第十一章 位移法

结点角位移的数目=刚结点的数目
Δ
P
P
θC
Δ
θD
Δ
P
P
Δ
Δ
θC
2、基本体系的确定：
即：受弯直杆变形前后，两端之间的距离保持不变。
= 结论：原结构独立结点线位移的数目 相应铰结体系的自由度。 =刚架的层数（横梁竖柱的矩形框架）。
位移法基本未知量
结点转角
数目=刚结点的3数目
独立结点线位移
数目=铰结体系的自由度 =矩形框架的层数
用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；
•F12、F22(k12、k22) ── 基本体系在Δ2(=1)单独作用时，附加约束1、2
中产生的约束力矩和约束力；
•F1P、F2P── 基本体系在荷载单独作用时，附加约束1、2中产生的约束
力矩和约束力；
位移法方程的含义：基本体系在结点位移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的 总约束力(矩)等于零。实质上是平衡条件。
2i
6i l
0 0
－i
QAB= QBA
6i l
12i l2
3i l 3i
l2
0
3、载常数:由跨中荷载引 起的固端力
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
d 11
1 l 2 2l
l3
EI 2 3 3 EI
1 1 ql 2 3 l
ql 4
D 1P
l
EI 3 2 4
8 EI
X1=－Δ1P / δ11
由跨间荷载引起的杆端力称为载常数（表11-2）。
单跨超静定梁简图
mAB
q
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
ql 2
A
B
12
mBA
ql 2 12
A
P
Pl
B
8
Pl 8
q
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
A
B
ql2
0
8
P
B A
l/2
l/2
3Pl
0
16
4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：
M 4i 2i 6i D +mAB
D
l
④对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。
§11-4 位移法典型方程
Δ2
F1 Δ2
F1=0
Δ1
F2=0
Δ1
F2
Δ1
Δ1
位移法 基本体系
F1=0
k11D1 k12D2 F1P 0
F2=0
k21D1 k22D2 F2P 0
•F11、F21(k11、k21) ── 基本体系在Δ1(=1)单独作
§11-2 等截面直杆的杆端力（形常数、载常数）
1、杆端力和杆端位移的正负规定
Δ ①杆端转角θA、θB ，弦转角
/l β＝ 都以顺时针为正。
②杆端弯矩对杆端以顺时针为正
对结点或支座以逆时针为正。
MAB
β θA
QAB
θB
MBA QBA
Δ
杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩，都假定对杆端顺时针转动为 正号。作用与结点上的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针 转动为正号，而杆端弯矩作用于结点上时逆时针转动为正号。
F1P
k11
Δ1=1 Δ1
× Δ1
k12
2
在确定基本未知量时就考虑了变形协调条件。 1
结点转角的数目：7个
相应的铰接体系的自由度=3 独立结点线位移的数目：3个
也等于层数 3
结点转角的 数目：3个
独立结点线位移的数目：2个 不等于层数 1
注意: ①铰处的转角不作基本未知量。杆端为铰支座或铰结点杆件，其杆端力按一端固定一端铰支的单跨超静定梁确定。 ② 剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。其杆端
❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖
支位位无位位等位
座移移侧移移截移 移
移法法 法 面 、法法
动计之有之基直
和算直侧典 杆基
温对接移型本的 刚未本
度称平 方 杆
改
结
衡
架 算
程
知
端
概
变构法例法量力念
§11-1 位移法的基本概念
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。
力按一端固定一端定向支座的单超静定梁（即剪力静定梁）确 定。如图示结构中B端的侧移，C端的侧移D点的线位移均不作 基本未知量，不需加附加约束。（DE杆是剪力静定杆）。
Δ
Δ
a
D
Δ
B
E
C
A
③结构带无限刚性梁时，梁端结点转动不是独立的结点 位移。若柱子平行，则梁端结点转角=0，若柱子不平行，则 梁端结点转角可由柱顶侧移表示出来。
Displacement Method
基本要求：
掌握掌握位移法基本结构的确定， 位移法典型方程的建立，方程中的系数和自由项的计算，最后弯矩图的绘制。 熟练掌握用位移法计算超静定梁、刚架和排架问题。 重点掌握荷载作用下的超静定结构计算 掌握剪力图和轴力图的绘制、利用对称性简化计算。 了解温度改变、支座移动下的超静定结构计算。
力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件
（变形协调条件）。
位移法的特点： 基本未知量—— 基本体系—— 基本方程——
独立结点位移
？ 一组单跨超静定梁 平衡条件
因此，位移法分析中应解决的问题是：①确定单跨梁在各 种因素作用下的杆端力。②确定结构独立的结点位移。③建立 求解结点位移的位移法方程。
=3ql/8
各种单跨超静定梁在各 种荷载作用下的杆端力均可 按力法计算出来，这就制成了载常数表11-2（P5）
mAB
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
l，EI
l
2 ql /2
MP 2 ql /8
M1
X1 =1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M图
ql 2
m
AB
8
ຫໍສະໝຸດ Baidu
m 0 BA
Q’ ‘
AB
Q0
AB
P
MBA
+
P
QBA MBA
’ Q‘
BA
Q0
BA
§11-3 位移法的基本未知量和基本体系
位移法的基本未知量是独立的结点位移；基本体系是将基本未知量完全锁住后，得到的超静定梁的组合体。
1、基本未知量的确定：
为了减小结点线 位移数目，假定： ①忽略轴向变形， ②结点转角和弦转
角都很微小。
AB
A
B
l
M 2i 4i 6i D +mBA
BA
A
B
l
5、已知杆端弯矩求剪力：取杆 件为分离体建立矩平衡方程：
QAB
M
AB
l
M
BA
QA0B
注：1、MAB,MBA绕杆端顺时 针转向为正。
2、 是简支梁的剪力。
Q0
AB
MAB
θA
QAB
转角位移方程
↓↓↓↓↓↓↓↓
β θB
MBA QBA
Δ
MAB
QAB MAB
MAB>0
MBA<0
2、形常数：由单位杆端位移引起 的单跨超静定梁的杆端力
用力法求解
EI i= /l
M AB 4i, M BA 2i
1
2i
4i M
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数（表11-1）。
单跨超静定梁简图
θ=1
A
B
A
θ=1
A
A
θ=1
A
B
1
B
B
1
B
MAB
4i
6i l
3i
3i l
i
MBA