§2.4 磁场的安培环路定理
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在距柱轴为 d 远处，沿轴线方向挖去一个半径为 r 的无限长小 圆柱。如图。
导体内均匀通过电流，电流面密度为 J
求：小圆柱空腔内一点的磁感强度 分析：由于挖去了一个小圆柱，使得电流的 分布失去了对轴线的对称性，所以无法整体 用安培环路定理求解。 但可以利用补偿法，使电流恢复对轴线的对 称性。
J
r1
J
J
0 B大圆柱 J r1 2 0 B小圆柱 ( J ) r2 2
总磁场为：
B B大圆柱 B小圆柱
o o
r1
r2
d
10
0 B大圆柱 J r1 2 B B大圆柱 B小圆柱 0 B J (r1 r2 ) 2
a Bdl d
d c
c
I
cos
2
B ab
利用安培环路定理求 B
B dl 0 nabI
0 nI B 0
内 外
14
例4 求螺绕环电流的磁场分布及螺绕环内的磁通量
B dl Bdl B dl B 2r 0 NI
L
S N
边缘 效应
但图示情况
L
Bdl 0
所以不存在这样的磁场。 L 实际情况应有边缘效应。
S
18
B0
长 直 圆 柱 面
长 直 圆 柱 体
内
外 内 外
E 2 0 r r E 2 0 R 2 E 2 0 r
0 I B 2r 0 Ir B 2R 2 0 I B 2r
12
例3 长直载流螺线管的磁场分布 已知：I、n（单位长度导线匝数)
...............
• 在外部 • 在内部
a ___ c
___
b
d
c
d
x
B'
推广：有厚度的无限大平面电流 ( j：电流面密度）
B 0 jd / 2 B 0 jx
d
j
16
应用基本定理分析磁场举例
例1 证明不存在球对称辐射状磁场： B f (r )r0
证： 选半径为 r 的球面为高斯面 S，由题设有：
i
磁场没有保守性，它是非保 守场，或无势场
1 s E dS 0 qi
电力线起于正电荷、止于 负电荷。有自由电荷，静 电场是有源场
B dS 0
磁力线闭合、无自由磁 荷，磁场是无源场
5
二. 安培环路定理的应用
例1 求无限长圆柱面电流的磁场分布。 解 系统有轴对称性,圆周上各点的 B 大小相等
B r S
2 B d S f ( r ) 4 π r 0
S
这与 B dS 0 矛盾。
S
∴ 不存在 B f (r )r0 形式的磁场。
17
例2
证明不存在突然降到零的磁场。
反证： 选图示的闭合回路 L，
N
.L
B0
应有： B dl 0 I内 0。
I
B
对这一对线元来说
B1 dl1 B2 dl2
L
I
r2 2
B2
dl2
B1dl1 cos1 B2dl2 cos 2
Βιβλιοθήκη Baidu
0 Id
2
0 Id
2
B1
0
d
1
环路不包围电流，则磁场环流为零
r1
dl1
2
L
• 推广到一般情况
B
分析对称性
I
管内磁力线平行于管轴
管外靠近管壁处磁场为零
13
计算环流 b B dl a Bdl cos 0
c Bdl b
............... B
a
d
cos
2
b
Bdl cos
15
例5 求无限大平面电流的磁场 解 面对称
B dl B dl B dl ab bc B dl B dl
cd da
i
b
B
P
a
B dl B dl
2 B ab 0 ab i B 0i / 2
rd
0 I
I
L
d 2
0 I
L
d r
磁场的环流与环路中所包围的电流有关
dl
1
• 若环路方向反向，情况如何？
0 I LB dl L 2r rd 0 I
L
• 若环路中不包围电流的情况？
B1
2r1
0 I
B2
2r2
0 I
r ' d r dl I
B0
6
推广 无限长圆柱体载流直导线的磁场分布
r R 区域： B
2r 2 j r 区域： B 2 r rR 0
0 I
R
I j R 2
1 B 0 jr 2 2R 2 1 B 0 j r 2
I
0 Ir
7
例2 通电导体的形状是：在一半径为R的无限长的导体圆柱内，
8
如何恢复对称性呢？
设想空腔小圆柱相当于等值反向的电流密度值都等于J 的 两个均匀电流的叠加（抵消） 结果会出现电流密度值相同电流相反的完整的两个圆柱电流。 空间的磁场就是两个均匀的圆柱电流磁场的叠加
