中考数学 利用轴对称求最短距离知识点讲解及同步练习题

设 A′是 A 的对称点，本问题也就是要使 A′M 与 BM 的和最小。在连接 A′B 的线中，线段 A′B 最短。因此，线段
A′B 与直线 a 的交点 C 的位置即为所求。
如图 3，为了证明点 C 的位置即为所求，我们不妨在直线 a 上另外任取一点 N，连接 AN、BN、A′N。
因为直线 a 是 A，A′的对称轴，点 M,N 在 a 上，所以 AM= A′M,AN= A′N。
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中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋ 9 ＝ 25 .∴当 x＝ 25 时，△PBC 的周长最小， y 值略。
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数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，合理组织教学内容，建立科
学的训练系统。使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。
析：展开图如图所示， 25 29 37
D D1
C1
D1
①
D
C1
A1
1
②
B1 C1
1③
2
C
2
A 4 B2 C
A 1 A1 4 B1
A
4
B
AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ; AC1 =√52+22 =√29 .
路线 1 即为所求。 长、宽、高中，较短的两条边的 和作为一条直角边，最长的边作 为另一条直角边， 斜边长即为最 短路线长。
关于 EH 的对称点 B′,作 AC⊥GH 于点 C,连接 A B′。在 Rt△A B′C 中，AC﹦16, B′C﹦12,求得 A B′﹦20，则蚂
蚁爬行的最短路程为 20cm。
通过变式训练既解决了一类问题，又归纳出了最本质的东西，以后学生再碰到类似问题时学生就不会不知所措。
同时变式训练培养了学生思维的积极性和深刻性，发展了学生的应变能力。
五、立体图形中的对称
题目 5 如图 1 是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的 A 处，它想吃到盒内表面对侧中点 B
处的食物，已知盒高 h＝10cm，底面圆的周长为 32cm，A 距离下底面 3cm．请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，
它爬行的最短路程为
cm．
点评：如图 2，此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决，将圆柱的侧面展开得矩形 EFGH,作出点 B
显然当 P、A、B 三点共线时 PB＋PA 最小.此时 DP＝DE，PB＋PA＝AB.由∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△
DAF∽△ABC. EF∥BC，得 AE＝BE＝ 1 AB＝ 15 ，EF＝ 9 .∴AF∶BC＝AD∶AB，即 6∶9＝AD∶15.∴AD＝10. Rt△ADF
点评：此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质，点 D 关于直线 AC 的对称点正好是点 B，最小值为
MB＝10。
A
பைடு நூலகம்
D
M N
B
C
第 3 题图
第 4 题图
四、圆中的对称
题目 4 已知：如图，已知点 A 是⊙O 上的一个六等分点，点 B 是弧 AN 的中点，点 P 是半径 ON 上的动点，若⊙O
的半径长为 1，求 AP+BP 的最小值。
同时每年的中考题也千变万化，为了提高学生的应对能力，除了进行专题训练外，还要多归纳多总结，将一类问题
集中呈现给学生。
一、 两条直线间的对称 题目 1 如图，在旷野上，一个人骑马从 A 出发，他欲将马引到河 a1 饮水后再到 a2 饮水，然后返回 A 地，问
他应该怎样走才能使总路程最短。 点评：这道题学生拿到时往往无从下手。但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。作法：过点 A 作 a1 的对
是
__
点评：本题只要把点 C、D 看成基本题中的Ａ、Ｂ两镇，把线段 AB 看成燃气管道 a，问题就可以迎刃而解了，
本题只是改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。
三、四边形中的对称
题目 3 如图，正方形 ABCD 的边长为 8， M 在 DC 上，且 DM=2,N 是 AC 上的动点，则 DN+MN 的最小值为多少？
点评：这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。点 B 的对称点 B′在圆上，AB′交 ON 于点 p′,由∠AON﹦60°,
∠B′ON﹦30°，∠AOB′﹦90°，半径长为 1 可得 AB′﹦ 2 。当点 P 运动到点 p′时，此时 AP+BP 有最小值为 2 B′
h
B
A
第 5 题图 1
第 5 题图 2
利用轴对称求最短距离问题
基本题引入:如图（1），要在公路道 a 上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。加油站修在公路道 的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？
你可以在 a 上找几个点试一试,能发现什么规律?
·B
·B
·B
·A
·A
·A
a
·A′ M
a
a
·A′ M N
图1
图2
图3
思路分析：如图 2，我们可以把公路 a 近似看成一条直线，问题就是要在 a 上找一点 M，使 AM 与 BM 的和最小。
称点 A′，作 a2 的对称点 A〞,连接 A′A〞交 a1、a2 于 B、C,连接 BC.所经过路线如图 5： A-B-C-A,所走的总路程 为 A′A〞。
A′ B
a1 A
A E
a2 C
A″
第 1 题图
二、三角形中的对称
C
B
D
第 2 题图
题目 2 如图,在△ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D 是 BC 边上的中点,E 是 AB 边上的一动点,则 EC+ED 的最小值
∴AM+BM= A′M+BM= A′B
在△A′BN 中，
∵A′B＜A′N+BN
∴AM+BM＜AN+BN
即 AM+BM 最小。
点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。思路如
下：②∵BC＝9（定值），∴△PBC 的周长最小，就是 PB＋PC 最小.由题意可知，点 C 关于直线 DE 的对称点是点 A，
综上所述，引导学生在熟练掌握书本例题、习题的基础上，进行科学的变式训练，对巩固基础、提高能力有着
至关重要的作用。更重要的是，变式训练能培养和发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，进而培养学生全方
位、多角度思考问题的能力，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。
题目 6 长方体问题 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处（三条棱 长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？