菱形的性质ppt
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A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm B
C
4.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知 AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD D 的长。
解：∵四边形ABCD是菱形 ∴OA=OC，OB=OD
A
4
O
C
AC⊥BD
∵Rt△AOB中
5
3
B
∴OB= 3
∴BD= 2OB = 6 cm
18.2.2 菱形 (1)
----菱形的性质
学习目标
1．理解菱形的概念，会用菱形的性质解决 简单的问题； 2．经历类比矩形探究菱形性质的过程，通 过观察、类比、猜想、证明等活动，体 会几何图形研究的一般步骤和方法．
学习重点
菱形性质的探索、证明和应用．
活动Βιβλιοθήκη Baidu：
平行四边形的对边平行； 边
平行四 边形的 性质： 对角线 平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形的对边相等；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补； 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等
矩形的性质
情 前面我们学习了平行四边形和矩形，知 道了如果平行四边形有一个角是直角时,成 景 为什么图形? (矩形,由角变化得到) 创 如果从边的角度,将平行四边形特殊化, 让它有一组邻边相等 , 这个特殊的四边形叫 设 什么呢?
OB2+OA2=AB2 AB= 5，AO= 4
AC= 2OA = 8 cm
5. 已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB 于E，DF∥AB交AC于F．
求证：EF⊥AD；
证明： ∵ DE∥AC, DF∥AB ∴四边形AEDF是□
∵ AD平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∵ DE∥AC ∴∠3=∠2 ∴∠1=∠3 ∴EA=ED ∴□AEDF是菱形 ∴EF⊥AD
矩形
两组对边
分别平行
平行 四边形
菱形
活动二：
在平行四边形中，如果内角大小保 持不变仅改变边的长度，能否得到一个 特殊的平行四边形？
平行四边形
邻边相等
菱形
有一组邻边相等的平行四边形
有一组 邻边相等 的平行四边形叫做菱形
A
∵四边形ABCD是平行四边形
D
B C ABCD AB=BC
且AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
四边形ABCD是菱形
感受生活
你能举出生活中你看到的菱形吗？
菱形就在我们身边
感受生活
三菱汽车标志欣赏
活动三：折一折 剪一剪
如何利用折纸、剪切的方法，既快 又准确地剪出一个菱形的纸片？
可以这样做：将一张长方形的纸对 折、再对折，然后沿图中的虚线剪下， 打开即可.你知道其中的道理吗？
画出菱形的两条折痕, 并通过折叠手中的图 形回答以下问题：
A
花坛的两条小路长 AC 2 AO 20m BD 2 BO 20 3 34.64m B 花坛的面积 S 菱形ABCD 1 AC BD 346.4m 2 2
O C
D
活动五：
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的 3cm 边长是______.
2.如下图：菱形ABCD中∠BAD＝ 60° ， 60° 则∠ABD＝_______. D 3、菱形的两条对角线长 O 分别为6cm和8cm，则菱形 A 的边长是（ C ）
１、菱形是轴对称图形吗？
2、菱形有几条对称轴？
3、对称轴之间有什么关系？ 4、你能看出图中哪些线段和角相等？
菱形的四条边相等
菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一 组对角。 菱形是轴对称图形， 也是中心对称图形。
求证:菱形的四条边相等 菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角。
活动四：做一做
1、菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是6cm
和8cm，求菱形的周长和面积。
S菱形ABCD 4 S AOB
D
S菱形ABCD
你有什么发现？ 2 1 8 6 24 2
1 1 1 4 AC BD 2 1 2 2
1 4 OA OB A 2
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形有：△ABC、△ DBC、△ACD、△ABD
Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA 直角三角形有： 全等三角形有： Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA △ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
A
1 2
E
3
F
B
D
C
6.如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60°，
E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，
满足AE + CF = a。 证明：不论E、F怎样移
动，△BEF总是正三角形。
已知:如图四边形ABCD是菱形
D
求证: (1)AB=BC=CD=DA O (2)AC⊥BD A C AC平分∠DAB和∠DCB BD平分∠ADC和∠ABC B 证明(1)∵四边形ABCD是菱形 ∴DA=DC(菱形的定义) ∴DB⊥AC， ∵DA=BC,AB=DC DB平分∠ADC（三线合一） ∴AB=BC=DC=DA 同理：DB平分∠ADC和∠ABC AC平分∠DAB和∠DCB (2)在△DAC中,又∵AO=CO
D
A
O
C B
（1）菱形具有平行四边形的一切性质； （2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角；
菱形ABCD中
AB=CD=AD=BC 相等的线段： OA=OC OB=OD
5 6
A
1 2
7 8
D
O
3
4
相等的角： ∠DAB=∠BCD
∠1=∠2=∠3=∠4
B ∠ABC =∠CDA
O
C
B
AC BD
D
S菱形ABCD AB DE
O
A E B
1 S菱形ABCD AC BD 2 1 AB DE AC BD 2
C
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
2、如图，菱形花坛ABCD的周长为80m， ∠ABC＝ 60° ，沿着菱形的对角线修建了 两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛 的面积（分别精确到0.01m和0.01m2 ）
A
B
O
C
解： 花坛ABCD是菱形 1 1 AC BD ， ABO ABC 60 0 30 0 2 2 1 1 在Rt OAB中，AO AB 20 10m 2 2 BO AB 2 AO 2 20 2 10 2 10 3 m
C
4.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知 AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD D 的长。
解：∵四边形ABCD是菱形 ∴OA=OC，OB=OD
A
4
O
C
AC⊥BD
∵Rt△AOB中
5
3
B
∴OB= 3
∴BD= 2OB = 6 cm
18.2.2 菱形 (1)
----菱形的性质
学习目标
1．理解菱形的概念，会用菱形的性质解决 简单的问题； 2．经历类比矩形探究菱形性质的过程，通 过观察、类比、猜想、证明等活动，体 会几何图形研究的一般步骤和方法．
学习重点
菱形性质的探索、证明和应用．
活动Βιβλιοθήκη Baidu：
平行四边形的对边平行； 边
平行四 边形的 性质： 对角线 平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形的对边相等；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补； 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等
矩形的性质
情 前面我们学习了平行四边形和矩形，知 道了如果平行四边形有一个角是直角时,成 景 为什么图形? (矩形,由角变化得到) 创 如果从边的角度,将平行四边形特殊化, 让它有一组邻边相等 , 这个特殊的四边形叫 设 什么呢?
