正项级数的判别法

六、若 lim n un 存在,证明:级数 un 收敛 .
2 n
n 1

b 3n 七、证明: lim 0. n n n! a
练习题答案
一、1、 p 1, p 1； 2、 1, 二、1、发散； 三、1、发散； 四、1、收敛； 五、1、发散；
un1 1(或 lim ), 1. n u n 2、发散. 2、收敛. 2、收敛. a 1, 收敛; 2、收敛； 3、 0 a 1, 发散; a 1, 发散.
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
1 1 1 2 , 级数 2 收敛, ( 2n 1) 2n n n 1 n 1 故级数 收敛. n1 2n ( 2n 1)
设 un 是正项级数,如果lim n un
三、根值判别法
n 1
n
( 为数或 ) , 则 1 时级数收敛;
lim a2 n
n
1 , 6
lim a2 n1
n
3 , 2
un1 lim lim an 不存在. n u n n
例 4 判别下列级数的收敛性:
1 (1) ; n 1 n!
解

n! 1 (2) n ; (3) . n 1 10 n 1 ( 2n 1) 2n 1 un1 ( n 1)! 1 (1) 0 ( n ), 1 un n1 n! 1 故级数 收敛. n 1 n!

级数
n 1

1 发散. n( n 1)
4.比较审敛法的极限形式:
un l, 设 un 与 vn 都是正项级数, 如果 lim n v n n 1 n 1




则(1) 当 0 l 时, 二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0 时，若
v n 收敛, 则 un 收敛; n 1
1时级数发散; 1 时失效.
1 例如, 设级数 n , n1 n

1 1 un n n 0 ( n ) 级数收敛. n n
n
小 结
正 项 级 数
1. 若 Sn S , 则级数收敛;
审
敛
2. 当 n , un 0, 则级数发散;
3.按基本性质; 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
二、用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛 性: 1 2 1 3 1 n ； 1、1 2 2 2 1 2 1 3 1 n 1 2、 ( a 0) . n n 1 1 a
三、用比值审敛法判别下列级数的收敛性: 3 32 33 3n 2 n n! ；2 、 1、 . 2 3 n n 1 2 2 2 3 2 n2 n n 1 四、用根值审敛法判别下列级数的收敛性: 1 n 2 n 1 ) 1、 2 、 ( . n ； n 1 [ln( n 1)] n 1 3n 1 五、判别下列级数的收敛性: 3 n1 ； 1、 2 2 n ln( n 2) n 2、 2 sin n ； 3、 ( a 0) . 1 n 3 n 1 n 1 (a ) n
,
m 1
uN 1 ,

uN m
uu收敛, n N 1
收敛
当 1时, 取 1, 使r 1,
当n N时, un1 run un , lim un 0.
n
发散
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1 时比值审敛法失效;

u
n 1

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n 收敛(发散)
且v n kun ( n N )( kun v n ) , 则
v n 收敛(发散). n 1

比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 1 讨论 P-级数
1 1 1 1 1 p p p p 的收敛性.( p 0) 2 3 4 n 1 1 设 p 1, p , 则P 级数发散. 解 n n
(n N )
由比较审敛法的推论, 得证.
设
un 为正项级数, n 1
n n

如果 lim nun l 0 (或 lim nun ), 则级数
un 发散; n 1
n

如果有 p 1 , 使得lim n p un 存在, 则级数
u
n 1
n 收敛.
第二节
正项级数的判别法
一、比较判别法 二、比值判别法 三、根值判别法
一、比较判别法
1.定义: 如果级数 un中各项均有 un 0，
这种级数称为正项级数. 2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn 部分和数列 { sn } 为单调增加数列. 定理
n 1
正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.
1 (1) sin ; n n 1


二、比值判别法
un 1 (数或 ) 设 un 是正项级数,如果 lim n u n 1 n
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.

证明 当为有限数时, 对 0,
un1 N , 当n N时, 有 , un
即sn有界,
则P 级数收敛.
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
例 2 证明级数
证明

n 1

1 是发散的. n( n 1)
1 1 , n( n 1) n 1
1 而级数 发散, n 1 n 1
1 例 级数 发散, n 1 n

1 级数 2 收敛, n 1 n

( 1)
2.条件是充分的,而非必要.
2 ( 1) 3 例 un n vn , n 2 2
n
2 ( 1)n 级数 un 收敛, n 2 n 1 n 1


un1 2 ( 1)n1 但 an , n un 2( 2 ( 1) )
un1 即 un
(n N )
当 1时, 取 1 ,
使r 1,
uN 2 ruN 1 ,
uN m r
m 1
uN 3 ruN 2 r 2 uN 1 ,
而级数 r m 1uN 1收敛,
m 1
3. 比较判别法 设 un和 vn均为正项级数，
n 1


且 un vn ( n 1, 2,) ,若 vn 收敛,则 un 收敛； 反之，若 un 发散，则 vn 发散.

n 1 n 1

n 1

证明 (1) 设 vn un vn ,
n 1
例 3 判定下列级数的敛散性:
1 (2) n ; n 1 3 n 1 sin n 1, 原级数发散. 解 (1) lim n sin 1 lim n n n 1 1 n n 1 3 n 1, lim ( 2) lim n 1 n n 1 n n 3 3 1 n收敛 , 故原级数收敛. n 1 3
n 1


(3) 当 l 时, 若
vn 发散,则 un 发散;
n 1 n 1


un 证明 (1) 由lim l n v n
l 对于 0, 2
l un l N , 当n N时, l l 2 vn 2
l 3l 即 vn un vn 2 2

un1 ( n 1)! 10 n n 1 ( 2) ( n ), n 1 un n! 10 10 n! 故级数 n 发散. n1 10 un1 ( 2n 1) 2n lim 1, ( 3) lim n u n ( 2n 1) ( 2n 2) n
n 1

n 1
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn ,
即部分和数列有界

un收敛. n 1

(2) 设 sn (n ) 且 un vn ,
则 n sn

推论: 若
不是有界数列 定理证毕.
vn发散. n 1
法
思考题
设正项级数 un 收敛, 能否推得 un 收敛?
2 n1 n1
反之是否成立?
思考题解答
由正项级数 un 收敛，可以推得 un 收敛,
2 n 1 n1
un lim lim un 0 n u n n
由比较审敛法知 un 收敛.
2
2
1 反之不成立. 例如： 2 收敛, n 1 n
n 1

1 n 发散. n 1

练
习
题
一、填空题: 1、 p 级数当_______时收敛,当_______时发散；
等于 , 2、若正项级数 un 的后项与前项之比值的根
n 1
则当________时级数收敛；________时级数发散； ____________时级数可能收敛也可能发散 .
n dx 1 设 p 1, 由图可知 p n1 p n x 1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n 2 dx n dx o 1 1 p n1 p x x
y
y
1 ( p 1) xp
1
2
3
4
x
1 1
n
dx 1 1 1 (1 p1 ) 1 p 1 x p1 n p1