第三节分部积分法

第三节 分部积分法
分布图示
★ 分部积分公式
★ 几点说明 ★ 例1 ★ 例2
★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10
★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14
★ 例15 ★ 例16 ★ 例17 ★ 例18
★ 分部积分的列表法
★ 例19 ★ 例20
★ 例21 ★ 例22 ★ 内容小结
★ 课堂练习 ★ 习题4-3
内容要点
分部积分公式：
⎰⎰-=vdu uv udv (3.1) ⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)
分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m, n 都是正整数).
.arctan arccos arcsin )
(ln cos sin cos sin 等mx x mx x mx
x x x e x mx e mx
e mx x mx
x n n n n mx n nx nx n n
例题选讲
例1 (E01) 求不定积分 ⎰xdx x cos .
解一 令,2,cos 2dv x d xdx x u =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==
⎰⎰⎰+
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,sin 2
cos 22cos cos 222xdx x x x x xd xdx x 显然, ν',u 选择不当，积分更难进行.
解二 令,sin cos ,dv x d xdx x u ===
⎰⎰=x xd xdx x sin cos ⎰-=xdx x x sin sin .cos sin C x x x ++=
例2 (E02) 求不定积分 ⎰dx e x x
2. 解 dv de dx e x u x x ===,2
x x de x dx e x ⎰⎰=22⎰-=dx xe e x x x 22⎰
-=x x xde e x 22.)(22C e xe e x x x x +--= 注：若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积, 可设幂函数为u, 而将其余部分凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 幂函数的幂次降低一次.
例3 (E03) 求不定积分 ⎰xdx x arctan .
解 令,2,arctan 2dv x d xdx x u =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==
⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2arctan arctan 2x xd xdx x ⎰-=)(arctan 2arctan 222x d x x x dx x x x x ⎰
+⋅-=222112arctan 2 dx x x x ⎰
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅-=2211121arctan 2.)arctan (21arctan 22C x x x x +--=
例4 (E04) 求不定积分 ⎰xdx x ln 3.
解 令,4,ln 43
dv x d dx x x u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰4ln ln 43x d x xdx x ⎰
-=dx x x x 3441ln 41.161ln 4144C x x x +-=
注：若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积, 可设对数函数或反三角函数为u, 而将幂函数凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 对数函数或反三角函数消失.
例5 (E05) 求不定积分⎰xdx e x sin .
解 ⎰⎰=x x de dx e sin sin )(sin sin x d e x e x x ⎰-=⎰
-=xdx e x e x x cos sin ⎰-=x x xde x e cos sin )cos cos (sin ⎰--=x d e x e x e x x x
⎰
--=xdx e x x e x x sin )cos (sin .)cos (sin 2
sin C x x e dx e x
x
+-=∴⎰ 注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积,u, dv 可随意选取, 但在两次分部积分中,
必须选用同类型的u, 以便经过两次分部积分后产生循环式, 从而解出所求积分.
例6 (E06) 求不定积分⎰dx x )sin(ln .
解 )][sin(ln )sin(ln )sin(ln x xd x x dx x ⎰⎰-=
dx x x x x x 1)cos(ln )sin(ln ⋅-=⎰
)][cos(ln )cos(ln )sin(ln x d x x x x x ⎰+-=
dx x x x x ⎰
--=)sin(ln )]cos(ln )[sin(ln .)]cos(ln )[sin(ln 2
)sin(ln C x x x dx x +-=∴⎰
灵活应用分部积分法,可以解决许多不定积分的计算问题. 下面再举一些例子,请读者悉心体会其解题方法.
例7 (E07) 求不定积分
⎰xdx 3sec . 解 ⎰⎰=x xd xdx tan sec sec 3⎰
-=xdx x x x 2tan sec tan sec ⎰--=dx x x x x )1(sec sec tan sec 2⎰⎰+-=xdx xdx x x sec sec tan sec 3
⎰
-++=xdx x x x x 3sec |tan sec |ln tan sec 由于上式右端的第三项就是所求的积分⎰
,sec 3xdx 把它移到等号左端去，再两端各除以2，便得.|)tan sec |ln tan (sec 2
1sec 3C x x x x xdx +++=⎰
例8 求不定积分.1arcsin dx x x
⎰-
解 x d x dx x x
--=-⎰
⎰1arcsin 21arcsin x d x x x arcsin 12arcsin 12⎰-+--=
dx x x x
x x ⎰--+--=11arcsin 12
.2arcsin 12C x x x ++--=
例9 求不定积分.1arctan 2dx x x
x ⎰+
解 221arctan 1arctan x xd dx x x
x +=+⎰⎰⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+='⎪⎭⎫ ⎝⎛+2211x x x )(arctan 1arctan 122x d x x x ⎰+-+=
⎰+⋅+-
+=dx x x x x 222111arctan 1 x d x x x ⎰
+-+=2211arctan 1 ⎰
⎰⎰=+=+tdt tdt t t x x d x sec sec tan 11tan 11
222.)1ln()tan ln(sec 2C x x C t t +++=++= ∴ 原式.)1ln(arctan 122C x x x x +++-+=
例10 (E08) 求不定积分dx e x ⎰.
解 令,x t =则,2,2tdt dx t x ==于是
tdt e dx e
t x ⎰⎰=2t de t ⎰=2dt e te t t ⎰-=22 C e te t t +-=22C t e t +-=)1(2.)1(2C x e x +-=
例11 求不定积分⎰
+dx x )1ln(.