OB2+OA2=AB2 AB= 5，AO= 4
AC= 2OA = 8 cm
5. 已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB 于E，DF∥AB交AC于F．
求证：EF⊥AD；
证明： ∵ DE∥AC, DF∥AB ∴四边形AEDF是□
∵ AD平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∵ DE∥AC ∴∠3=∠2 ∴∠1=∠3 ∴EA=ED ∴□AEDF是菱形 ∴EF⊥AD
矩形
两组对边
分别平行
平行 四边形
菱形
活动二：
在平行四边形中，如果内角大小保 持不变仅改变边的长度，能否得到一个 特殊的平行四边形？
平行四边形
邻边相等
菱形
有一组邻边相等的平行四边形
有一组 邻边相等 的平行四边形叫做菱形
A
∵四边形ABCD是平行四边形
D
B C ABCD AB=BC
且AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
四边形ABCD是菱形
感受生活
你能举出生活中你看到的菱形吗？
菱形就在我们身边
感受生活
三菱汽车标志欣赏
活动三：折一折 剪一剪
如何利用折纸、剪切的方法，既快 又准确地剪出一个菱形的纸片？
可以这样做：将一张长方形的纸对 折、再对折，然后沿图中的虚线剪下， 打开即可.你知道其中的道理吗？
画出菱形的两条折痕, 并通过折叠手中的图 形回答以下问题：
A
花坛的两条小路长 AC 2 AO 20m BD 2 BO 20 3 34.64m B 花坛的面积 S 菱形ABCD 1 AC BD 346.4m 2 2
O C
D
活动五：
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的 3cm 边长是______.
2.如下图：菱形ABCD中∠BAD＝ 60° ， 60° 则∠ABD＝_______. D 3、菱形的两条对角线长 O 分别为6cm和8cm，则菱形 A 的边长是（ C ）
１、菱形是轴对称图形吗？
2、菱形有几条对称轴？
3、对称轴之间有什么关系？ 4、你能看出图中哪些线段和角相等？
菱形的四条边相等
菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一 组对角。 菱形是轴对称图形， 也是中心对称图形。
求证:菱形的四条边相等 菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角。
活动四：做一做
1、菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是6cm
和8cm，求菱形的周长和面积。
S菱形ABCD 4 S AOB
D
S菱形ABCD
你有什么发现？ 2 1 8 6 24 2
1 1 1 4 AC BD 2 1 2 2
1 4 OA OB A 2
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形有：△ABC、△ DBC、△ACD、△ABD
Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA 直角三角形有： 全等三角形有： Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA △ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
A
1 2
E
3
F
B
D
C
6.如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60°，
E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，
满足AE + CF = a。 证明：不论E、F怎样移
动，△BEF总是正三角形。
已知:如图四边形ABCD是菱形
D
求证: (1)AB=BC=CD=DA O (2)AC⊥BD A C AC平分∠DAB和∠DCB BD平分∠ADC和∠ABC B 证明(1)∵四边形ABCD是菱形 ∴DA=DC(菱形的定义) ∴DB⊥AC， ∵DA=BC,AB=DC DB平分∠ADC（三线合一） ∴AB=BC=DC=DA 同理：DB平分∠ADC和∠ABC AC平分∠DAB和∠DCB (2)在△DAC中,又∵AO=CO
D
A
O
C B
（1）菱形具有平行四边形的一切性质； （2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角；
菱形ABCD中
AB=CD=AD=BC 相等的线段： OA=OC OB=OD
5 6
A
1 2
7 8
D
O
3
4
相等的角： ∠DAB=∠BCD
∠1=∠2=∠3=∠4
B ∠ABC =∠CDA
O
C
B
AC BD
D
S菱形ABCD AB DE
O
A E B
1 S菱形ABCD AC BD 2 1 AB DE AC BD 2
C
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
2、如图，菱形花坛ABCD的周长为80m， ∠ABC＝ 60° ，沿着菱形的对角线修建了 两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛 的面积（分别精确到0.01m和0.01m2 ）
A
B
O
C
解： 花坛ABCD是菱形 1 1 AC BD ， ABO ABC 60 0 30 0 2 2 1 1 在Rt OAB中，AO AB 20 10m 2 2 BO AB 2 AO 2 20 2 10 2 10 3 m