弹性地基梁
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13 11 A A 10 9
2 u1 bK
2
13 11 A A 10 9
单位水平力时，墙顶转角及水平位移
2 2 2 u1 bK
2 10 13 A u2 bK 9 10 A
l为梁的长度（即边墙高度），为弹性 地基梁的弹性特征值
Kb 4EI
4
（2）弹性地基梁在梁端荷载作用下的 梁端位移计算（仍然采用叠加原理）
① 边墙为短梁
当墙顶作用一单位力矩时，墙顶所产生的转
角和水平位移
4 1 bK
3
11 12 A A 10 9
uc x1u1 x2 (u2 fu1 ) u p uc c K
（4）边墙内力和位移计算
墙端初参数：
c c c c
墙顶 c 点的作用力M 、H 和位移 、u 求得后
利用弹性地基梁的初参数公式求得边墙 各截面的内力和位移:式（5.4.22）
边墙为短梁时，距墙顶为x的任一截面的 内力和位移的计算公式如下
单跨结构
多跨结构
底部为组合的弹 性地基梁
（2）计算原理 弹性地基上平面框架的内力计算仍可采用结构力学中 的力法，只是需要将底板按弹性地基梁来考虑。 以单层单跨矩形框架结构为例。
计算图式
基本结构
X 1 11 X 2 12 X 3 13 1p 0 X 1 21 X 2 22 X 3 23 2p 0 X 1 31 X 2 32 X 3 33 3p 0
同理计算
ik ip
利用弹性地基梁理论计算bik和bip。（表格法） M M
l l
x
l
y
l
计算思路：
根据附表5、附表6，查取单位力作用在底板两端，引起的两端的
角变系数 计算出拱顶单位力、外荷载作用下底板两端产生的集中力R和弯矩 M； 根据底板两端单位力引起的角变系数和两端的集中力和弯矩，计 算底板两端产生的转角 计算单位力作用下，弹性地基底版在拱顶切开处产生的单位位移 和荷载位移
5.4
弹性地基梁法
1. 直墙拱形结构计算
（1）计算原理
①结构 拱圈支承在弹性地基
梁上的弹性固定无铰 拱 边墙双向弹性地基梁
②弹性反力
拱圈：任意截面弹性反力荷载图形假设为二
次抛物线，作用方向为径向；计算公式 （5.4.1）；
cos b cos i i c 2 2 cos b cos c
l
l y
l
x
l
例5.4.1
计算示意图
典型方程：结构对称，荷载对称
X 1 11 X 2 12 1p 0 X 1 21 X 2 22 2 p 0
利用图乘法计算基本结构在单位力及外荷载作用下的变 位
ij
MiMk ds EI
1 11.424 (2 5.712 ) EI EI
b22 2 3 A 2
34.272 EI
在外荷载作用下 外荷载作用下,弹性地基梁（底板）的变形使框架切口 处沿X1及X2方向产生位移 计算时应分别考虑外荷载传给地基梁两端的力R及弯矩 M的影响。
P314
Pl2 ＝表中系数 EI
b2 p b1p
214 .56 · h EI
将以上求出的相应数值叠加，得系数及自由项; 代入典型方程求未知力
X 1 11 X 2 12 1p 0 X 1 21 X 2 22 2 p 0
计算内力 上部结构（除底板），根据结构力学的知识
即可解出赘余力，然后按下式
M ip M X 1p X 2 p yi 0 N ip N ip X 2 p cos i
0 ip
求解结构内力
拱圈在拱部单位弹性反力图作用下的计 算公式与主动荷载的情况相似； 从上述结果可求出拱部在主动外荷载和 单位弹性反力作用下最后的内力 。 此时墙顶位移利用叠加原理，并附加方 程。可解出墙顶的所有参数。
M i M 1i X 1 M 2i X 2 M ip Ni N1i X 1 N 2i X 2 N ip
底板的内力计算
按弹性半无限体计算地基梁的内力，在梁上受集
中力和受力矩荷载进行叠加。
基本结构
若结构对称，荷载对称，则X3=0，典型方程只有两个。
单位位移 荷载位移
ik
ip
分为底板部分和其余部分的和；底板部 分按弹性地基梁中的计算，而其余部分 则按结构力学的方法计算。
框架基本结构在单位力 X k ＝1 作用下， X i 方向产生的位移