向外
空
向 外
＋
向内
9
解: 设 场点对大圆柱中心o的位矢为
场点对小圆柱中心o'的位矢为 r2
由安培环路定理可分别求出
L
解 • 在螺绕环内部做一个环路，可得
I
N
B 0 NI / 2r 若螺绕环的截面很小，r r N B内 0 I 0 nI 2r
L
L
o
r
• 若在外部再做一个环路，可得
Ii 0
螺绕环内的磁通量为
R1 dr
B外 0
h
R2
S
m
R2
R1
R2 NI 0 hNI R2 0 B dS hdr ln R1 2r 2 R1
0 B小圆柱 ( J ) r2 2
如果引入 d oo
0 B J d 2
均匀场
o o
r1
B
r2
d
方向：在截面内垂直两柱轴连线
11
电场、磁场中部分典型结论的比较
电荷均匀分布 长直线 电流均匀分布
E 2 0 r
E0
0 I B 2r
I
2
0 I LB dl L 4a cos1 cos 2 dl 0 I 2 0 2I 2 2a 0 I 4a 2 2
a
L
1
4
静电场
E dl 0
静电场有保守性，它是 保守场，或有势场
稳恒磁场 B dl 0 I i
R
P
r R 时过圆柱面外P 点做一圆周
B 2r 0 I B d l B d l B d l L
L
L
r
L
I
dB
B
2r
0 I
B
dB '
r R 时 在圆柱面内做一圆周 B dl B2r 0
L
dI ' dI
P
静电场: E dl 0 静电场是保守场 磁 场: B dl ? L 一.磁场的安培环路定理
• 以无限长载流直导线为例
§2.4 磁场的安培环路定理
I
r
B
L
B dl B cosdl
L
2r
0 I
P
B r
L
2r
0 I
B dl μ 0 Ii 内
—— 安培环路定理
恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分 等于路径 L 包围的电流强度的代数和的 μ 0 倍
3
讨论 (1) 积分回路方向与电流方向呈右螺旋关系 满足右螺旋关系时 I i 0 反之 I i 0 (2) 磁场是有旋场 —— 电流是磁场涡旋的轴心 (3) 安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任意设想 的一段载流导线不成立 例如 图中载流直导线, 设 θ 1 θ 2 / 4 则 L 的环流为:
I1 ~ I k
—— 在环路 L 中
In
I2 I1
Ii
I k 1 ~ I n —— 在环路 L 外
则磁场环流为
P
Ik
L
I k 1
Bi dl ( Bi ) dl
L L
环路上各点的 磁场为所有电 流的贡献
L
L
k k Bi dl 0 I i 0 0 I i ( L内） i 1 i 1
导体内均匀通过电流，电流面密度为 J
求：小圆柱空腔内一点的磁感强度 分析：由于挖去了一个小圆柱，使得电流的 分布失去了对轴线的对称性，所以无法整体 用安培环路定理求解。 但可以利用补偿法，使电流恢复对轴线的对 称性。
J
r1
J
J
0 B大圆柱 J r1 2 0 B小圆柱 ( J ) r2 2
总磁场为：
B B大圆柱 B小圆柱
o o
r1
r2
d
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0 B大圆柱 J r1 2 B B大圆柱 B小圆柱 0 B J (r1 r2 ) 2
a Bdl d
d c
c
I
cos
2
B ab
利用安培环路定理求 B
B dl 0 nabI
0 nI B 0
内 外
14
例4 求螺绕环电流的磁场分布及螺绕环内的磁通量
B dl Bdl B dl B 2r 0 NI
L
S N
边缘 效应
但图示情况
L
Bdl 0
所以不存在这样的磁场。 L 实际情况应有边缘效应。
S
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B0
长 直 圆 柱 面
长 直 圆 柱 体
内
外 内 外
E 2 0 r r E 2 0 R 2 E 2 0 r
0 I B 2r 0 Ir B 2R 2 0 I B 2r
12
例3 长直载流螺线管的磁场分布 已知：I、n（单位长度导线匝数)
...............
