曲线的凹凸性与拐点函数图形的描绘

(6) 描图.
例 4 描绘函数 y = f (x) = 3x – x3 的图形. 解 该函数的定义域为 (- , )，且为奇函数，
求其一、二阶导数，得
y = 3 - 3x2 和 y = - 6x， 令 y = 0， 得驻点 x = 1，因为 y|x = - 1 = 6 > 0， y|x =1 = - 6 < 0， 所以 y(-1) = - 2 为极小值， y(1) = 2 为极大值； 令 y = 0，得 x = 0， 因为 x < 0 时， y > 0， x > 0 时， y < 0， 所以 x < 0 时曲线 y = f (x) 是凹的， 当 x > 0 时，曲线 y = f (x) 是凸的，且(0, 0)为拐点 .
O
x
2
2.函数图形的描绘
描绘函数的图形， 其一般步骤是： (1) 确定函数的定义域，并讨论其对称性和周 期性；
(2) 讨论函数的单调性，极值点和极值； (3) 讨论函数图形的凹凸区间和拐点； (4) 讨论函数图形的水平渐近线和垂直渐近线； (5) 根据需要补充函数图形上若干点(如与坐标 轴的交点等等)；
定理 2 (拐点的必要条件)
若函数 y = f (x) 在 x0 处二阶导数 f (x0) 存在， 且点 (x0 , f (x0)) 为曲线 y = f (x) 的拐点， 则 f (x0) = 0.
注意 f ( x0 ) = 0 是点 (x0 ， f ( x0 ) ) 为拐点必 要条件，而非充分条件. 例如 y = x4 ，则 y = 12x2， 当 x = 0 时， y (0) = 0，但 (0, 0) 不是曲线 y = x4 的 拐点， 因为点 (0, 0) 两侧二阶导数不变号.
x 1
x1 x 1
所以直线x 1 为曲线 y 1 的垂直渐近线. x 1
y
y 1 x 1
O
1
x
(2) 水平渐近线 若 lim f (x) b, 或 lim f (x) b,
x
x
则称直线 y = b 为曲线 y = f (x) 的水平渐近线 .
例如，对于曲线 y 1 来说，
x 1
lim 1 0,
f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )， 令 f (x) = 0，可得 x = 2.
当 x ( , 2) 时，f (x) < 0，此区间是凸区间． 当 x (2, + ) 时，f (x) > 0， 此区间是凹区间．
当 x = 2 时， f (x) = 0，因 f (x) 在 x = 2 的两 侧变号，而 f (2) = 3， 所以 (2, 3)是该曲线的拐点.
二、函数图形的描绘
1.曲线的水平渐近线和垂直渐近线
定义 3 若曲线 y = f (x) 上 的 动 点 y
M(x, y) 沿着曲线无限
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远离坐标原点时，它与
某直线 l 的距离趋向
于零，则称 l 为该曲线
的渐近线.
O
l M(x, y)
y = f (x) x
(1) 垂直渐近线 若 lim f ( x) 或 lim f ( x) ，
定义 2 设函数 y = f ( x ) 在区间 I 内连续， 则 y = f (x) 在区间 I 内的凹凸分界点，叫 做 曲 线 y = f (x) 的拐点.
定理 1 设函数 y = f (x) 在区间 I 内的二阶导 数 f ( x ) > 0，则曲线 y = f (x) 在区间 I 内是凹的； 若 f ( x ) < 0，则在此区间 I 内曲线 y = f (x)是凸的.
本题也可以下表给出解答：
x f (x) f (x)
( , 2)
2 0
拐点(2, 3)
(2, + ) +
其中 ， 分别表示曲线凸和凹.
例 2 讨论曲线 y = ln(1 + x2) 的凹凸区间与拐点.
解 定义域为( , ). 因为
y
2x 1 x2
,
2(1 x 2 ) y (1 x 2 )2 .
y
x x 1
y 1 x 1
所以直线 y = 0 是曲线 y 1 的水平渐近
x 1
y=0
O
x
线.
又如，曲线 y = arctan x， 因为
lim arctan x ，
x
2
lim arctan x ,
x
2
所以直线 y 与 y 都是该曲线的水平渐近
2
2
线.
y
2
y = arctan x
x x0
x x0
或 lim x x0
f (x) ,
则称直线
x = x0 为曲线 y = f (x) 的
垂直渐近线.
例如， 对于曲线 y = ln x 来说， 因为
lim ln x ，
y
x0
所以直线 x = 0+ 即 y
轴为 y = ln x 曲线的
O
垂直渐近线.
y = ln x x
又如, 对于曲线 y 1 来说, 因为lim 1 ,
令 y = 0 得 x = -1， x = 1.
当 x (, -1) 时， y < 0，此区间是凸区间； 当 x (1, 1) 时， y > 0，此区间是凹区间； 当 x (1, + ) 时， y < 0，此区间是凸区间. 因为 f (-1) = f (1) = 0， f (x) 在点 x = - 1. x = 1 的两侧变号，且 f ( -1 ) = f ( 1 ) = ln2，所以点 (- 1, ln2) 和 (1, ln2)为拐点.
第四模块 微积分学的应用
第六节 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘
一、曲线的凹凸性与拐点
二、函数图形的描绘
一、曲线的凹凸性与拐点
y
y
B
D
A C
A
C
B
D
O x1 x2
x3 x4
xO
x1 x2
x3 x4
x
(a)
(b)
如图所示，凡呈凸形的弧段，当自变量 x 由 x1
增大到 x2 时， 其上的切线斜率是递减的(如图(a)左，
(b)左)， 凡呈凹形的弧段，当 x 由 x1 增大到 x2 时， 其上的切线斜率是递增的(如图(a)右，(b)右)，我们将
以这个明显的几何特征来规定曲线的凹凸性.
定义 1 设函数 y = f (x) 在某区间 I 内可导， ① 如果 f (x) 在 I 内是递增的，则称曲线 y = f (x) 在 区间 I 内是凹的，I 区间称为凹区间； ② 如果 f (x) 在 I 内是递减的， 则称曲线 y = f (x) 在区间 I 内 是凸的，I 区间称为凸区间 .
定理 3 若 f (x0) = 0，且在 x0 两侧 f (x) 变号， 则点 (x0 , f ( x0 ) ) 是曲线 y = f (x) 的拐点.
例 1 讨论曲线 f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 1 的凹凸 区间与拐点．
解 定义域为( , ).
因为
f (x) = 3x2 - 12x + 9，