底板按弹性地基梁在单位力 X k ＝1 作用下，切口处 x i 方向的位移
2 2
边墙：用弹性地基梁的方法计算
③附加一个方程：墙顶变位
c c K
④拱圈内力的计算：在原理上与弹性固 定的高拱结构完全相同 ，只是计及墙顶 变位 ⑤边墙：作为弹性地基上的直梁来计算
边墙
弹性地基梁，按其换算长度l的不同， 可分为3种情况：
① 长梁
l ≥ 2.75
② 短梁 1<l<2.75 ③ 刚性梁 1≥l
单位力作用下
单位力作用在底板两端，引起的两端的 角变系数（P313附表5、附表6） 首先计算出弹性地基梁的柔度指标t：
E (1 c2 ) l t 10 E c (1 2 ) d 查M=1N· m作用下在α＝1，ξ＝1处的转 角变系数
3
=-0.952(表中系数)
ik ik bik ip ip bip
底板按弹性地基梁在外荷载 q 作用下，切口处 X i 方向的位移。
框架基本结构在外荷载作用下， X i 方向产生的位移（不包括底板）
求矩形框架 的内力
上部结构
N M M N
根据冗余力可X1、X2和X3计算出上 部框架的内力； （叠加法） 底板的内力根据弹性地基梁方法求出。
主动侧压力e＝1时，墙顶的转角及水平位移
4 3 A e A bK 9 10
1 ue bK
14 15 A A 10 9
式中 A，n及φ1～φ4，φ9～φ15见教材310～ 312
在单位力X1＝1作用下，框架切口处沿X1方向的相对角位移为
b11 2 A1
1.904 1 2 3.81 EI EI
同理，在X2＝1作用下，使框架切口处沿X1方向产生的相对角位移为
b21 b12 2 A 2
的相对线位移为
在X2＝1作用下，由于弹性地基梁的变形使框架切口处沿X2方向产生
βc uc ——拱脚（墙顶）最终位移值，
u c M c u1 H c u 2
源自文库
c M c 1 H c 2
根据地基局部变形理论求得边墙各截面 的抗力为
Ku
§5.4 弹性地基梁法
2、弹性半无限平面地基上的闭合框架的计算方法 （1）计算图式的建立 不考虑支托的影响，矩形框架结构的杆件简化为等截 面。 因结构在荷载作用下，跨度变化不明显，设计中不考 虑地层的侧向抗力。 边墙底及梗肋、立柱底端及梗肋为刚度无限大的刚性 梁，在这些部位只有竖直沉降和转动而无变形；中间 底板则为定长度或无限长度的弹性地基梁；基底反力 按弹性地基梁计算。 结构底端的摩擦力较大，底部无水平位移。
AM 在单位力X1＝1作用下，A点产生弯矩：
MA＝1kN· m（顺时针）
＝表中系数
Ml EI
根据 MA＝1 kN· m，按照弹性地基梁计 算，在α＝1，ξ＝1处，产生的转角
A1 0.952
(1) 2.0 1.904 EI EI
A2
(3) 2.0 5.712 0.952 EI EI
u cp ( X 1p fX 2 p )u1 X 2 p u 2 u
0 cp
式中：
M 1 H 2
0 cp 0 cp 0 cp
u M u H u2
0 cp 0 cp 1 0 cp
带入冗力方程，得：
X 1p 11 1）＋X 2（ 12＋f1 2 ) (1p c0p ) 0 （ p 2 X 1p 21 f1 u1）＋X 2（ 22＋u 2 2 f 2 f 1 ) （ p 0 0 (2 p f cp ucp ) 0
（3）拱圈内力计算
计算图示
计算拱部在主动荷载作用下的典型方程
X 1p 11 X 2 p 12 1p cp 0 X 1p 21 X 2 p 22 2 p f cp
u cp 0
0 cp
拱脚位移
cp ( X 1p fX 2 p ) 1 X 2 p 2
AR
40 2.0 2 40.4 顺时针转动 0.252 EI EI
40 2.0 76.16 逆时针转动 EI EI
AM 0.952
由此计算切口处X1、X2方向的变位：
b1p 2( AR
71.52 40.4 76.16 AM ) 2 EI EI EI
K K 1 M u c 3 c 4 M c 1 H c 2 2 2 4 3 2 K K H u c 2 c 3 M c 4 H c 2 2 2 3 2 2 2 u c 4 c 1 M c 4 H c 3 K K 1 2 3 u u c 1 c 2 M c 3 H c 4 2 K K
