反证法与放缩法

三 反证法与放缩法

[学习目标] 1.理解反证法在证明不等式中的作用，掌握用反证法证明不等式的方法.2.掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．

[知识链接]

1．在阅读教材的基础上，想一想哪些命题或不等式适合用反证法证明？

答案 存在性命题、否定性命题、唯一性命题或结论中出现“至少”、“至多”、“全都”等字词的命题或不等式．

2．用放缩法证明不等式常用的放缩方法有哪些？

答案 ①添加或舍去一些项；

②将分子或分母放大(或缩小)；

③真分数的性质：若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋m b ＋m

； ④利用基本不等式；

⑤利用函数的单调性；

⑥绝对值不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.

⑦利用函数的有界性：如：|sin x |≤1(x ∈R )；x 2－x ≥－14

(x ∈R )；2x ＞0(x ∈R )． [预习导引]

1．反证法 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质，明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．

2．放缩法 将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的．如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值缩小，反之，把分母缩小，则分式的值放大.

要点一 反证法证明不等式

例1 已知：a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0.

求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0.

证明 假设a 、b 、c 不全是正数，

即至少有一个小于或等于0.

又abc ＞0，不妨假设a ＜0，则bc ＜0.

∵b ＋c ＞－a ＞0，∴－a (b ＋c )＞0.

∴a (b ＋c )＜0，又∵bc ＜0，∴bc ＋a (b ＋c )＜0.

即ab ＋bc ＋ca ＜0.

这与已知ab ＋bc ＋ca ＞0矛盾．

∴假设不成立．

故a ＞0，b ＞0，c ＞0成立．

规律方法 用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立．

跟踪演练1 已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＞2，求证1＋y x 与1＋x y

中至少有一个小于2. 证明 假设1＋y x ≥2且1＋x y

≥2. ∵x ＞0，y ＞0，∴1＋y ≥2x ①

1＋x ≥2y ②

①＋②得2＋(x ＋y )≥2(x ＋y )，

即x ＋y ≤2，与x ＋y ＞2矛盾．

∴假设不成立，故1＋y x 与1＋x y

中至少有一个小于2. 要点二 放缩法证明不等式

例2 设S n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)，

求证：不等式n (n ＋1)2＜S n ＜(n ＋1)22

对所有的正整数n 都成立． 证明 ∵S n ＞12＋22＋…＋n 2

＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2

. 且S n ＜1＋22＋2＋32＋…＋n ＋n ＋12

＝32＋52＋…＋2n ＋12

＜12＋32＋52＋…＋2n ＋12＝(n ＋1)22

∴n (n ＋1)2＜S n ＜(n ＋1)22

. 规律方法 用放缩法证明不等式的过程中，往往采用“添舍”放缩、分项放缩、函数的单调性放缩、重要不等式放缩等，放缩时要注意适度，否则不能同向传递．本例是利用n 2＜

n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2

放缩，进而求证． 跟踪演练2 设f (x )＝x 2－x ＋14，且|x －a |＜1.

求证：|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1)．

证明 由|f (x )－f (a )|＝|x 2－a 2＋a －x |

＝|(x －a )(x ＋a －1)|

＝|x －a ||x ＋a －1|＜|x ＋a －1|＝|(x －a )＋2a －1|

≤|x －a |＋|2a |＋1＜|2a |＋2＝2(|a |＋1).

要点三 放缩法在数列中的综合应用

例3 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)．

(1)求数列{a n }的通项；

(2)证明：n 2－13＜a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＜n 2

(n ∈N ＋)． (1)解 ∵a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．

∴a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．

(2)证明 ∵a n a n ＋1＝2n －12n ＋1－1＝1－12n 2－12n ＜12， ∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＜n 2

. ∵a k a k ＋1＝2k －12k ＋1－1＝12－12(2k ＋1－1)

＝12－13·2k ＋2k －2

≥12－13⎝⎛⎭

⎫12k ，k ＝1,2,3，…，n . ∴a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a n ＋1

≥n 2－13＋13⎝⎛⎭⎫12k ＞n 2－13

. ∴n 2－13＜a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＜n 2

(n ∈N ＋)． 规律方法 解数列不等式综合题要注意

①数列不等式综合题难度大，内容丰富，是考查数学能力的良好载体；