctan
x1 x
1 1 C ln 2 22 2 x1 2 x
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思考: 如何求
提示: 变形方法同例3, 并利用 P209 例9 .
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说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,
但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. 例4. 求
解:
2 x 5x 2x 5 I 4 dx 4 dx 2 2 x 5x 4 x 5x 4
1 ( 2 x 2) 3 2
x 2x 3
2
2
dx
d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
1 4 2x 1 原式 = 5 1 2x 1 x2
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2 B 5 1 C 5
四种典型部分分式的积分:
A 1. dx A ln x a C xa A A ( x a )1n C (n 1) 2. dx n 1 n ( x a)
(2) 用赋值法
x3 A B 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x3
x3 A (x 2) 原式 5 x 2 x 3 x 2 x3 6 B (x 3) 原式 x 3 x2 x 3
3 2
( x 2 1) ( x 2 4) 1 d( x 4 5 x 2 5) dx 4 2 2 2 2 x 5x 4 ( x 1)( x 4) 1 1 x 4 2 ln x 5 x 4 arctan arctan x C 2 2 2
故
5 6 原式 x2 x3
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(3) 混合法
Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
1
4 A (1 2 x) 原式 1 x 2 5 4 1 C 5 1 4 BC 6 15 2