2 u1 bK
2
13 11 A A 10 9
单位水平力时，墙顶转角及水平位移
2 2 2 u1 bK
2 10 13 A u2 bK 9 10 A
l为梁的长度（即边墙高度），为弹性 地基梁的弹性特征值
Kb 4EI
4
（2）弹性地基梁在梁端荷载作用下的 梁端位移计算（仍然采用叠加原理）
① 边墙为短梁
当墙顶作用一单位力矩时，墙顶所产生的转
角和水平位移
4 1 bK
3
11 12 A A 10 9
uc x1u1 x2 (u2 fu1 ) u p uc c K
（4）边墙内力和位移计算
墙端初参数：
c c c c
墙顶 c 点的作用力M 、H 和位移 、u 求得后
利用弹性地基梁的初参数公式求得边墙 各截面的内力和位移:式（5.4.22）
边墙为短梁时，距墙顶为x的任一截面的 内力和位移的计算公式如下
单跨结构
多跨结构
底部为组合的弹 性地基梁
（2）计算原理 弹性地基上平面框架的内力计算仍可采用结构力学中 的力法，只是需要将底板按弹性地基梁来考虑。 以单层单跨矩形框架结构为例。
计算图式
基本结构
X 1 11 X 2 12 X 3 13 1p 0 X 1 21 X 2 22 X 3 23 2p 0 X 1 31 X 2 32 X 3 33 3p 0
同理计算
ik ip
利用弹性地基梁理论计算bik和bip。（表格法） M M
l l
x
l
y
l
计算思路：
根据附表5、附表6，查取单位力作用在底板两端，引起的两端的
角变系数 计算出拱顶单位力、外荷载作用下底板两端产生的集中力R和弯矩 M； 根据底板两端单位力引起的角变系数和两端的集中力和弯矩，计 算底板两端产生的转角 计算单位力作用下，弹性地基底版在拱顶切开处产生的单位位移 和荷载位移
5.4
弹性地基梁法
1. 直墙拱形结构计算
（1）计算原理
①结构 拱圈支承在弹性地基
梁上的弹性固定无铰 拱 边墙双向弹性地基梁
②弹性反力
拱圈：任意截面弹性反力荷载图形假设为二
次抛物线，作用方向为径向；计算公式 （5.4.1）；
cos b cos i i c 2 2 cos b cos c
l
l y
l
x
l
例5.4.1
计算示意图
典型方程：结构对称，荷载对称
X 1 11 X 2 12 1p 0 X 1 21 X 2 22 2 p 0
利用图乘法计算基本结构在单位力及外荷载作用下的变 位
ij
MiMk ds EI
1 11.424 (2 5.712 ) EI EI
b22 2 3 A 2
34.272 EI
在外荷载作用下 外荷载作用下,弹性地基梁（底板）的变形使框架切口 处沿X1及X2方向产生位移 计算时应分别考虑外荷载传给地基梁两端的力R及弯矩 M的影响。
P314
Pl2 ＝表中系数 EI
b2 p b1p
214 .56 · h EI
将以上求出的相应数值叠加，得系数及自由项; 代入典型方程求未知力
X 1 11 X 2 12 1p 0 X 1 21 X 2 22 2 p 0
计算内力 上部结构（除底板），根据结构力学的知识
即可解出赘余力，然后按下式
M ip M X 1p X 2 p yi 0 N ip N ip X 2 p cos i
0 ip
求解结构内力
拱圈在拱部单位弹性反力图作用下的计 算公式与主动荷载的情况相似； 从上述结果可求出拱部在主动外荷载和 单位弹性反力作用下最后的内力 。 此时墙顶位移利用叠加原理，并附加方 程。可解出墙顶的所有参数。
M i M 1i X 1 M 2i X 2 M ip Ni N1i X 1 N 2i X 2 N ip
底板的内力计算
按弹性半无限体计算地基梁的内力，在梁上受集
中力和受力矩荷载进行叠加。
基本结构
若结构对称，荷载对称，则X3=0，典型方程只有两个。
单位位移 荷载位移
ik
ip
分为底板部分和其余部分的和；底板部 分按弹性地基梁中的计算，而其余部分 则按结构力学的方法计算。
框架基本结构在单位力 X k ＝1 作用下， X i 方向产生的位移
底板按弹性地基梁在单位力 X k ＝1 作用下，切口处 x i 方向的位移
2 2