• 在外部 • 在内部
a ___ c
___
b
d
c
d
x
B'
推广：有厚度的无限大平面电流 ( j：电流面密度）
B 0 jd / 2 B 0 jx
d
j
16
应用基本定理分析磁场举例
例1 证明不存在球对称辐射状磁场： B f (r )r0
证： 选半径为 r 的球面为高斯面 S，由题设有：
i
磁场没有保守性，它是非保 守场，或无势场
1 s E dS 0 qi
电力线起于正电荷、止于 负电荷。有自由电荷，静 电场是有源场
B dS 0
磁力线闭合、无自由磁 荷，磁场是无源场
5
二. 安培环路定理的应用
例1 求无限长圆柱面电流的磁场分布。 解 系统有轴对称性,圆周上各点的 B 大小相等
B r S
2 B d S f ( r ) 4 π r 0
S
这与 B dS 0 矛盾。
S
∴ 不存在 B f (r )r0 形式的磁场。
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例2
证明不存在突然降到零的磁场。
反证： 选图示的闭合回路 L，
N
.L
B0
应有： B dl 0 I内 0。
I
B
对这一对线元来说
B1 dl1 B2 dl2
L
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d
1
环路不包围电流，则磁场环流为零
r1
dl1
2
L
• 推广到一般情况
B
分析对称性
I
管内磁力线平行于管轴
管外靠近管壁处磁场为零
13
计算环流 b B dl a Bdl cos 0
c Bdl b
............... B
a
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Bdl cos
15
例5 求无限大平面电流的磁场 解 面对称
B dl B dl B dl ab bc B dl B dl
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2 B ab 0 ab i B 0i / 2
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L
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磁场的环流与环路中所包围的电流有关
dl
1
• 若环路方向反向，情况如何？
0 I LB dl L 2r rd 0 I
L
• 若环路中不包围电流的情况？
B1
2r1
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B2
2r2
0 I
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B0
6
推广 无限长圆柱体载流直导线的磁场分布
r R 区域： B
2r 2 j r 区域： B 2 r rR 0
0 I
R
I j R 2
1 B 0 jr 2 2R 2 1 B 0 j r 2
I
0 Ir
7
例2 通电导体的形状是：在一半径为R的无限长的导体圆柱内，
8
如何恢复对称性呢？
设想空腔小圆柱相当于等值反向的电流密度值都等于J 的 两个均匀电流的叠加（抵消） 结果会出现电流密度值相同电流相反的完整的两个圆柱电流。 空间的磁场就是两个均匀的圆柱电流磁场的叠加
向外
空
向 外
＋
向内
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解: 设 场点对大圆柱中心o的位矢为
场点对小圆柱中心o'的位矢为 r2
由安培环路定理可分别求出
L
解 • 在螺绕环内部做一个环路，可得
I
N
B 0 NI / 2r 若螺绕环的截面很小，r r N B内 0 I 0 nI 2r
L
L
o
r
• 若在外部再做一个环路，可得
Ii 0
螺绕环内的磁通量为
R1 dr
B外 0
h
R2
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R2 NI 0 hNI R2 0 B dS hdr ln R1 2r 2 R1
0 B小圆柱 ( J ) r2 2
如果引入 d oo
0 B J d 2
均匀场
o o
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B
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方向：在截面内垂直两柱轴连线
11
电场、磁场中部分典型结论的比较
电荷均匀分布 长直线 电流均匀分布
E 2 0 r
E0
0 I B 2r
I
2
0 I LB dl L 4a cos1 cos 2 dl 0 I 2 0 2I 2 2a 0 I 4a 2 2
a
L
1
4
静电场
E dl 0
静电场有保守性，它是 保守场，或有势场
稳恒磁场 B dl 0 I i
R
P
r R 时过圆柱面外P 点做一圆周
B 2r 0 I B d l B d l B d l L
L
L
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L
I
dB
B
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B
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r R 时 在圆柱面内做一圆周 B dl B2r 0
L
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P
静电场: E dl 0 静电场是保守场 磁 场: B dl ? L 一.磁场的安培环路定理
• 以无限长载流直导线为例
§2.4 磁场的安培环路定理
I
r
B
L
B dl B cosdl
L
2r
0 I
P
B r
L
2r
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B dl μ 0 Ii 内
—— 安培环路定理
恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分 等于路径 L 包围的电流强度的代数和的 μ 0 倍
3
讨论 (1) 积分回路方向与电流方向呈右螺旋关系 满足右螺旋关系时 I i 0 反之 I i 0 (2) 磁场是有旋场 —— 电流是磁场涡旋的轴心 (3) 安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任意设想 的一段载流导线不成立 例如 图中载流直导线, 设 θ 1 θ 2 / 4 则 L 的环流为:
I1 ~ I k
—— 在环路 L 中
In
I2 I1
Ii
I k 1 ~ I n —— 在环路 L 外
则磁场环流为
P
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L
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环路上各点的 磁场为所有电 流的贡献
L
L
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