解 令,x t =则,2t x = 2)1ln()1ln(dt t dx x ⎰⎰+=+)1ln()1ln(22t d t t t +-+=⎰dt t t t t ⎰
+-+=1)1ln(22 ⎰
⎰+---+=t
dt dt t t t 1)1()1ln(2.)1ln(2)1ln(22C t t t t t ++-+-+= .2
)1ln()1(C x x x x +-++-= 例12 求.33/1dx x e I x
⎰=
解法 1 先分部积分，后换元.设,1,33/1dx x dv e u x =
=则
,23,313/23/23/1x v dx e x du x =⋅=- 于是 ⎰
-⋅=dx e e x I x x 3/13/121233/2 再设,3t x =则,32dt t dx =于是
dt te e t dt e t dx e t t t x ⎰⎰⎰-=⋅=633223/1()
.)22(36322C e t t dt e te e t t t t t ++-=--=⎰ 代入上式, 得
C e x x e x I x x ++--⋅=3/13/1)22(2
3233233/2.)1(33/13C e x x +-= 解法 2 先换元, 后分部积分.设,3t x =,32dt t dx =则
dt e t dt t t e I t t
⎰
⎰=⋅=332 再设,,dt e dv t u t ==则
c e te dt e te I t t t t +-=-=⎰3333.)1(33/13c e x x +-=
例13 求不定积分.2)
1arcsin()1(2⎰---dx x x x x
解 令,1x t -=则,dt dx -=于是 原式⎰
⎰-+=--=)1(arcsin 1arcsin 22t td dt t t
t dt t t t t 222111
arcsin 1-⋅---=⎰
12arcsin 1C t t t +--=
.)1arcsin(22C x x x x ++--=
其中.11-=C C
例14 (E09) 求不定积分⎰
+=n n a x dx I )(22, 其中n 为正整数. 解 用分部积分法，当1>n 时有
dx a x x n a x x a x dx n n n ⎰
⎰+-++=+--)()1(2)()(222
122122
,)()(1)1(2)(222
122122dx a x a a x n a x x n n n ⎰
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-++=-- 即 ),)(1(2)
(211221n n n n I a I n a x x I --++=--- 于是 .)32()()1(2111222⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++-=--n n n I n a x x n a I 以此作递推公式，并由,arctan 11C a
x a I +=
即可得.n I 例15 (E10) 已知)(x f 的一个原函数是2x e -, 求⎰
'dx x f x )(.
解 ⎰⎰=')()(x xdf dx x f x ⎰-=,)()(dx x f x xf 根据题意,)(2C e dx x f x +=-⎰再注意到
()),()(x f dx x f ='⎰
两边同时对x 求导，得,2)(2x xe x f --= ⎰⎰-='∴dx x f x xf dx x f x )()()(.2222C e e x x x +--=--
例16 求不定积分.cos sin cos 23sin dx x
x x x e x -⎰ 解 先折成两个不定积分，再利用分部积分法. 原式dx x x e xdx x e x x ⎰⎰-⋅=2sin sin cos sin cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰
⎰x d e xde x x cos 1sin sin ⎰
⎰+--=dx e x e dx e xe x x x x sin sin sin sin cos .cos 1sin sin C e x xe x x +-=
例17 求不定积分⎰.)ln(tan sin dx x x
解 ⎰⎰-=x d x dx x x cos )ln(tan )ln(tan sin )ln(tan cos )ln(tan cos x xd x x ⎰+-= x d x
x x ⎰+
-=sin 1)ln(tan cos .|cot csc |ln )ln(tan cos C x x x x +-+-= 例18 求不定积分⎰
+dx x e x x
22)2(. 解 选,2x e x u =于是
⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+21)2(222x d e x dx x e x x x ⎰
+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=)(212122x x e x d x x e x
dx x e x xe x e x x x x ⎰++++-=2
2222 dx xe x e x x x ⎰++-=22x x de x x e x ⎰
++-=22 dx e xe x e x x x x ⎰
-++-=22.22C e xe x e x x x x +-++-= 注: 本题选x
e x u 2=比选22
)2(+=x x u 更能使解题方便.
例19 计算不定积分⎰.ln xdx x
解 x ln 不易求积分，只能放在左列，而x 放在右列,列表如下:
x x →+ln )(
22
11)(x x →- ⎰⎰⋅-⋅=∴dx x x x x xdx x 2221121ln ln .4
1ln 2121ln 21222c x x x xdx x x +-=-=⎰
例20 计算不定积分⎰
.ln xdx
解 x ln 可看作乘积形式,ln 1x ⋅将x ln 放在左列,1放在右列，列表如下: 1ln )(→+x x x
→-1)( ⎰⎰+-=⋅-
=∴.ln 1ln ln c x x x xdx x
x x xdx 例21 计算不定积分⎰.sin xdx x
解 函数x 和x sin 都是易求原函数的函数,都可放右列，但考虑到左列的函数应是求导后逐渐简单的，故x 放左列, x sin 放右列列表如下:
x x sin )(→+
1)(- x cos -
x sin 0)(-→+
⎰
+-⋅--=∴c x x x xdx x )sin (1cos sin .sin cos c x x x ++-=
例22 计算不定积分.cos xdx e x ⎰.
解 函数x e x cos ,都是易求原函数的函数，且它们的导函数分别是稳定的x e 和x sin (或x cos )形式，故它们的左右位置可随意选取.例如选取x e 为左, x cos 为右, 可得 x e x cos )(→+
x e )(- x sin
x e x cos )(-→+
⎰
⎰-+--=∴dx x e x e x e xdx e x x x x )cos ()cos (sin cos ， 移项得.)cos (sin 2
cos c x x e xdx e x
x
++=⎰
课堂练习 1. 求不定积分;sin 2⎰xdx x
2. 求不定积分⎰
-xdx e x 2sin .。