边墙：用弹性地基梁的方法计算
③附加一个方程：墙顶变位
c c K
④拱圈内力的计算：在原理上与弹性固 定的高拱结构完全相同 ，只是计及墙顶 变位 ⑤边墙：作为弹性地基上的直梁来计算
边墙
弹性地基梁，按其换算长度l的不同， 可分为3种情况：
① 长梁
l ≥ 2.75
② 短梁 1<l<2.75 ③ 刚性梁 1≥l
单位力作用下
单位力作用在底板两端，引起的两端的 角变系数（P313附表5、附表6） 首先计算出弹性地基梁的柔度指标t：
E (1 c2 ) l t 10 E c (1 2 ) d 查M=1N· m作用下在α＝1，ξ＝1处的转 角变系数
3
=-0.952(表中系数)
ik ik bik ip ip bip
底板按弹性地基梁在外荷载 q 作用下，切口处 X i 方向的位移。
框架基本结构在外荷载作用下， X i 方向产生的位移（不包括底板）
求矩形框架 的内力
上部结构
N M M N
根据冗余力可X1、X2和X3计算出上 部框架的内力； （叠加法） 底板的内力根据弹性地基梁方法求出。
主动侧压力e＝1时，墙顶的转角及水平位移
4 3 A e A bK 9 10
1 ue bK
14 15 A A 10 9
式中 A，n及φ1～φ4，φ9～φ15见教材310～ 312
在单位力X1＝1作用下，框架切口处沿X1方向的相对角位移为
b11 2 A1
1.904 1 2 3.81 EI EI
同理，在X2＝1作用下，使框架切口处沿X1方向产生的相对角位移为
b21 b12 2 A 2
的相对线位移为
在X2＝1作用下，由于弹性地基梁的变形使框架切口处沿X2方向产生
βc uc ——拱脚（墙顶）最终位移值，
u c M c u1 H c u 2
源自文库
c M c 1 H c 2
根据地基局部变形理论求得边墙各截面 的抗力为
Ku
§5.4 弹性地基梁法
2、弹性半无限平面地基上的闭合框架的计算方法 （1）计算图式的建立 不考虑支托的影响，矩形框架结构的杆件简化为等截 面。 因结构在荷载作用下，跨度变化不明显，设计中不考 虑地层的侧向抗力。 边墙底及梗肋、立柱底端及梗肋为刚度无限大的刚性 梁，在这些部位只有竖直沉降和转动而无变形；中间 底板则为定长度或无限长度的弹性地基梁；基底反力 按弹性地基梁计算。 结构底端的摩擦力较大，底部无水平位移。
AM 在单位力X1＝1作用下，A点产生弯矩：
MA＝1kN· m（顺时针）
＝表中系数
Ml EI
根据 MA＝1 kN· m，按照弹性地基梁计 算，在α＝1，ξ＝1处，产生的转角
A1 0.952
(1) 2.0 1.904 EI EI
A2
(3) 2.0 5.712 0.952 EI EI
u cp ( X 1p fX 2 p )u1 X 2 p u 2 u
0 cp
式中：
M 1 H 2
0 cp 0 cp 0 cp
u M u H u2
0 cp 0 cp 1 0 cp
带入冗力方程，得：
X 1p 11 1）＋X 2（ 12＋f1 2 ) (1p c0p ) 0 （ p 2 X 1p 21 f1 u1）＋X 2（ 22＋u 2 2 f 2 f 1 ) （ p 0 0 (2 p f cp ucp ) 0
（3）拱圈内力计算
计算图示
计算拱部在主动荷载作用下的典型方程
X 1p 11 X 2 p 12 1p cp 0 X 1p 21 X 2 p 22 2 p f cp
u cp 0
0 cp
拱脚位移
cp ( X 1p fX 2 p ) 1 X 2 p 2
AR
40 2.0 2 40.4 顺时针转动 0.252 EI EI
40 2.0 76.16 逆时针转动 EI EI
AM 0.952
由此计算切口处X1、X2方向的变位：
b1p 2( AR
71.52 40.4 76.16 AM ) 2 EI EI EI
K K 1 M u c 3 c 4 M c 1 H c 2 2 2 4 3 2 K K H u c 2 c 3 M c 4 H c 2 2 2 3 2 2 2 u c 4 c 1 M c 4 H c 3 K K 1 2 3 u u c 1 c 2 M c 3 H c 4 2 K K